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本科学年论文

论文题目：积分在计算物体体积和质量等问题中的应用

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完成日期： 2011年 12 月 20 日
目录
内容摘要 1
关键词 1
序言 2
一、定积分的微小元素法 3
1、内容要点 3
2、曲边梯形的面积计算方法，定积分的定义 4
3、计算面积的元素法步骤： 4
二、空间立体的体积 4
1、平行截面面积为已知的立体体积 4
2、旋转体的体积 7
三、重积分在几何中的应用 10
四、重积分在物理学中的应用 11
1、三重积分的概念 11
2．三重积分的定义 12
3、三重积分的物理意义： 13
4、三重积分的性质 13
五、质量 13
参考文献 16
积分在计算物体体积和质量等问题中的应用

内容摘要

掌握定积分计算基本技巧；并用所学的定积分的微元法（元素法）去解决各种领域中的一些实际问题；掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（旋转体的体积平行截面面积为已知的立体体积等）。对于重积分的计算其基本思想是将重积分化为累次积分进行计算.本文首先给出如何应用定积分的微元法（元素法）再到运用定积分解决实际问题，最后引出二重积分，三重积分。再通过例子研究积分性质在计算实际问题中的应用.

关键词：积分 体积 质量 定积分

序言

用找出未知量的元素（微元）的方法建立这些几何、物理的公式解决实际问题。运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法是解决积分问题的重要思想。
而重积分是一元函数定积分的推广，是多元函数积分学的重要组成部分，在几何学与物理学中都得到了广泛的应用.在几何上，重积分可用来求空间曲面的面积、求空间区域的体积.在物理上，重积分可用来求物体的质量等.但与定积分相比较，重积分的计算除了与被积函数的结构有关外，更大程度上与积分区域的特点有关.下面就针对积分对于计算物体体积和质量的问题进行分析.

一、定积分的微小元素法
1、内容要点
a

b

x

定积分概念的引入，体现了一种思想，它
就是：在微观意义下，没有什么“曲、直”之
分，曲顶的图形可以看成是平顶的，“不均匀”
的可以看成是“均匀”的。简单地说，就是以
直”代“曲”，以“不变”代“变”；用这一
思想来指导我们的实际应用，许多计算公式可
以比较便利地得出来。
比如，求右图所示图形的面积时，在[a, b]
上任取一点x，此处任给一个“宽度”，那
么这个微小的“矩形”的面积为

此时我们把称为“面积微元”。把这些微小的面积全部累加起来，就是整个图形的面积了。这种累加通过什么来实现呢？当然就是通过积分，它就是
。
这些“面积微元”，几乎就是细线段，当这些数都数不清的“细线段”一根一根地累加起来，就形成了整个图形的面积。
打一个不很严格的比方，这些“细线段”的厚度，就好比我们课本纸张的厚度，当很多很多的纸张叠在一起的时候，这个面积就出来了。不是吗？页数很多的书不是比较厚吗？人们就是在这样一个思想下解决问题的。
我们把这样的思想方法称为“微元法”。
再比如，求变速直线运动的质点的运行路程的时候，我们在T0到T1的时间内，任取一个时间值t，再任给一个时间增量，那么在这个非常短暂的时间内（内）质点作匀速运动，质点的速度为v ( t )，其运行的路程当然就是

就是“路程微元”，把它们全部累加起来之后就是：

用这样的思想方法，将来我们还可以得出“弧长微元”、“体积微元”、“质量微元”和“功微元”等等。这是一种解决实际问题非常有效、可行的好方法。

2、曲边梯形的面积计算方法，定积分的定义
面积
面积元素=

3、计算面积的元素法步骤：
（1）画出图形；
（2）将这个图形分割成个部分，这个部分的近似于矩形或者扇形；
（3）计算出面积元素；
（4）在面积元素前面添加积分号，确定上、下限。

二、空间立体的体积

1、平行截面面积为已知的立体体积
定理一：设V是位于[a,b]间的一空间立体，A(x)（）是截面积的函数，且在[a,b]上连续，则立体V的体积为
证明：在[x,x+dx]上的体积微元是dV=A(x)dx,则体积为：

解析：设某空间立体垂直于一定轴的各个截面面积已知,则这个立体的体积可用微元法求解.
不失一般性,不妨取定轴为轴,垂直于轴的各个截面面积为关于的连续函数,的变化区间为.
该立体体积对区间具有可加性.取为积分变量,在内任取一小区间,其所对应的小薄片的体积用底面积为,高为的柱体的体积近似代替,即体积微元为

