数学：24.2相似三角形的判定教案（沪科版九年级上）.doc

24.2相似三角形的判定
第一课时 (预备定理)
教学目的：
1.理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件，理解相似比的意义．
2.理解并掌握定理“平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．）
3.通过相似三角形概念的引入过程，联系实际的意识，增进数学应用的眼光．
教学重点：
.使学生理解并掌握定理“平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．）
教学难点：
准确找出相似三角形的对应边和对应角度.
教学方法：
教学过程：
一、讨论相似三角形的定义
请同学们都拿出文具盒中的三角板，观察它们之间的关系，再与教师手中的木制三角板比较，观察这些三角形的关系，这是有全等的关系也有相似的关系．从全等与相似的类比，不难得到相似三角形的定义．
二、 给出定义
1. 从∠A=∠A,∠B=∠B,∠C=∠C,AB:A’B’=BC:B’C’=AC:A’C’ 可知 △ABC∽△A’B’C’
2.板书定义．叫学生写在笔记本上．
3.什么叫相似比,说明相似比的意义.
注意：(在记两个三角形相似的时候,和记三角形全等一样,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上,这样可以比较容易找出相似的对应的角和边)
△ABC和△A’B’C’的比与△A’B’C’和△ABC的比不一定相等,而是成倒数的关系.
三、导出定理
1.讨论为什么“平行于三角形一边的直线和其它两边的相交，所构成的三角形与原三角形相似？”
如图:如果DE∥BC,∠ADE =∠B A
∠AED=∠C;
AD:AB=DE :BC=AE:AC D E

B C

2、平行于三角形的一边，且和其他两边相交的直线，所截得的三角形与原三角形的三边对应成比例．（成比例的线段不都在一个角的两边上，而分别是截得的三角形与原三角形的三条边）
四、 学生练习
1、讨论练习
（1）所有的等腰三角形相似吗？等边三角形呢？为什么？
（2）所有的直角三角形相似吗？等腰直角三角形呢？为什么？
2、课堂练习64页.
五、课堂小结：
1、 相似三角形的定义；
2、 会准确找出两三角形的对应边和对应角；
3、
两个三角形
形状
大小
对应边
对应角
符号
相似比
全等三角形
相同
相等

相等
相等

≌

K=1

相似三角形
相同
不一定相等
成比例

成比例

∽

K为正实数

六、课外作业：补充资料

教学后记：

第二课时 判定定理1(AA)
教学目的：
1、 使学生能通过三角形全等的判定来发现三角形相似的判定.
2、 使学生掌握相似三角形判定定理1，并了解它的证明.
3、 使学生初步掌握相似三角形的判定定理1的应用.
重点：
掌握相似三角形判定定理1及其应用.
难点
定理1的证明方法.
教学方法：
教学过程
一． 复习
1、 什么叫相似三角形？相似三角形与全等三角形有何联系？
2、 到目前为止判定三角形相似的方法有几个？
3、 判定两个三角形全等的定理有几个？说出它们的内容.
二、新授
1、 导入新课
两个角对应相等的两个三角形相似吗？这就是我们今天研究的问题.(板书)
2、 要证明以上命题是真命题，目前只有两条途径，一个是相似三角形的定义，显然条件不够.二是用三角形相似判定的预备定理，但它不具备预备定理的基本图形，为了使用它，怎么创造呢？（把小的三角形移到大的三角形中）老师肯定他们的思路后然后师生一起用几何作图的办法完成.
证明（略）
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.可简单说成：两角对应相等，两三角形相似.
这个定理的出现为判定两三角形相似增加了一条新的途径.
3、 范例：
例1：已知：△ABC和△DEF中∠A=40，∠B=80，∠E=80，∠F=60
求证：△ABC∽△DEF
分析：
由于条件中有角的关系，所以我们可以联想到“对应角相等”的问题，从已知可以证明∠C=∠F，这样就有了两个角对应相等，三角形相似的条件，所以△ABC∽△DEF
证明：（略）
例2：
直角三角形被斜边上的高分成的两个直三角形的与原三角形相似
（像这样只用文字说明的题目，必须画出相应 的图形写出已知，求证.然后才能着手证明）
分析：
欲证明两个三角形相似，只需证明两个对应角相等.
证明：见教材
三、巩固练习：
P65练习1、2、3；
四、小结
本节主要学习了相似三角形的判定定理1一定要掌握好这个定理.
五、作业：
基础训练

教学后记

第三课时 定理2.(SAS)3(SSS)
教学目的:
1、 使学生掌握三角形相似的判定定理2，3，和它们的应用.
2、 了解上述两定理的证明.
教学重点：
判定定理的应用
教学难点
定理的证明
教学过程：
一、 复习：
1、判定三角形相似目前有哪些方法？
2、回忆三角形相似判定定理1的证明的方法.
二、 新授
1、 导入新课
三角形全等的判定中AAS 和ASA对应于相似三角形的判定的判定定理1，那么SAS和SSS对应的三角形相似的判定命题是否正确，这就是本节研究的内容.（板书）
2、 三角形相似的判定定理3.
判定定理2 如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似可以简单说成：
两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似.
判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.可简单说成：三边对应成比例的两三角形相似.

