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培养学生进行数学学习反思的途径和方法

[摘要] 培养学生的数学素养，不仅仅指数学知识、能力等智力因素，也同时包括情感、态度、价值观等非智力因素。通过数学学习的反思可以引导学生学会反思性评价，切实促进数学素养的提升。本文从数学学习的反思及其教育价值、培养学生进行学习反思的途径和方法等方面进行探讨。
[关键词] 学习反思 教育功能 途径方法

义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐的发展，也就是要促进学生数学素养的提高。数学知识和技能是数学素养的基础，而数学素养主要表现在思维活动中。学习反思作为一种独特的思维活动，对学生的思维品质的培养有着重要的作用，因此，学习的反思能力不仅是学生素养的重要组成部分，也是培养学生数学素养所不可缺少的。通过数学学习反思可以引导学生学会反思性评价，促进数学素养的提升。在学生身心各方面处于发展和初步定格的初中阶段，有意识的培养学生的数学学习反思能力是一件必要而有意义的工作。
一、数学学习的反思及其教育价值
数学教学过程中，反思历来具有重要的地位和作用。数学学习反思是学生在完成数学认知活动后，对自身的认知活动过程，以及活动过程中所涉及的有关事物的学习特征的分析、评价和自我调节的过程。它是数学学习活动的重要环节，也是数学学习的主要方式之一。荷兰著名数学家和数学教育家费赖登塔尔教授指出“反思是数学思维活动的核心和动力”，“通过反思才能使现实世界数学化”。美籍数学教育家波利亚也说，“如果没有了反思，他们就错过了解题的一次重要而有效益的方面”，“通过回顾所完成的解答，通过重新考虑和重新检查这个结果和得出这一结果的路子，学生们可以巩固他们的解题能力”。
在教学中，我们常常看到有不少学生做完一道题后不假思索，急于做其余的题目，以为这样能力就得到提高了。玻利亚在《怎样解题》中把解题过程概括为“审题—探索—表达—回顾”四个环节，明确指出解题回顾是解题过程的最后一个环节。然而在实际教学中师生都重视读题审题、分析题意，如何去探索、寻找解题思路，却常常忽略了“解题回顾”这个环节，发挥不了“解题回顾”这个反思活动的教育功能。其实一个数学问题的解决并不等于会解这道题目，而应该更深一步去挖掘题目中隐含的条件，命题的目的，所涉及的知识要点和数学思想方法，进一步探讨解题过程的思维方式是否正确、合理、严谨?解决问题的策略是否巧妙，还有其他的解法吗?本题的解法和结论能否进一步推广?但在现实的教育实践中，对这一重要的反思环节，还未得到足够的重视，未能形成良好的数学学习反思习惯。对孔夫子的名言“学而时习之”中的“习”，有人解释为复习，有人解释为实践，其实我们在学习数学的过程中，解释为“反思”可能更有一番新意。苏格拉底说过：“没有反省的人生是没有意义的人生”，我们是否也可以说，没有反思的数学学习是没有意义的学习呢?
当今社会，人不仅要努力学习，而且要善于学习，才能取得学习的成功。学会反思，才能对自己的学习过程、学习方法进行监控，才能为自己的学习效果承担责任。实现新课改精神的关键是帮助学生形成正确的学习方式。在《数学课程标准》中第三学段(7一9年级)的问题解决部分明确提出：“通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验”，这表明数学学习反思问题已经得到重视。数学学习的反思是数学思维活动的核心和动力，是学生的一种重要的数学元认知能力，是学生进行高水平、高效率、高质量的数学认知所必不可少的环节和本领。它得益于教师的精心培育，发展和成熟于学生的不断实践之中，对学生数学素质提高和终身发展具有特别重要的意义。初中是九年制义务教育的最后阶段，又处于整个基础教育的中段，学生的学习习惯、学习方式都是在这个阶段逐渐形成并具备持久的影响力，因而在这一阶段培养学生的数学学习反思习惯有着极其重要的作用和意义。
学习的反思具有如下教育价值：1、情感、态度、价值观方面：诸如①培养实事求是的态度和理性精神；②良好的反馈信息、谨慎，细心等习惯；③激发好奇心和求知欲；④自我反思性评价。2、常规数学思维能力方面：诸如①归纳、猜想和合情推理；②数学联结与数学洞察；③理性思维与构建体系。3、数学创新能力方面：诸如①提出数学问题和质疑能力；②建立新数学模型并用于实践的能力；③发现数学规律的能力；④推广现有数学结论的能力；⑤将不同领域的知识进行数学联结的能力。
二．数学学习的反思的途径与方法
（一）在例题教学中引导学生反思
反思之一：整理思维过程
学生解决问题时，或多或少都会带有一定的“尝试错误”，再加上缺乏对解题过程的反思，没有对解题过程进行提炼和概括，为完成任务而解题，导致解题质量不高，效率低下。解题是学好数学的必由之路，但是不同的解题指导思想会有不同的解题效果。养成对自己的解题进行反思的习惯是具有正确的解题指导思想的体现。为提高解题质量和效率，教师应帮助学生整理思维过程，确定解题关键，引导学生回顾和整理解题思路，概括解题思路，使解题的过程清晰，思维条理化、精确化和概括化。
例 在教学“一件工作要在计划时间内完成，若甲队独做，可如期完成；若乙队独做，就要超期3天完成。现由甲乙两队合作两天后，甲有任务，剩下的由乙去做，刚好在规定时间内完工。求这件工作计划的天数。”这一问题时，教师可通过学生非常熟悉的基本数量关系：工作效率×工作时间=工作总量入手。让学生在交流的基础上，引导学生运用表格形式分析解题思路，并列出方程，然后让学生反思解题过程，形成两类工程问题：一类是工作量具体的工程问题，一类是工作量不具体的工程问题。对于前者，通常在工作量、工作效率和工作时间三个量中，一个量是已知，一个量为所求，一般找第三个量的相等关系。而对于后者，工作效率抽象，工作量零散，找相等关系会比较困难。这里可提示学生从列表格入手、并引导学生从完成这件工作的时间顺序找相等关系；从参与者各自完成的工作量找相等关系；由于甲的加入可如期完工，若乙独做，要超期3天，说明了什么?
若设此件工作所需天数为x，对于每一种情况列出的方程分别为：
（1）2（＋）＋=1
（2）＋=1
（3）＋（＋）=1
通过揭示问题的内在联系，让学生从不同角度、不同层次上提出解决问题的多种方法，不仅培养了学生的求异思维，教师也为学生学会反思做了表率，长期的潜移默化，学生必形成良好的反思习惯。
反思之二：剖析问题本质
引导学生在解题后对问题的本质进行重新剖析，再将思维由个别推向一般的过程使问题逐渐深化，使思维的抽象程度不断提高。解决问题后再重新剖析其实质，可以使学生比较容易地抓住问题的实质，在解决一个或几个问题之后，启发学生反思，从中寻找他们之间的内在联系，探索一般规律，可使问题逐渐深化与完善。
下例是我县初三第一次模拟考中的一个题目：
如图1，直线l是一条河，P、Q两地相距8千米、P、Q两地到l的距离分别为2千米、5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P、Q两地供水。现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）。
M
M
M
.Q
P.
l
.Q
P.
l
(A)
.Q
P.
l
.Q
P.
l
.Q
P.
l
M
(B)
(D)
(C)
图1

