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济南外国语学校高中部 高三质量检测
数学试题（理科）2010.11
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、设集合，则使M∩N＝N成立的的值是 (　　)
A．1　　　 B．0 C．－1 D．1或－1
【答案】　C
【解析】　由M∩N＝N知N⊆M，故a∈M，a2∈M.①当a2＝0时，a＝0，此时a＝a2，不符合题意．②当a2＝1时，a＝±1，而a＝1时，a＝a2，不符合题意；只有a＝－1时满足题意．
2、“|x-1|<2成立”是“x(x-3)<0成立”的 （ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案B
3、若函数在区间（-∞，4］上是减函数，则实数a的取值范围是 （ ）
A.a≥3 B.a≤-3
C.a＜5 D.a≥-3
答案B
4、已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为
A．　　　 B．　　 　C．　　　 　D．
答案：C
【解析】,故选C.
5、将函数y=的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是
（A）y= （B）y= （C）y=1+ （D）y=
【解析】:将函数的图象向左平移个单位,得到函数即的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为,故选B.
6、已知为等比数列，，则（ ）
A．　　　 B．　　 　C．　　　 　D．16
答案：B
7、函数的单调递增区间是 （ ）
A. B.及 C. D.
答案：B.
8、直线与抛物线所围成的图形面积是（ ）
A 20 B C D
答案：C
解析：直线与抛物线的交点坐标为（－1，1）和（3，9），则
9、设变量x，y满足约束条件：.则目标函数z=2x+3y的最小值为
（A）6 （B）7 （C）8 （D）23
答案：B
解析：画出不等式表示的可行域，如右图，.
让目标函数表示直线在可行域上平移，知在点B自目标函数取到最小值，解方程组得，所以，正确答案为B。.
10、若不等式x2+2x+a≥-y2-2y对任意实数x、y都成立，则实数a的取值范围是 （ ）
A.a≥0 B.a≥1 C.a≥2 D.a≥3
答案：C
解析：不等式x2+2x+a≥-y2-2y，等价于a≥，所以正确答案为
11．已知函数的反函数为若且，则的最小值为 （ ）
A． B． C． D．
答案:B
12、定义在R上的函数满足，当时，单调递增，如果，且，则的值为（ ）
A．恒小于 B. 恒大于 C.可能为 D.可正可负
答案：B
解析：满足所以关于（2，0）对称，由于当时，单调递增，可知在时也是增函数。由知，且，，一正一负，所以不妨假设，，且
，所以通过图像可知>0
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：
1. 第Ⅱ卷共2页, 必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答，不能写在试题卷上; 如需改动，先画掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸,修正带,不按以上要求作答的答案无效。作图时,可用2B铅笔，要字体工整，笔迹清晰.在草稿纸上答题无效.
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分. 请直接在答题卡上相应位置填写答案.
13、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，b=2，sinB+cosB=，则角A的大小为______________.
答案：
14、不等式的解集是全体实数，则的取值集合为________
答案：(－∞, 0]
提示: 不等式ax2＋ax＋(a－1)<0的解集是全体实数, ∴a=0时成立，当a<0时, 判别式△<0,得a<0时成立，∴a∈(－∞, 0]
15、数列{an}中,a3=2,a7=1,数列是等差数列，则an= .
答案
解析：因为数列是等差数列，所以，，
，设公差为d，则4d=，故
所以故
16、已知函数的定义域为，导函数为且，则满足的实数的集合是________
答案：
三、解答题：本大题共6个小题.共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17、设函数。
（Ⅰ）求函数的最大值和最小正周期；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（Ⅱ）设A，B，C为三个内角，若，，且C为锐角，求。
解: （1）f(x)=cos(2x+)+sinx.=
。。。。。。。。。。4分
所以函数f(x)的最大值为, 。。。。。。。。。。5分
最小正周期. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 。。。。。。。。。6分
（2）==－, 所以 。。。。。。。。。。8分
因为C为锐角, 所以, 。。。。。。。。。。9分
又因为在ABC 中, cosB=, 所以 , 。。。。。。。。。。10分
所以w.w.wk .。。。。。。12分
18、知有两个不相等的负实根；不等式的解集为为假命题，求m的取值范围。
18解： …………3分
…………6分
…………7分
若 …………9分
若 …………11分
综上所述，m的取值范围为 …………12分
19、据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，0）作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km）.
（1）当t=4时，求s的值；
（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；
（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，
试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在
沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由.
解 （1）由图象可知：当t=4时，v=3×4=12,
∴s=×4×12=24 .。。。。。3分
（2）当0≤t≤10时，s=·t·3t=t2，
当10＜t≤20时，s=×10×30+30（t-10）=30t-150；
当20＜t≤35时，s=×10×30+10×30+(t-20)×30-×(t-20)× 2(t-20)=-t2+70t-550.
综上可知s= 。。。。。。。。8分
(3)∵t∈［0，10］时，smax=×102=150＜650. 。。。。。。9分
t∈（10，20］时，smax=30×20-150=450＜650.。。。。。。10分
∴当t∈（20，35］时，令-t2+70t-550=650.
解得t1=30,t2=40,∵20＜t≤35,
∴t=30，所以沙尘暴发生30 h后将侵袭到N城. 。。。。。。。12分
20、函数的定义域为D：且满足对于任意，有
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）判断的奇偶性并证明；
（Ⅲ）如果上是增函数，求x的取值范围
（Ⅰ）解：令 。。。。。。3分
（Ⅱ）证明：令