我们对判定定理1 的证明大家已经清楚，就是在一个三角形的内一辅助三角形，使与另一个三角形全等，这两个三角形与所在三角形相似，今天也可以采用这种思路来证明它们吗？请看书67页
说明：
这三个判定定理证明中，实际上都存在关于相似三角形图形的传递性问题，要与等量代换相区别.
3、 范例依据下列各组条件，判定△ABC∽△A’B’C’是不是相似,并说明为什么?
(1)∠A=120度,AB=7CM,AC=14CM,∠A’=120度
A’B’=3CM,A’C’=6CM,
(2)AB=4,BC=6,AC=8,A’B’=12,B’C’=18,A’C’=24
解(1)
因为AB：AB=7：3，
AC：AC = 14：6 = 7：3
所以AB：AB=AC：AC
∠A=∠A
所以△ABC∽△A’B’C’（两边对边成比例，且夹角相等两三角形相似）
三：巩固练习
1、课本P66 1，2，3
四、小结
本节学习了相似三角形两个判定定理，一定用时要注意它们使用的条件.

五、作业：
P69:1.2.

教学后记：

第四课时 直角三角形的判定方法(HL)
教学目的：
1、 使学生掌握直角三角形相似的判定定理及其应用.
2、 使学生进一步了解定理证明的方法.
重点：
定理的应用
难点：
定理的证明
教学过程 ：
一：复习
1、 勾股定理.
2、 三角形判定定理
二、新授
1、 导入新课
直角三角形的全等判定定理是一条直角边和一条斜边对应相等的两个直角三角形全等.那么两个直角三角形相似的对应命题应是什么呢？
2、 直角三角形相似的判定定理.
如果一个直角三角形的斜边和一条直角和另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个三角形相似.
如何证明这个定理，上述的三个相似三角形的判事实上定理的证法，同样运用这个定理的证明.
B B’

C ‘’ A’’
C’ A’
C A
已知:如图RT△ABC与RT△A’B’C’中∠C=∠C’=90度,
AB:A’B’=AC:A’C’
求证: RT△ABC∽RT△A’B’C’
书上定理的证明思路请看书
3、 范例：
解题过程请看书，完成这题后，老师告诉学生：
若把题目的最后一句△ABC∽△COB吗？改成这两个三角形相似吗？
那结果又是什么？
分析：
原题目中△ABC∽△COB，那么对应顶点已对齐，所以斜边对斜边，直角边BC对直角边DB，若改为这两个三角形相似，因为题目中∠ABC=∠COB=90度已定，所以斜边对斜边不变而直角边BC可能与BD 对应，也可能与AB对应，因此本题就有两种情况存在，其结果也就可能有两个.
三、巩固练习：
P70页1、2
四、小结：
本节的直角三角形相似的判定和应用必须掌握.
五、作业：
基础训练
教学后记：

第五.六课时三角形的判定方法练习
相似三角形及其判定练习
一、 选择题：
1.下列判断正确的是（ ）
A. 两个直角三角形相似 B.两个相似三角形一定全等
C.凡等边三角形都相似 D.所有等腰三角形都相似

2.下列各对三角形中一定不相似的是（ ）
A.△ABC中，∠A=54°，∠B=78°△A′B′C′中，∠C′=48°，∠B′=78°

B.△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm
△A′B′C′中，∠C′=90°，A′C′=12cm，B′C′=15cm
C.△ABC中，∠B=90°，AB=5，AC=13
△A′B′C′中，∠B′=90°，A′B′=2.5a，B′C′=6a
D.△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AB=5
△A′B′C′中，∠A′=45°，A′B′=5

3. 如图，AB∥CD，AC、BD交于O，BO=7，DO=3，AC=25，则AC长为（ ）
A.10 B.12.5 C.15 D.17.5
4. 在△ABC中，MN∥BC，MC、NB交于O，则图中共有（ ）对相似三角形.
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题
1. 如图16，已知△ABC中D为AC中点，AB=5，AC=7，

∠AED=∠C，则ED= .
2. 在梯形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，DC：AB=1：1.5，
则AD：BC= .

3.如图18在Rt△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=6，AD=3.6，则BC= ，BD= .

4.已知：图19中AC⊥BD，DE⊥AB，AC、ED交于F，BC=3，FC=1，BD=5，则AC= .
三、解答题

1.已知：如图20□ABCD中E为AD的中点，AF：AB=1：6，EF与AC交于M. 求：AM：AC.

2.已知：如图21在△ABC中EF是BC的垂直平分线，AF、BE交于一点D，AB=AF.
求证：AD=DF.

