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世界数学发展史
第一节 数学发展的主要阶段
乔治·萨顿曾说过：“科学史是人类认识自然的经验的历史回顾。”数学史是数学发展历史的回顾，它研究数学产生发展的历史过程，探求其发展的规律。研究数学史，可以通过历史留下的丰富材料，了解数学何时兴旺发达，何时停滞衰退，从中总结经验教训，以利于数学更进一步的发展。关于数学发展史的分期，一般来说，可以按照数学本身由低级到高级分阶段进行，也就是分成四个本质不同的发展时期，每一新时期的开始都以卓越的科学成就作标志，这些成就确定了数学向本质上崭新的状态过渡．这里我们主要介绍世界数学史的发展。
　　一、数学的萌芽时期
　　这一时期大体上从远古到公元前六世纪．根据目前考古学的成果，可以追溯到几十万年以前．这一时期可以分为两段，一是史前时期，从几十万年前到公元前大约五千年；二是从公元前五千年到公元前六世纪．
　　数学萌芽时期的特点，是人类在长期的生产实践中，逐步形成了数的概念，并初步掌握了数的运算方法，积累了一些数学知识．由于土地丈量和天文观测的需要，几何知识初步兴起，但是这些知识是片断和零碎的，缺乏逻辑因素，基本上看不到命题的证明．这个时期的数学还未形成演绎的科学．
　　这一时期对数学的发展作出贡献的主要是中国、埃及、巴比伦和印度．从很久以前的年代起，我们中华民族勤劳的祖先就已经懂得数和形的概念了．
　　在漫长的萌芽时期中，数学迈出了十分重要的一步，形成了最初的数学概念，如自然数、分数；最简单的几何图形，如正方形、矩形、三角形、圆形等．一些简单的数学计算知识也开始产生了，如数的符号、记数方法、计算方法等等．中小学数学中关于算术和几何的最简单的概念，就是在这个时期的日常生活实践基础上形成的．
　　总之，这一时期是最初的数学知识积累时期，是数学发展过程中的渐变阶段．
　　二、初等数学时期
　　从公元前六世纪到公元十七世纪初，是数学发展的第二个时期，通常称为常量数学或初等数学时期．这一时期也可以分成两段，一是初等数学的开创时代，二是初等数学的交流和发展时代．
　　1．初等数学的开创时代．
　　这一时代主要是希腊数学．从泰勒斯(Thales，公元前636—前546)到公元641年亚历山大图书馆被焚，前后延续千余年之久，一般把它划分为以下几个阶段：
　　(1)爱奥尼亚阶段(公元前600—前480年)；
　　(2)雅典阶段(公元前480—前330年)；
　　(3)希腊化阶段(公元前330—前200年)；
　　(4)罗马阶段(公元前200—公元600年)．
　　爱奥尼亚阶段的主要代表有米利都学派、毕达哥拉斯(Pythagoras，公元前572—前497)学派和巧辩学派．在这个阶段上数学取得了极为重要的成就，其中有：开始了命题的逻辑证明，发现了不可通约量，提出了几何作图的三大难题——三等分任意角、倍立方和化圆为方，并且试图用“穷竭法”去解决化圆为方的问题．所有这些成就，对数学后来的发展产生了深远的影响．
　　雅典阶段的主要代表有柏拉图(Plato，公元前427—前347)学派、亚里斯多德(Aristotle，公元前384—前322)的吕园学派、埃利亚学派和原子学派．他们在数学上取得的成果，十分令人赞叹，如柏拉图强调几何对培养逻辑思维能力的重要作用；亚里斯多德建立了形式逻辑，并且把它作为证明的工具．所有这些成就把数学向前推进了一大步．
