汕头市XXXX年普通高中高三教学质量测评试题(二).docx

汕头市2011年普通高中高三教学质量测评试题（二）数学（理科）
参考公式：
一．选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个正确答案）
1．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
2．已知命题命题，则（ ）
A．为真 B．为真 C．为真 D．为真
3．分类变量和的列联表如下：

总计

总计

则下列说法中正确的是（ ）
A．越小，说明与关系越弱； B．越大，说明与关系越强；
C．越大，说明与关系越强； D．越接近于，说明与关系越强；
4．已知两条不同的直线和两个不同的平面，则下列命题中为假命题的是（ ）
A．若∥，，则∥ B．若∥，，则
C．若，，，则 D．若∥，，则∥
5．已知为平行四边形，则“”是“为矩形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
0 8 9
1 1 2 3 4 6 7 8 9
2 0 1 1 3 3 3 5 7 8 8
3 0 1 2 2 3 4 8 9
4 0 1
6．右图是某篮球运动员在一个赛季的30场比赛中得分的茎
叶图，则得分的中位数与众数分别为（ ）
A．3与8 B．23与3
C．28与23 D．23与23
7．下列四个命题中，正确的是（ ）
A．已知函数，则
B．设回归直线方程为，当变量增加一个单位时，平均增加2个单位
C．已知服从正态分布，且，则
D．对于命题；则
8．定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数
的所有零点之和为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（本大题共7小题，只做6小题。每小题5分，满分30分）
9．设复数满足为虚数单位，则复数的模 ．
结束
输出
开始
是
否
10．定义运算，函数图像的顶点是，且成等差数列，则
11．直线交圆于两点，则
线段的垂直平分线的方程为
12．已知实数满足：且，
则的最大值是
13．执行如图所示的程序框图，若输出的值为16，
则图中判断框内“？”处应填的数为
A
E
F
D
G
C
B
选做题：（二选一）
14．在极坐标系中，曲线与相交于点,则 ．
15．（几何证明选讲）如图在四边形中，∥，∥，
则
三．解答题：（本大题共6小题，共80分。解答应写
出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.（本小题满分12分）已知函数图像的相邻两条对称轴之间的距离等于。
（1）求的表达式；（要写出推导过程）
（2）若是直角三角形的内角，求的值域。

17．（本小题满分12分）
某中学号召学生在今年暑假期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）。该校学生会共有100名学生，他们参加活动的次数统计如下表：
次数
1
2
3
人数
10
40
50
用分层抽样的方法从中抽取10人作为样本，将这个样本作为总体。
（1）从样本任意选两名学生，求至少有一个参加了2次活动的概率；
（2）从样本任意选一名学生，若抽到的学生参加了2次活动，则抽取结束，若不是，则放回重取，求恰好在第4次抽取后结束的概率。

18．（本小题满分14分）
如图，沿等腰直角三角形的中位线，将平面折起（转动一定角度），得到四棱锥，设、、、的中点分别为、、、，平面⊥平面。
（1）求证：平面⊥平面；
（2）求证：、、、四点共面；
Q
A
D
E
C
B
M
N
P
A
D
E
C
B
A
D
E
C
B
（3）求异面直线与所成的角。

19.（本小题满分14分）某厂家拟在2011年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元（为一个正常数）满足，已知2011年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入6万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定和再投入两部分资金）。
（1）将2011年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；
（注：利润＝销售收入－总成本）
（2）该厂家2011年投入的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？

20．（本小题满分14分）已知椭圆的两个焦点分别为，离心率，是椭圆在第一象限内的一点，且。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求点的坐标；
（3）若点是椭圆上不同于的另一点，问是否存在以为直径的圆过点？若存在，求出圆的方程，若不存在，说明理由。

21.（本题满分14分）数列是首项为，公差为的等差数列，若数列中任意不同的两项之和仍是该数列的一项，则称该数列是“封闭数列”
（1）试写出一个不是“封闭数列”的等差数列的通项公式，并说明理由；
（2）求证：数列为“封闭数列”的充分必要条件是存在整数，使。

绝密★启用前 试卷类型：A

汕头市2011年普通高中高三教学质量测评试题
数学（理科）参考答案与初步评分标准
一、选择题： BACD，CDAD
二、填空题：
9．答；10．答；11．答；12．答：8；13．答4；14．答；15．答：1．
8．解：，又为奇函数
时，画出和的图象，如图共有5个交点，设其横坐标从左到右分别为，则
，
可得，选D．