3. 已知：E是正方形ABCD的AB边延长线上一点，DE交CB于M，MN∥AE.
求证：MN=MB

4. 已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4
求证：BM·AC=MN·AB

答案
一、1.C；2.D；3.D；4.B.
二、1. 0.1；2. 1：1.5；3. 8，6.4；4. 6.
三、 1. 1：8；
2. △DBF∽△ACB，；
3. ；
4.略.

能力层面测试

1、 填空题

（1）_______相等， ______成比例的两个三角形相似；
（2）DE是ΔABC的中位线，则ΔADE∽ ___，相似比是____;
(3)所有的等腰直角三角形都______;
2、 选择题
（1） ΔABC ∽ΔA`B`C`，AB=2，BC=3，A`B`=1，则B`C`=（ ）
A 1.5 B 3 C 2 D 1
(2) ΔABC ∽ΔA`B`C`,∠A =400 ∠B=1100,则∠C=（ ）
A 400 B 1100 C 1200 D 300
（3）如图，正方形ABCD，AC、BD相交于O，OE⊥BC于E,则图中与ΔCOE相似的三角形的个数有（ ）
A 2 B 4 C 8 D 9
A B

OOOOOOO

D E C

（4）如果ΔABC ∽ΔA`B`C`，且在ΔABC中AB=15，AC=12，BC=14，在ΔA`B`C`中最大的边是10，求其余两边的长.
3.判断题
(1)、所有的等腰三角形都相似（ ）
(2)、所有的等边三角形都相似（ ）
(3)、所有的直角三角形都相似（ ）
(4)、所有的等腰直角三角形都相似（ ）

能力层面训练

1、如图1梯形ABCD中AD∥BC，∠A =90 ，BD平分 ∠ABC，若BD=CD，
（1） ΔABD与ΔBCD是什么三角形？
（2） 这两个三角形相似吗？为什么？

2、如图，在三角形ABC中，AD/DB=1/2，DE∥BC，CF∥AB，BF交AC于G，指出图中各对相似三角形及其相似比.

3、如图，ΔABC中，DE∥BC，MN∥BA，DE与MN相交于O，则图中相似三角形的对数为（ ）
（A）4对 （B）5对 （C）6对 （D）7对
5、书习题2

第七.八课时 相似三角形证题要点(复习小结)

一. 重点内容分析与讲解
1. 相似三角形证题要点:
①深刻理解并掌握“平行截比例”、“平行截相似”、“比例出平行”等平行与相似的关系.
②增强识图能力，能够从已知图形中找出全部相似三角形，从中列出所需比例式
③确定“中间比”，“中间积”，方法是找到两组有联系的比例式或两对相似三角形.
④准确完成等积式与比例式的互化，并可以依据图形变化比例式.
⑤没有平行怎么办？运用相似三角形的判定定理，或添加平行线.
⑥一对相似三角形可写出一个连比例，应择需而用或同时运用.
⑦添辅助线要能够达到“一线两相似”，“一线两比例”并能与其它知识兼顾，这是辅助线特征“一举两得”在相似形中的体现.
⑧熟记一些规律图形.
2. 熟练掌握下列常见的基本图形:
① (1)当∠1=∠___时, △ABC∽△ACD;
(2)当时, △ABC∽△ACD,
于是成立平方等积式AC2 = AD·AB
规律: 有公边共角的两个相似三角形中,公共边是两个三角形落在一条直线上的两边的比例中项 .

②若∠ACB=∠CDB=900 则：Rt△______ ∽ Rt△______ ∽ Rt△_______.
可以写出三个平方等积式： AC2 = _____·_____ , BC2 = _____·____ , CD2 =____·____.

③ △ABC中若BD、CE分别是高，
Rt△BOE∽Rt△_______∽Rt△______∽Rt△_______
这四个直角三角形彼此相似，共计____对.
另有：△ADE∽△_______，还有：△BOC∽△_______.
所以在左图中共有____对相似三角形.

④若∠1=∠2，∠3=∠B，则图中有三对相似三角形△ABC∽△ACE, △ABD∽△ACO △AOE∽△ADC（请同学自己证一下,这一对容易被遗漏）

3. 例题及练习
例题: 图(c)中,CD垂直平分AB,点E在CD上,

E移为CD中点 将△ACD沿CD翻折 E移到C与C重合

(a) (b) (c) （d）

变式训练1: 图(b)中, DF⊥BC, DG⊥BE,
求证: AF·AC = BG·BE

变式训练2: 图(d)中, CD⊥AB , DF⊥AC, DG⊥BE, D、F、G分别为垂足，连结GF. 求证：∠CGF＝∠CAB

变式训练3：如图(a),△BCD中,DG⊥BE , ,E是CD的中点,DG⊥BE,垂足为G. 连结CG.
求证: FG·BC = CE·BG
求证: ∠CBE = ∠GCE