　　上述两个阶段称为古典时期．这一时期的数学发展，在希腊化阶段上开花结果，取得了极其辉煌的成就，产生了三个名垂青史的大数学家欧几里得、阿基米德(Archimeds，公元前287—前212)和阿波罗尼(Apollonius，约公元前262—前190)．欧几里得的《几何原本》第一次把几何学建立为演绎体系，从而成为数学史乃至思想史上一部划时代的著作．阿基米德善于将抽象的数学理论和具体的工程技术结合起来．他根据力学原理去探求几何图形的面积和体积，第一个播下了积分学的种子．阿波罗尼综合前人的成果，写出了有创见的《圆锥曲线》一书，它成为后来所有研究这一问题的基础和出发点．这三大数学家的丰功伟绩，把希腊数学推向光辉的顶点．
　　随着罗马成为地中海一带的统治者，希腊数学也就转入到罗马阶段．在这个阶段也出现了许多有成就的数学家，其中特别值得一提的是托勒密(C·Ptolemy公元90—168)结合天文学对三角学的研究、尼可马修斯(Nichomachus，公元100年左右)的《算术入门》和丢番图(Diophantus，约246—330)的《算术》．后两本著作把数学研究从形转向数，在希腊数学中独树一帜．尤其是《算术》一书，它对后来数学发展的影响，仅次于《几何原本》．
　　总之，这一时代的特点是：数学已经开始发展成为一门独立科学，建立了真正意义上的数学理论；数学的两个分支——算术和几何，已经作为演绎系统建立起来；数学发生了非常明显的变化，即从经验形态上升为理论形态．
　　特别要指出的是，关于数学研究的对象，当时已经比较明确地提了出来．古希腊数学家亚里斯多德在《形而上学》第十三篇第三章中说，数学的东西(例如点、线)是感性事物的抽象．他的这个思想直到现在仍然值得我们赞赏，因为它明确地、清楚地揭示出数学研究的特点，这就是把物体、现象、生活的一个方面抽象化．
　　2．初等数学的交流和发展时代．
　　从公元六世纪到十七世纪初，是初等数学在各个地区之间交流，并且取得了重大进展的时期．
　　在亚洲地区，有中国数学、印度数学和日本数学．我国在数学上取得的成就将在后面专门叙述．印度数学的特点是受婆罗门教的影响很大，此外，它还受到中国、希腊和近东数学的影响，特别是中国的影响．印度数学的成就主要在算术和代数方面，最为人称道的是位值制记数法，现行的“阿拉伯数码”源于印度．
　　七世纪以后，建立了以巴格达为中心的阿拉伯数学．它主要受希腊数学和印度数学的影响．这一时期产生了阿尔·花拉子模(AL-Khowarizmi，780—850)等一大批数学家，为世界数学宝库增添了光彩．代数是阿拉伯数学中最先进的部分，“代数”这个名词出自花拉子模的著作，它的研究对象被规定为方程论；几何从属于代数，不重视证明；三角学是他们的最大贡献，他们引入正切、余切、正割、余割等三角函数，制作精密的三角函数表，发现平面三角与球面三角若干重要的公式，使三角学脱离天文学独立出来．
　　中世纪欧洲的数学家们基本上是引进，学习中国、印度、希腊和阿拉伯的数学，其中著名的数学家有意大利的斐波那契(L·Fibonacci，约1170—1250)、法国的奥雷斯姆(N·Oresme，约1323—1382)等．到了十五、十六世纪，意大利的数学家帕西奥里(L·Pacioli，1445—1509)、塔塔利亚(N·Tartaglia，1500—1557)等人在代数方程论方面作了一系列突破性的工作，并使用了虚数，欧洲人终于取得了超过前人的成就．法国的韦达(F·Vieta，1540—1603)改进了符号，使代数学大为改观．苏格兰的纳皮尔(J．Napi-er，1550—1617)发明了对数，使计算方法向前推进了一大步．
　　这个时期的特点是初等数学的主体部分(算术、代数与几何)已全部形成，并且发展成熟了．例如在算术方面，除了继承原有的计算技术之外，还发明了对数，代数也有很大的发展，韦达建立了符号代数．在三角学方面，雷琼蒙塔努斯(J·Regiomontanus，1436—1476)著了《三角全书》，其中包括平面三角和球面三角．在几何方面，透视法满足了绘画的需要，投影法满足了绘制地图的需要，等等．
