利用多媒体对课本一道几何题的探究分析.doc

居巢区黄麓镇中心学校数学课经验交流材料

利用多媒体对课本一道几何题的探究分析

黄麓镇中心学校 许大庆
二○○五年四月利用多媒体对课本一道几何题的探究分析
多媒体教学已逐步走向课堂，是时代发展的潮流。本人就初三课本上一道几何题利用多媒体进行动态分析，从而产生一个个新图形，通过图形的演变过程，了解它们之间的区别与联系，掌握特殊与一般的规律。
例题：如图，⊙O1、⊙O2都经过A、B两点，经过点A的直线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2交于D，经过点B的直线EF与⊙O1交于点E，与⊙O2交于F。求证：CE∥DF。
思路探究：欲证两直线平行，最基本的可以从同位角（或内错角）相等，两直线平行，也可以用同旁内角互补，两直线平行去思考。从本图的结构看，内错角、同位角暂不明显，在否定这条思路的情况下，从同旁内角互补，两直线平行入手，怎样得到∠CEF+∠DEF＝？联想在图上的角，什么情况下两个角的和为180°（圆内接四边形内对角互补），在这个前提下连接AB构造圆内接四边形，后面的分析让同学们去完成。
同学甲：∠DFB+∠DAB＝180°。
同学乙：∠DAB＝∠CEB。因为∠DAB是圆内接四边形的一个外角，所以∠DFB+∠DAB＝180°，CE∥DF。
教师提问：你们在解决这个问题的过程中，关键的一步是什么？
同学甲：作公共弦，构造圆内接四边形，把两圆中的圆周角转到了同一个圆，公共弦起到了媒介的作用。
变式，把CD、EF或两圆的位置关系作适当的变动，会出现多种不同的图形，各种图形中CE和DF有什么关系呢？
下面我们利用多媒体用运动的观点，研究图形的变化，用分类的方法进行归纳。
一、在两圆相交的情况下，运动割线。
在例题图形的基础上，延长两条割线，这两条割线的延长线的交点在圆外。如图2。
如果我们保持EF不动，把割线CD绕点A旋转，使CD与EF的交点分别在圆上（如图3）和圆内（如图4）。（动态演示）
先研究图4，你现在能否证明CE∥DF。你的思路是什么？

思路探究：要证明CE∥DF，这里有没有同位角或内错角关系？（有）在内错角关系的情况下，先找一对内错角∠E和∠F，而∠E和∠F分别是⊙O1和⊙O2上的圆周角，直接证明是无法进行的，能不能寻找媒介，找到它们的等量关系。（这时有学生提出连接AB），作出公共弦，找出与∠E相等的角，与∠F相等的角，最终得到∠E＝∠F，CE∥DF。
请同学们比较一下图４中的证题思路与图１中的证题思路有什么相同点和不同点。
相同点：①公共弦起着媒介作用，把两圆上的角转化到一个圆中。②CE∥DF。
不同点：前者是用同旁内角互补、两直线平行，而后者由于图形的变化，存在着内错角，通过内错角相等，两直线平行来证明。
再看图３，这是两割线的交点在圆上，这时的D、F两点重合，不存在线段DF。这时我们过D、F的重合点作⊙O2的切线，这条切线MN与线段EC又存在着什么样的位置关系？如图５。
大家都回答是平行的。
提问：你能证明它们的平行关系吗？
逆向思维：MN∥CD∠1＝∠C，∠C是⊙O2上的圆周角，∠1是⊙O2上的弦切角，怎样找出∠1与∠C相等的理由，通过公共弦，寻找它们之间的关系，所以作公共弦AB，这时∠２为⊙O2的圆周角，且∠２＝∠1，又∵∠２＝∠C，∴∠1＝∠C。你比较一下它与前面两个问题的证明有什么相同点与不同点。
相同点：①连接AB，得到公共弦，寻找角的等量关系。
②CE∥MN（DF）。
不同点：虽利用内错角相等，两直线平行，在这个图中的角既有圆内角，又有弦切角，而不是单纯的圆周角。
二、两圆相交，一条直线CD是切线，一条直线EF是割线，动态演示割线EF不变，继续将割线CD绕点A旋转，当C与A重合时，如图６，这时直线EC和DF在什么位置上，又有什么关系呢？
无疑，学生的回答是平行的。你能说出理由吗？它和前面的证明有什么相同点和不同点？
分析思路略。
相同点：①公共弦起媒介作用。②DF∥EC。
不同点：在本图中，既用到同圆中的圆周角又用到了同圆中的圆周角和弦切角的等量关系。随着位置的变化，角也产生了变化。强调由运动带来的变化。
三、两圆相交，两条直线CD、EF都是切线时。
在图６的基础上，切线AD不动，动态演示线段EF，使B、F两点重合，得到图７，这时的EC和DF平行吗？若平行，你能说出理由吗？
受前面思维的影响，同学们都提出了连接公共弦AB，最佳方法证明∠EAB＝∠DBA，让学生思考片刻，聚焦在△ABE和△ABD，找相等的角。∠1＝∠E，∠２＝∠D，所以∠EAB＝∠DBA。再次让学生比较这里的证明与前面的证明方法的相同点和不同点，以拓展学生的思维空间。
相同点：①公共弦。②DF∥EC。
不同点：①两个弦切角和两个圆周角对应相等，通过三角形内角和等于180°，得第三组角对应相同，再与原始图相比较，研究角不是在四边形，而是在三角形，其根源是由于原来的割线（与圆有两个交点）在运动中变为切线，A、C重合，B、F重合，所以四边形转变为三角形。
四、前面我们研究的都是在两圆相交的前提下，动态研究割线的位置变化。下面我们动态演示，拉动两圆使它们由相交到内切、再到外切。演示过程如下：
⊙O2不动，拉动⊙O1向右运动，使它们内切，如图9。