令
∴为偶函数 。。。。。。。。。7分
（Ⅲ）。。。。。。。。8分
∴ （1）
∵上是增函数，
∴（1）等价于不等式组:
。。。。。。。9分
。。。。。。。10分
∴
∴x的取值范围为 。。。。。。。。12分
21、已知数列{an}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S=an(Sn-).
（1）证明：是等差数列，求Sn的表达式；
（2）设bn=，求{bn}的前n项和Tn.
解 （1）∵S=an，an=Sn-Sn-1（n≥2），
∴S=（Sn-Sn-1）, 2Sn-1Sn=Sn-1-Sn， ① ---------2分
由题意Sn-1·Sn≠0，①式两边同除以Sn-1·Sn ，得-=2，------4分
∴数列是首项为==1，公差为2的等差数列.
∴=1+2（n-1）=2n-1， ----------5分
∴Sn=. ------6分
（2）又bn===， ---------9分
∴Tn=b1+b2+…+bn===.-------12分
22、已知函数f(x)=x3-ax2-3x.
（1）若f(x)在区间［1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若x=-是f(x)的极值点，求f（x）在［1，a］上的最大值；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数b，使得函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由.
解 （1）=3x2-2ax-3,∵f(x)在［1，+∞）上是增函数,
∴在［1，+∞）上恒有≥0， ---------2分
即3x2-2ax-3≥0在［1，+∞）上恒成立.则必有≤1且=-2a≥0, ,--------4分
∴a≤0. ------------5分
(2）依题意， =0，即+a-3=0,∴a=4,∴f(x)=x3-4x2-3x. ----------7分
令=3x2-8x-3=0，得x1=-，x2=3.则当x变化时，,f(x)的变化情况如下表：
x
1
(1,3)
3
(3,4)
4

-
0
+

f(x)
-6
↘
-18
↗
-12
----9分
∴f(x)在［1，4］上的最大值是f(1)=-6. -----------10分
（3）函数g(x)=bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点，即方程x3-4x2-3x=bx恰有3个不等实根∴x3-4x2-3x-bx=0，∴x=0是其中一个根 -------------12分
∴方程x2-4x-3-b=0有两个非零不等实根，∴∴存在符合条件的实数b，b的范围为b>-7且b≠-3. -----------14分