　　3．中国在这一时期对数学的贡献．
　　我们伟大的祖国是世界上公认的四大文明古国之一，有悠久的历史和灿烂的文化．上下五千年的中国文化丰富多采、为世界文明作出了不朽的贡献．中国数学的发展和成就，在世界数学史上占有非常重要的地位．在世界数学的宝库里，中国古代数学是影响深远、风格独特的体系．
　　在初等数学时期，我国在数学领域取得了许多伟大成就，出现了许多闻名世界的数学家，如刘徽(公元三世纪)、祖冲之(429—500)、王孝通(公元六世纪—七世纪)、李冶(1192—1279)、秦九韶(1202—1261)、朱世杰(十三、四世纪)等人．出现了许多专门的数学著作，特别是《九章算术》的完成，标志着我国的初等数学已形成了体系．这部书不但在中国数学史上而且在世界数学史上都占有重要的地位，一直受到中外数学史家的重视．我国传统数学在线性方程组、同余式理论、有理数开方、开立方、高次方程数值解法、高阶等差级数以及圆周率计算等方面，都长期居世界领先地位．
　　例如，1802年，一个意大利科学协会为了改进高次方程的解法，曾颁发一枚金质奖章，这枚奖章为意大利数学家鲁菲尼(P·Ruffini，1765—1822)所获得，1819年英国数学家霍纳(G·Horner，1786—1837)完全独立地发展了一个相同的方法．不过他们谁也不知道，早在十三世纪，秦九韶就已经发展了古代解数值高次方程的方法，他的方法与1819年霍纳重新发现的方法实质上是相同的．
　　我国十一世纪杰出的数学家贾宪是最早得出关于二项式展开式的系数规律的(贾宪三角形)，在欧洲称之为“巴斯卡”(B·Pascal，1623—1662)三角形，而巴斯卡是在十七世纪才得出这一结果的．
由刘徽在公元三世纪根据《九章算术》推导的羡除公式 ，欧洲人却误认为是勒让德(A·M·Legendre，1752—1833)首创的．
祖冲之把圆周率π计算到范围为3.1415926＜π＜3.1415927，以及密率 ，保持世界记录千年以上。
　　古代中国数学家的伟大成就，不仅是中国人民的财富，而且还是世界科学的瑰宝．
三、近代数学时期
　　从十七世纪初到十九世纪末，是数学发展的第三个时期，通常称为变量数学时期或近代数学时期．其中从十七世纪初到十八世纪末，是近代数学的创立与发展阶段；十九世纪是近代数学的成熟阶段．
　　这个时期的起点是笛卡尔(R·Descartes，1596—1650)的著作，他引入了变量的概念，恩格斯对此给予很高的评价：“数学中的转折点是笛卡尔的变数．有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了，而它们也就立刻产生，并且是由牛顿和莱布尼兹大体上完成的，但不是由他们发明的．”
　　十七世纪是数学发展史上一个开创性的世纪，创立了一系列影响很大的新领域：解析几何、微积分、概率论、射影几何和数论等．每一个领域都使古希腊人的成就相形见绌．这一世纪的数学还出现了代数化的趋势，代数比几何占有重要的位置，它进一步向符号代数转化，几何问题常常反过来用代数方法解决．随着数学新分支的创立，新的概念层出不穷，如无理数、虚数、导数、积分等等，它们都不是经验事实的直接反映而是数学认识进一步抽象的结果．
　　十八世纪是数学蓬勃发展的时期．以微积分为基础发展出一门宽广的数学领域——数学分析(包括无穷级数论、微分方程、微分几何、变分法等学科)，它后来成为数学发展的一个主流．数学方法也发生了完全的转变，主要是欧拉、拉格朗日(Lagrange，1736—1813)和拉普拉斯(Laplace，1749—1827)完成了从几何方法向解析方法的转变．这个世纪数学发展的动力，除了来自物质生产之外，一个直接的动力来自物理学，特别是来自力学、天文学的需要．