图1中，两割线分别经过A、B两点，当⊙O2和⊙O1内切时，A、B两点变为一点，所以两割线都过切点A作图10。
在图10中，直线CE与DF平行吗？
就图10来说，要想说明CE∥DF，最简单的方法要证∠C＝∠1，而∠C是⊙O2中的圆周角，∠1是⊙O1中的圆周角，通过什么媒介来寻找∠C与∠1的等量关系？
由于两圆有相交转变为相内切，这里没有公共弦存在，我们能不能创设一条直线替代公共弦呢？创设什么样的一条直线呢？前面的过程对你有没有借鉴？这时有学生提出了过A点作两圆的公切线，我问：你为什么会想到公切线？他说有公切线，就能得到弦切角，这些弦切角就能和∠C、∠1产生等量关系了。回答的很好！
如果我们就图8继续探究，⊙O2不动，拉动⊙O1向左运动，使⊙O2和⊙O1外切，得图11。

原来的割线CD、EF分别过两交点A、B，所以A、B重合后，两割线同时过切点，过A点作直线CD交⊙O2于D，交⊙O1于C，作直线EF交⊙O2于F，交⊙O1于E，如图11，则直线CE和DF平行吗？寻求理由。
由于有图10作铺垫，对于图11，学生的思维比较流畅，很快说出了方法和思路。
提问：通过图10和图11的解答，你能总结一下它与前面的证题思路有什么相同点和不同点吗？
相同点：通过弦切角与圆周角的等量关系，证明CE∥DF。
不同点：前面的辅助线都是作公共弦AB，由于两圆位置的变化，A、B两点重合，不存在公共弦，但我们可以过切点作公切线，用公切线替换了公共弦，其原因是由于图形的变化导致由公共弦变为公切线。
五、两圆外离，两直线CD、EF都是公切线时，动态演示，在图8的基础上，⊙O2不动，继续拉动⊙O1，使两圆外离。如图12、图13，CE和DF平行吗？你是用什么方法？你又将用到什么定理，和前面的证法有什么不同？

本问题中，圆上的角都是弦切角，不存在圆周角，利用切线长定理寻求等角关系，得到CE∥DF，CE∥DF不变。
六、两圆为同心圆，两线CD、EF都是小圆的切线。动态演示，由图8，⊙O2不动，移动⊙O1，使两圆圆心重合，变为同心圆，且两直线CD、EF都是小圆的切线，如图14和15。CE∥DF吗？

若CE∥DF，你能说出理由吗？在这里你又将用到什么定理？
简析：如图14，连接OA、OB、OC，可证Rt△OAE≌Rt△OBC，∠1＝∠2，OE＝OC，∠OEC＝∠OCE，∴∠AEC＝∠BCE＝∠DFE，∴CE∥DF。
提问：通过对上述六类图形的分析，你有什么体会和收获？
学生甲：六类图看仅不同，变化多端，从圆与圆的位置关系变化到割线与切线的变化，但都有不变的结论CE∥DF，我的结论是环环相扣，平行相依。
学生乙：在上述多媒体图形演示的过程中，我看到了数学世界的变化美，这个变化是有规律可循，在变化的过程中，圆上的角由圆周角变成弦切角，公共弦变成了公切线，圆的割线演变成切线，但万变不离其宗，CE∥DF。
学生丙：通过对刚体图形运动问题展开的探究，可以拓展我们的想像空间，挖掘知识间的内在联系，培养了我们的数学思维能力。
学生丁：通过多媒体展示，让我们在图形的变化过程中，感受动与静、变与不变及由特殊到一般再到特殊的辩证统一，既增强了我们学习数学的兴趣，又提高了我们的探究能力。