A第十二章第节.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2019年12月4日星期三,#,05 二月 2025,1,一、对弧长的曲线积分的概念与性质,1.,引例：求曲线形构件的质量。,设一曲线形构件位于,xoy,平面上的一段,曲线弧,L,上,线密度,(,x,y,),为,L,上的连续函,数,，,求该曲线形构件的质量,M,。,光滑曲线,-,具有连续转动切线的曲线,。,05 二月 2025,2,x,y,A,B,思想方法：,(1),分割,：,插入分点,：,设,每一小弧段长,(2),取近似,：,则小弧段质量,：,05 二月 2025,3,(3),求和,：,(4),取极限,:,05 二月 2025,4,2,、,定义,设,L,为,xoy,平面内的一条光滑曲线弧段，,M,1,M,2,M,n,-1,把,L,分成,若和式的极限,则称此极限值为,f,(,x,y,),在曲线弧,L,上对弧长的曲线积分,。,函数,f,(,x,y,),在,L,上有界,，,用,L,上的任意点,05 二月 2025,5,也称为,第一类曲线积分,。,记作,L,积分弧段,（,积分路径,）,ds,弧元素,说明,:,(1),f,(,x,y,),在,L,上连续,则曲线积分必存在,。,(2),f,(,x,y,),虽为二元函数,但点,(,x,y,),被限制在,L,上,变量,x,y,不独立,须满足曲线,L,的方程,。,(3),若,L,是,光滑闭曲线,常记成,(4),推广到空间曲线,有,05 二月 2025,6,3.,性质,(,与定积分性质相仿,),(3),若,L,是分段光滑的曲线段,，,即,05 二月 2025,7,(4),设在,L,上,，,则,(5),(,积分中值定理,),设,f,(,x,y,),在,L,上连续,，,则必存在,使得,其中,l,为,L,的长度。,05 二月 2025,8,第一类曲线积分的对称性,(1),如曲线,L,关于,y,轴对称，,L,1,是,L,的 部分，,(2),若交换,x,y,两变量时，,L,的方程不变，则,-,轮换对称性,05 二月 2025,9,二、对弧长的曲线积分的计算法,定理,且,L,的参数方程为,：,则曲线积分,存在,，,且,05 二月 2025,10,说明,:,ds,弧长元素,(,弧微分,),(1),(2),05 二月 2025,11,(3),(4),(5),上述所有计算公式中,，,等式右边的定积分,的积分下限都必须小于上限,。,05 二月 2025,12,一段弧,(,如图,).,例,1:,A,B,A,(0,a,),解：,法一：,选,x,为积分变量,，,L,：,x,y,a,05 二月 2025,13,一段弧,(,如图,).,法二,：,选,y,为积分变量,，,L,：,A,B,x,y,a,05 二月 2025,14,一段弧,(,如图,).,法三,：,L,用参数方程表示,:,A,B,x,y,a,t,05 二月 2025,15,x,y,1,2,2,例,2,：,A,B,解：,o,05 二月 2025,16,例,3,：,解：,L,利用极坐标,。,a,利用对称性,有,05 二月 2025,17,例,4,：,解：,因为,L,关于,x,轴对称，,2,xy,关于,y,是奇函数，,05 二月 2025,18,课 外 作 业,习题,12 1(A),1(3),2,习题,12 1(B),1(1,4),05 二月 2025,19,2,.,对坐标的曲线积分,(,第二类曲线积分,),一、对,坐标的曲线积分的,概念与性质,1.,引例,:,求变力沿曲线所作的功。,常力作功,:,变力作功,力,f,(,x,),的方向与运动方向一致,05 二月 2025,20,思想方法,:,(,元素法,),x,y,A,B,(1),插入分点,M,1,(,x,1,y,1,),M,n,-1,(,x,n,-1,y,n,-1,),n,个有向小弧段,M,1,M,n,-1,M,i,-1,M,i,将,L,任意分成,设一质点在,xoy,面内沿光滑曲线弧,L,从,A,移动到,的作用,，,其中,P,Q,在,B,。,移动过程中,，,这质点受到变力,L,上连续,。,现计算在上述移动过程中变力所作的功,。,05 二月 2025,21,x,y,A,B,M,i,-1,M,i,(2),则由常力,:,近似代替,则,05 二月 2025,22,(3),(4),取极限,05 二月 2025,23,2,、,定义,设,L,为,xoy,平面上从点,A,到,B,的一条有向,光滑曲线,函数,P,(,x,y,),、,Q,(,x,y,),在,L,上有界,。,分成,n,个有向小弧段,则称此极限值,把,L,05 二月 2025,24,为函数,P,(,x,y,),在有向曲线弧,L,上,对坐标,x,的曲线积分,记作,同理,则称此极限值为函数,Q,(,x,y,),在有向曲线弧,常用其组合形式：,统称为第二类曲线积分。