1、
2011年高中毕业年级第二次质量预测
理科数学 参考答案
一、 选择题
BACCD DAACD BB
二、 填空题
13.； 14.； 15.10； 16..
三、解答题
17.解：⑴由题意， ①
当时，， ②
①-②得 ， 即 ，
又，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，所以；
由知，数列是等差数列，设其公差为，
则，所以，；
综上，数列和的通项公式为．
⑵，
③
， ④
③-④得 ，
2、 整理得 ，
所以．
18.解：⑴由题意，甲、乙两班均有学生50人，
甲班优秀人数为30人，优秀率为，
乙班优秀人数为25人，优秀率为，
所以甲、乙两班的优秀率分别为60%和50%．
⑵
优秀人数
非优秀人数
合计
甲班
30
20
50
乙班
25
25
50
合计
55
45
100
---------- 7分
注
3、意到，
所以由参考数据知，没有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助.
19.解：⑴在中，
注意到点到面的距离即为四棱柱的高的长，
所以．
⑵以点为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，
则，
，
，
设平面的法向量，
由得平面的一个法向量为，
记直线与平面所成的角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
⑶，
又，
设平面的法向量，
由得平面的一个法向量为，
则，
注意到，解得为所求．
20.解：⑴由题意，
整理得， 所以所求轨迹的方程为，
4、
⑵当直线与轴重合时，与轨迹无交点，不合题意；
当直线与轴垂直时，，此时，以为对角线的正方形的另外两个顶点坐标为，不合题意；
当直线与轴既不重合，也不垂直时，不妨设直线，
的中点，
由消得，
由得
所以，
则线段的中垂线的方程为：，
整理得直线，
则直线与轴的交点，
注意到以为对角线的正方形的第三个顶点恰在轴上，
当且仅当,
即 ，
， ①
由 ②
将②代入①解得 ，即直线的方程为，
5、 综上，所求直线的方程为或．
21.解：⑴证明：记，则，
令，注意到，可得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
，即，
所以．
⑵由⑴知，对恒成立，当且仅当时等号成立，
记，则
“恒成立”与“函数的图象有且仅有一个公共点”同时成立，
即对恒成立，当且仅当时等号成立，
所以函数在时取极小值，
注意到，
由，解得， 此时，
由知，函数在上单调递减，在上单调递增，
即=0，，
综上，两个条件能同时成立，此时．
22. 证明：⑴连接， ，
四边形为等腰梯形，
注意到等腰梯形的对角互补，
故四点共圆，
同理四点共圆，
即均在点所确定的圆上，证毕．
⑵连结，由⑴得五点共圆，
为等腰梯形，，
故，
由可得，
故，
即为所求．
23.解：
，
，即 ，
当且仅当，即时取最大值 ，
综上的最大值为．
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