于是所求立体的体积

【例2】 求由双曲抛物面、平面与所围立体的体积。
分析 该立体如图10-14（a）所示。由于它不是一个旋转体，因此只能通过先求出截面面积函数，而后再求定积分的方法来计算立体体积。从我们对双曲抛物面的认识可以知道，垂直于z轴的截面形状是一族双曲线弓形（示于图10-14（b）），垂直于x轴的截面形状是一族抛物弓形（示于图10-14（c））。若能求得截面面积函九A（z）或A（x），便有

解 下面人出两种解法，以便于进行比较。
[解法一] 在计算A（z）时，应把z看作在[0,1]上的任一固定实数。此时，水平截线是一族双曲线（每个z的值对应一条双曲线），或写作

于是所求双曲线弓形的面积为

由此便有

现分别计算右边三个积分如下：

所以
[解法二] 类似地，在计算A（x）时应把x看作在[0,1]上取定的任一实数。此时，垂直于x轴的截线是一族抛物线（每个x的值对应一条抛物线）。因此所求抛物线弓形的面积为

由此便有

说明 比较解法一与解法二，显然后者要简单得多。由此可见，在利用截面面积求体积的问题中，选择合适的截面是十分重要的。

【例2】 一平面经过半径为的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角,计算这个平面截圆柱体所得契形体的体积.
解 取该平面与底面圆的交线为轴建立直角坐标系,则底面圆的方程为,半圆的方程即为.
在轴的变化区间内任取一点,过作垂直于轴的截面,截得一直角三角形,其底长为,高度为,故其面积

于是体积

2、旋转体的体积
旋转体是一种特殊的空间立体，它是一条平面图形饶平面一直线l旋转一周所得，特别地，直线为x轴，一般地，设旋转体由曲线y=f(x),x=a,x=b,以及x轴所围的曲边梯形饶x轴旋转一周所得的一个立体，用垂直于x轴的平面去截立体得到截面面积为A(x)=,则旋转体的体积为：
例1例2、过点作抛物线的切线，求该切线与抛物线及轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积
解：设切点为
切线方程
Q 切点在切线上，
（3,1）
0 1 2 3
∴
，
∴切线方程：

类型1:求由连续曲线,直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成立体的体积.
过任意一点作垂直于轴的平面,截面是半径为的圆,其面积为,于是所求旋转体的体积

【例3】 求由及所围成的平面图形绕轴旋转一周而成立体的体积.
解 积分变量轴的变化区间为,此处,则体积

【例4】 连接坐标原点及点的直线,直线及轴围成一个直角三角形,求将它绕轴旋转一周而成的圆锥体的体积.
解 积分变量的变化区间为,此处为直线的方程,于是体积

类型2:求由连续曲线,直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体的体积.
过任意一点,作垂直于轴的平面,截面是半径为的圆,其面积为,于是所求旋转体的体积

【例5】 求由及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体的体积.
解 积分变量的变化区间为,此处.于是体积

【例6】求椭圆分别绕轴、轴旋转而成椭球体的体积.
解 若椭圆绕轴旋转,积分变量的变化区间为,此处
,于是体积

若椭圆绕轴旋转,积分变量的变化区间为,此处,于是体积

利用定积分的元素法可以解决许多求总量的问题，将这种思想方法推广到重积分的情形，也可以计算一些几何、物理以及其它的量值。

三、重积分在几何中的应用
利用定积分的元素法可以解决许多求总量的问题，将这种思想方法推广到重积分的情形，也可以计算一些几何、物理以及其它的量值。
空间立体的体积
由二重积分的几何解释可知，利用二重积分可以计算空间立体的体积V：
若空间立体为一曲顶柱体，设曲顶曲面的方程为，且曲顶柱体的底在平面上的投影为有界闭区域D，则
(4.1)
若空间立体为一上、下顶均是曲面的立体
(图4-1)，如何计算这个立体的体积V ？ 设
立体上、下曲顶的曲面方程分别为
和，且曲顶柱体在平面上的投
影为有界闭区域D，则
(4.2)
利用三重积分的性质，可求一般空间立体V的体积。
。 (4.3)
【例7】求两个半径都是R的直交圆柱所围成的立体的体积。 图4-2
解 设两个圆柱面的方程为，图4—2所绘是它在第一卦限内的部分。由对称性可知，知要求出图中阴影部分的体积V1，再乘以8即可，这部分立体在面上的投影区域D可表示为
。
而曲面方程为 ，
于是