,L,上,对坐标,y,的曲线积分,记作,05 二月 2025,25,说明：,1),P,(,x,y,),Q,(,x,y,),中的,xy,受,L,的限制而,相互有关,。,2),对坐标的曲线积分与积分路径的方向有关,。,3),前述变力作功,(,有向弧元素,),变号,05 二月 2025,26,4),对空间曲线,L,有,5),在,L,上连续,则此曲线积分必存在,。,05 二月 2025,27,3,、,性质,(1),设有向曲线,L,L,与,L,方向相反,则有,:,(2),其余性质类似于对弧长的曲线积分,。,注：第一类曲线积分没有这一性质。,05 二月 2025,28,二、对坐标的曲线积分的计算法,设曲线,L,由参数方程,一阶连续导数,且,又函数,P,(,x,y,),Q,(,x,y,),在,L,上连续,L,的,起点,A,终点,B,描出有向曲线,L,AB,05 二月 2025,29,起点,A,(,x,=,a,),终点,B,(,x,=,b,),f,(,x,),在,a,b,或,b,a,上有连续导数,则,特例：,05 二月 2025,30,起点,A,(,y,=,c,),终点,B,(,y,=,d,),g,(,y,),在,c,d,或,d,c,上有连续导数,则,05 二月 2025,31,空间曲线,:,起点,A,终点,B,05 二月 2025,32,例,1.,(1),L,:,圆心为原点,半径为,1,按逆时针方向绕行,的上半圆周,。,x,y,A,B,1,-1,解,：,05 二月 2025,33,(2),L,:,直线,AB,.,x,y,A,B,1,-1,解：,=,0.,05 二月 2025,34,(3),L,:,折线,ACB,.,x,y,A,B,C,1,-1,解：,1,0,0,-1,路径不同,值不同。,05 二月 2025,35,例,2.,(1),(2),A,x,y,1,0,1,0,1,=,1,.,05 二月 2025,36,A,x,y,1,B,(3),0,1,0,1,路径不同,值却相同。,05 二月 2025,37,例,3.,:,由点,(1,1,1),到点,(2,3,4),的直线段,。,解：,求,的方程,。,的方向向量,：,的方程,：,其参数式,：,(,t,+1,),d,(,t,+1,),+(,2,t,+1,),d,(,2t,+1,),+(,t,+1,),+(,2,t,+1,),1,d,(,3,t,+1,),0,1,2,3,dt,=,13,.,05 二月 2025,38,三、两类曲线积分之间的联系,设有向线段,L,:,其中,05 二月 2025,39,类似有,，,切线向量的方向余弦。,05 二月 2025,40,例,：,解：,其方向余弦,曲线上点,(,x,y,),处,的切线的方向向量为,:,05 二月 2025,41,二者夹角为,例,:,设,曲线段,L,的长度为,s,证明,证,:,设,在,L,上连续,05 二月 2025,42,课 外 作 业,习题,12 2(B),1(1),2,4,5,05 二月 2025,43,3.,格林公式及其应用,一、格林公式,(,Green,1793 1841,英,),在一元函数积分学中,牛顿,莱布尼茨公式,：,表示,：,f,(,x,),在区间,a,b,上的积分可以用它的原函数,现在要介绍的格林公式,，,上的二重积分也可以用沿闭区域,D,的边界曲线,F,(,x,),在这个区间端点上的函数值来表达,。,表示在平面闭区域,D,L,上的曲线积分来表达,。,05 二月 2025,44,设,D,为平面区域,如果,D,内任一闭曲线所围成,的部分都属于,D,则称,D,为平面,单连通区域,否则称为,复连通区域,.,复连通区域,单连通区域,D,D,平面区域的连通性的分类：,05 二月 2025,45,边界曲线,L,的正向,:,当观察者沿边界行走时,区域,D,内在他附近的那一部分总在他的左边,则他,行走的方向就是,边界曲线,L,的正向。,L,L,1,L,2,05 二月 2025,46,定理,1,格林公式,05 二月 2025,47,例,1.,D,由格林公式：,解：,x,y,0,05 二月 2025,48,x,y,A,B,D,解,:,作辅助线,:,C,用格林公式？,非闭曲线。,05 二月 2025,49,x,y,A,B,D,C,05 二月 2025,50,格林公式的简单应用,:,05 二月 2025,51,例,4,：,利用曲线积分,，,求下列曲线所围的图形的,星形线,解：,面积,A面积,：,0,y,x,05 二月 2025,52,设函数,P,(,x,y,),Q,(,x,y,),在,单连通域,G,内,二、四个等价命题,定理,2.,(1),(2),的值与路径无关,，,只与起点,A,与终点,B,有关,。