三．解答题：
16．解：（1）= ------2分
（每个诱导公式1分）
= ----------4分
由条件有
----------7分
（2） 由条件 -------2分
----------3分
的值域是． ----------5分

17．解：（1）因参加活动1次、2次、3次的人数比例为10：40：50，即1：4：5；-- 1分
故样本中参加活动1次、2次、3次的人数分别为1人、4人、5人 ----------2分
记事件A为“恰有一人参加了2次活动”，事件B为“恰有两人参加了2次活动”，则A与B互斥。
故P（A）＝，-----4分 P（B）＝ ----------5分

答：至少有一人参加了2次活动的概率为． ----------6分
(2)记事件C为“恰好在第4次抽取后结束”
每一次抽到参加了2次活动的学生的概率均为即， ----------1分
抽到参加了1次或3次活动的学生的概率为， ----------2分
依题即前3次均取到参加了1次或3次活动的学生，第4次取到参加了2次活动的学生 ------- 3分
＝
答: 恰好在第4次抽取后结束的概率为． ----------6分

18．（1）证明:由等腰直角三角形有，CDDE，DE∥BC -------- 1分
又，面ACD， ----------2分
又DE∥BC
平面，平面， ----------3分
平面平面。 ----------4分
(2)由条件有PQ为的中位线，MN为梯形BCDE的中位线 ----------1分
PQ∥DE，MN∥DE PQ∥MN
M、N、P、Q四点共面．
(3) 解法一：平面平面,交线为DE, ADDE
AD面BCDE ----------1分
AD、DC、DE两两互相垂直
可以以D为原点建立如图空间直角坐标系， ----------2分
设AD=2（长度单位），则DC=2，BC=4，
则C（2，0，0），A（0，0，2），E（0，2，0），
B（2，4，0） ----------3分
----------4分
设异面直线BE与MQ所成的角为，∵MQ∥BC,
∴
----------5分
，异面直线BE与MQ所成的角大小为．----------6分
解法二：设AD=1（长度单位），则DC=1，BC=2，
延长ED到R，使DR＝ED，连结RC ---1分
则ER＝BC，ER∥BC，故BCRE为平行四边形 --2分
RC∥EB，又AC∥QM
为异面直线BE与QM所成的角（或的补角）
DA=DC=DR，且三线两两互相垂直，
∴由勾股定理得AC=AR=RC=， ---------4分
ACR为正三角形，＝ ------5分
异面直线BE与QM所成的角大小为 ----6分
解法三：设AD=2（长度单位），则DC=2，BC=4，
取BC中点K，再取CK中点H，连结MH，则在梯形BCDE中可得MH∥BE
为异面直线BE与MQ所成的角（或的补角）
且MH＝BE，CH＝BC＝1，又CM＝1，
CHM中，可得MH＝
又MDQ中可得QM＝，
DCH中可得DK＝，
QDH中可得QH＝-
--------------4分
--5分
， 异面直线BE与MQ所成的角大小为 ---6分
19．解： （1）
每件产品的销售价格为(元)， ----------1分
∴2011年的利润 ----------3分

即y ----------5分（定义域占1分）
（2） 由解得x=3（舍去-5）
令得 时，为增函数，
令得 ， 时，为减函数
当时，在上为减函数，时，最大
当时，在上为增函数，在上为减函数，时，最大
综上所述，当时，该厂家2011年投入的促销费用万元时，厂家的利润最大，
当时，该厂家2011年投入的促销费用3万元时，厂家的利润最大。

20．解：（1）依题可设椭圆方程为
则， -------------2分
故曲线C的方程为． ------------------- 3分
（2）法一：由椭圆定义得 -----1分
联立得 -------2分
又，有
P的纵坐标为1， ----3分
把代入得或（舍去） ---4分
法二：由得点P在以为焦点，实轴长为1的双曲线的上支上，
双曲线的方程为 联立得 ------------3分
因P在第一象限内，故 ---4分
（3）设存在满足条件的圆，则，设，则
得 得 ---2分
又， ------3分
或 ---4分
，
圆G为： -------------6分
或，
圆G为： ------------7分

21．解（1）如数列不是“封闭数列”，---1分
， -------------------2分
依题，，使 --------------3分
即， --------------4分
这与矛盾
所以数列不是封闭数列；--------------5分
（只要写出的通项公式能满足存在整数，使，就不合）
（2）证明：（充分性）若存在整数，使，则任取等差数列的两项，于是
--------2分
由于为正整数， -------------------3分
，是封闭数列 -- ----4分
（必要性）任取等差数列的两项，若存在使，
则 --------------------6分
故存在，使， --------------------7分