，
故所求体积为 。
【例8】 计算在矩形D =上方，平面以下部分空间的立体体积。
解 因在区域D上，，故由(4.1)有
V =
=
= 。

四、重积分在物理学中的应用
利用重积分可以解决平面薄片和空间物体的质量、重心、转动惯量、引力等许多物理问题。这里只简单地介绍如何质量和重心坐标的求法。
1、三重积分的概念
三重积分是二重积分的推广，同时也是从实际问题中抽象概括出来的一个数学概念。
（1）、空间物体的质量
设V是三维空间R3中可求体积的有界体。，体V在点P的密度为，求体V的质量。
如果体V是均匀分布的立体，即在每一点的密度都一样（是常数），则体V的质量为，其中是体V的体积。但现在体V上每一点的密度都不相同，如何求体V的质量呢？
（1）分割
将体V任意分成n个小体：，此分法表为T。第k个小体的体积为(k=1,2,…,n)。
这样就把原来的体V分为n个小体
（2）代替
当第k个小体的直径很小时，第k个小体可近似看作均匀分布的。，于是，可用作为第k个小体的密度。因此，第k个小体的质量为
，(k=1,2,…,n)
（3）作和
体V的质量为

（4）求极限
当分割很细很密时，即每个小体的直径(k=1,2,…,n)都很小时，上述近似式的误差是很小的。分割越细，误差越小。令，则时，，即
2．三重积分的定义
由上面的例子舍去其物理意义，抽取其数学结构，即可得到三重积分的概念。
定义 设函数在有界闭体V上有定义。
（1）分割
将体V任意分成n个小体：，此分法表为T。第k个小体的体积为(k=1,2,…,n)。
（2）作乘积
，作乘积
，(k=1,2,…,n)
（3）作和
将上述所有乘积累加，得和式

称为函数在体V上关于分法T的积分和。
（4）求极限
令，时，积分和存在极限J（数J与分法T无关也与点的取法无关），即

则称函数在有界闭体V上可积，J是函数在体V上的三重积分，表为
或
其中体V称为积分区域，称为被积函数，或称为体积微元。
3、三重积分的物理意义：
设有界闭体V上任意一点的密度为，则体V的质量为

4、三重积分的性质
三重积分的性质与二重积分的性质是类似的，完全可以从二重积分的性质平行移过来

五、质量
由物理学我们知道，均匀分布的物体，其质量是很好求得的。
线状物体的质量=物体的弧长×线密度
面状物体的质量=物体的面积×面密度
几何形体的质量=物体的体积×体密度
并且，这些密度（线密度、面密度、体密度）值都是常量，因此只要知道物体的几何量值（弧长、面积、体积），物体的质量就可以很轻松地求出来。
在许多的实际应用中，物体的质量并不是均匀分布的，这样我们同样面临矛盾转换的问题，如何实现这种由非均匀到均匀的转换呢？当然，我们仍然借助“微元法”思想，当把物体分割得非常微小的时候，非均匀分布的物体就可以近似地看成均匀分布的了。

【例9】平面薄片的质量
设该薄片在面上占据平面闭区域D，已知薄片在D内每一点 (x， y) 的面密度为，且在D上连续。在闭区域D上任取一直径很小的闭区域，则薄片中对应于(也表示其面积)部分的质量可近似地表示为，这就是质量微元，以其为被积表达式，在区域D上二重积分，得
。 (4.6)
特别地，如果平面薄片为均匀的，即r为常数时，上式可简化为
(s 为D的面积)。 (4.7)
类似地，有空间物体的质量如下
设该物体占有空间区域，体密度函数为，则质量微元为：，故
。
【例10】设一物体占有的空间区域由曲面，，围成，密度为，求此物体的质量。
解 。

【例11】 设一物质曲线（）上任一点的线密度的值与该点到y轴的距离成正比，已知曲线在点（2，4）的线密度为4。求该物质曲线的质量。
解 由已知可设物质曲线的线密度为，已知所以k =2。设所求的物质曲线的质量为m，则

【例12】 一半径为的物质球，已知球内任意一点的密度与该点到球心的距离的平方成正比，球该物质求的质量。
解 在0到之间任意取定一半径值r，任意给定半径值的一个增量，得到球壳的体积

于是，球壳的体积微元为

由已知可设球的密度函数是

所以球壳的质量微元为

所以球的质量为

参考文献
[1]华东师范大学数学系编.《数学分析》[M]，第三版，下册，高等教育出版社.2001(2003重印)
[2]陈纪修 於崇华 金路.《数学分析》[M]，第二版 下册 高等教育出版社 2005.4
[3]谭泽光 刘坤林 莫骄.《考研数学应试导引与进阶》[M]，清华大学出版社 2004.7
[4]同济大学数学教研室．《高等数学(第五版)》[M]．北京：高等教育出版社．1996
[5]清华大学 韩云瑞 刘庆华《高数：掌握基本概念 难题迎刃而解》[N]，中国教育报，2004
[6]伍启期 《二重积分化为累次积分的体积推导发》[J]，佛山科学技术学院学报（社会科学版）1987.04期