,(3),(4),具有一阶连续偏导数,则下列,四命题等价,:,05 二月 2025,53,证明：,设,G,内闭曲线,L,由,A,B,L,1,L,2,G,即曲线积分与路径无关,，,只与,A,B,点有关,。,05 二月 2025,54,积分与路径无关,，,仅与起点,x,y,.,.,05 二月 2025,55,P,Q,有一阶连续偏导数,，,05 二月 2025,56,对,G,内任一条,闭,曲线,L,，,其所围区域,由格林公式,：,说明：,(1),常用,(4),来判定,(1),、,(2),、,(3),的成立,。,05 二月 2025,57,(2),x,y,.,.,05 二月 2025,58,(3),四个等价命题只适用于,单连通域,，,不适用于多连通域。,例：,在闭区域,D,上,，,多连通域,x,o,y,D,。,在此,D,上四个命题不再等价,.,05 二月 2025,59,例,1,：,证明：,与路径无关,，,并求,证：,积分与路径无关,。,x,y,.,(1,1),.,(1,1),05 二月 2025,60,例,2,：,计算,x,y,积分与路径无关。,解：,05 二月 2025,61,证：,05 二月 2025,62,。,05 二月 2025,63,例,4,：,其中,：,(1),C,1,不包围也不通过原点的任意,无重点闭曲线。,(2),C,2,以原点为中心的正向单位圆,。,(3),C,3,包围原点的任意无重点正向闭曲线,。,解：,除原点外,，,05 二月 2025,64,(1),C,1,不包围也不通过原点的任意无重点闭曲线,即所围闭区域,D,1,为,单连通域,，,在,D,1,上,都有,(2),C,2,以原点为中心的正向单位圆,x,y,D,1,D,2,1,C,1,C,2,在,(0,0),点,P,Q,无一阶连续偏导数,，,不可用等价命题！,由定义求。,05 二月 2025,66,课 外 作 业,习题,12 3(A),4(2),5(2),6(2),1(2,3),3,5,习题,12 3(B),05 二月 2025,67,4.,对面积的曲面积分,（又称第一类曲面积分）,一、对面积的曲面积分的概念与性质,1.,引例,求曲面型构件的质量,。,设有一张曲面,其边界曲线是分段光,滑的闭曲线,且曲面光滑,面密度,(,x,y,z,),在,上连续,，,求曲面,的质量,。,05 二月 2025,68,x,y,z,0,(1),任分,为,n,块小曲面,(2),任取一点,则小曲面的质量：,(3),(4),.,05 二月 2025,69,2.,定义,(1),(2),(3),(4),则称此极限值为,f,(,x,y,z,),在曲面,上,对面积的曲面积分,。,若,05 二月 2025,70,记作,积分曲面,dS,曲面面积元素,可见,，,曲面形构件的质量,：,又称为,第一类曲面积分,，,05 二月 2025,71,说明：,(1),f,(,x,y,z,),虽为三元函数,，,但点,(,x,y,z,),被,限制在曲面,上,变量,x,y,z,不相互独立,，,而依赖于曲面,的方程,。,(2),(3),若,f,(,x,y,z,),在光滑曲面,上连续,，,则,上述曲面积分存在。,(4),其性质与第一类曲线积分相仿。,特别,，,若,是,闭曲面,则记作,05 二月 2025,72,二、,对面积的曲面积分的,计算法,设曲面,：,z,=,z,(,x,y,),(1),(2),(3),z,=,z,(,x,y,),在,D,xy,上具有连续偏导数,；,f,(,x,y,z,),在光滑曲面,上连续,；,05 二月 2025,73,同理,：,05 二月 2025,74,D,z,x,y,例,1,：,内部的部分,。,把,1,投影到,xoy,平面,，,解：,05 二月 2025,75,内部的部分,。,解：,把,2,投影到,xoy,平面,，,D,z,x,y,例,1,：,05 二月 2025,76,D,z,0,x,y,所围区,解：,域的边界曲面,。,例,1,：,05 二月 2025,77,例,2,.,1,1,1z,x,y,05 二月 2025,78,=0,=0,0+0+,1,1,1,z,x,y,05 二月 2025,79,例,3,：,问题：,能否投影到,xoy,面上,?,dS,=?,解：,把,投影到,yoz,面上,，,则,R,h,z,x,y,05 二月 2025,80,05 二月 2025,81,第一类曲面积分的应用：,设,为有界光滑曲面,，,为面密度,，,(1),(2),(3),曲面,的,面积,曲面,的,质量,曲面,的,质心坐标,05 二月 2025,82,(4),曲面,的,转动惯量,05 二月 2025,83,课 外 作 业,习题,12 4(A),2(2),3,1(1,3,5),习题,12 4(B),