　　十九世纪是数学发展史上一个伟大转折的世纪，它突出地表现在两个方面．一方面是近代数学的主体部分发展成熟了，经过一个多世纪数学家们的努力，它的三个组成部分取得了极为重要的成就：微积分发展成为数学分析，方程论发展成为高等代数，解析几何发展成为高等几何，这就为近代数学向现代数学转变准备了充分的条件．另一方面，近代数学的基本思想和基本概念，在这一时期中发生了根本的变化：在分析学中，傅立叶(J· Fourier，1768—1830)级数论的产生和建立，使得函数概念有了重大突破；在代数学中，伽罗瓦(E· Galois，1811—1832)群论的产生，使得代数运算的概念发生了重大的突破；在几何学中，非欧几何的诞生在空间概念方面发生了重大突破，这三项突破促使近代数学迅速向现代数学转变．
　　十九世纪还有一个独特的贡献，就是数学基础的研究形成了三个理论：实数理论、集合论和数理逻辑．这三个理论的建立为即将到来的现代数学准备了更为深厚的基础．
　　四、现代数学时期
　　从十九世纪末至现在的时期，是现代数学时期，其中主要是二十世纪．这个时期是科学技术飞速发展的时期，不断出现震撼世界的重大创造与发明．本世纪前八十年的历史表明，数学已经发生了空前巨大的飞跃，其规模之宏伟，影响之深远，都远非前几个世纪可比，目前发展还有加速的趋势，最后二十年大概还要超过前八十年．
　　二十世纪数学的主要特点，可简略概括如下：
　　1．电子计算机进入数学领域，产生难以估量的影响．
　　计算机1945年制造成功，到现在四十多年，已经改变或正在改变整个数学的面貌．围绕着计算机，很快就形成了计算科学这门庞大的学科．离散数学的飞速发展，动摇了分析数学十七世纪以来占有的统治地位，目前大有和分析数学分庭抗礼之势．
　　自古以来，数学证明都是数学家在纸上完成的．随着计算机的发明，出现了机器证明这一新课题．1976年，两位美国数学家利用计算机终于证明了“四色定理”这个难题，轰动了数学界，它开辟了人机合作去解决理论问题的途径．
　　2．数学渗透到几乎所有的科学领域里去，起着越来越大的作用．
　　四十年代以后，涌现出大量新的应用数学科目，内容的丰富，名目的繁多，都是前所未有的．
　　今天，在人类的一切智力活动中，没有受到数学(包括电子计算机)的影响的领域，已经廖廖无几了．即使过去很少使用数学的生物学，现在也和数学结合形成了生物数学、生物统计学、数理生物学等等学科．
　　应用数学的新科目如雨后春笋般兴起，如对策论、规划论、排队论、最优化方法、运筹学等．六十年代模糊数学产生以后，数学的对象更加扩大，应用的范围也就更广了．
　　3．数学发展的整体化趋势日益加强．
　　从十九世纪起，数学分支越来越多，到本世纪初，可以数出上百个不同的分支．另一方面，这些学科又彼此融合，互相促进，错综复杂地交织在一起，产生出许多边缘性和综合性的学科．单科独进，孤立地发展的情况已不复存在．
　　4．纯粹数学不断向纵深发展．
　　集合论的观点渗透到各个领域里去，逐渐取得支配的地位．公理化方法日趋完善．数学一方面勇往直前，另一方面又重视基础的巩固．数理逻辑和数学基础已经成为数学大厦的基础，在它的上面矗立起泛函分析，抽象代数和拓扑学这三座宏伟的建筑．
　　数学在获得广泛应用的同时，新理论、新观点、新方法也不断产生，如代数拓扑、积分论、测度论、赋范环论、紧李群等许多重大的基础学科，都是本世纪产生和成熟的．现代数学在这些基地上又向更新的高度攀登．本世纪的许多古典难题，包括希尔伯特的23个问题，有些已经获得了解决，有些取得了可喜的成果，还有不少振奋人心的突破