这个题目的难度不大，却发现学生选择的都是选项B，究其原因这个题目源于课堂一个常见的题目，再加之复习阶段超课时的反复强化，在学生的头脑中已经形成思维定势：利用对称求解。导致在考场上出现这样的现象。此后笔者在试卷分析中通过下列变式，引导学生在解题后反思。
变式1：如图1，直线l是一条河，P、Q两地相距8千米、P、Q两地到l的距离分别为2千米、5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，并从点M直接向P、Q两地供水。则铺设的管道最短的是（ ）。（选项同上）
变式2：如图1，直线l是一条河，P、Q两地相距10千米、P、Q两地到l的距离分别为2千米、5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P、Q两地供水。则铺设的管道最短的是（ ）。（选项同上）
通过这一题组变式，使学生理解了解决此类问题要针对具体的情景、数据分析解决，不能简单套用，机械模仿。事实上这个题目还可以进一步进行探讨，真正培养学生思维的深刻性，培养学生分析问题、解决问题的能力。
（二）在探讨学法中引导学生反思
达尔文指出：“最有价值的知识是关于方法的知识。”学生只有掌握最佳的学习方法，才能进行创新性学习，而教师的引导则是至关重要的。初中生由于年龄特征及数学认知结构水平的限制，往往表现为对数学基础知识不求甚解，不善于对自己的思路进行检查，解题时常常是一错到底；不对自己的思考过程进行反思，不会分析、评价和判断自己的思考方法的优劣，也不自觉地找出和纠正自己的错误；不能从自己的思考过程中提炼出其中蕴涵的数学思想方法，不能发现其中的知识点之间的联系，导致自己的数学知识系统系统性、结构性差。因此，为了提高学生数学学习的效率，真正培养学生的数学素质，教师应该有意识的进行反思技能的讲解。
在解决问题的过程中，教师还可以采用出声想思维的方法暴露自己的思维过程，解完题后带领学生一起分析自己思维过程中走过哪些弯路，遇到哪些困难，是什么原因造成的，有什么规律可吸收等等，这其实是获取元认知知识的过程。
学生解决问题后，教师要带领学生一起整理学生的思维过程，确定解题关键，促使学生思维条理化、精确化、概括化；引导学生分析自己具体方法中包含的数学基本思想方法，对具体方法进行再加工，从中提炼出应用范围更广的一般数学思想方法；引导学生对问题的结构进行重新剖析，抓住问题的本质，并努力将问题推广到更一般的情形；给出问题的几种解法，引导学生分析自己解题方法的优劣，优化学生的解题过程，鼓励学生寻找最佳方案等。
比如学习四边形时，涉及到图形的性质和判定方法较多，学生在应用中经常发生张冠李戴。为了解决这类问题，我们可以从学习平行四边形的性质开始，将所有图形的性质都用表格按边、角、对角线及对称性进行分类归纳总结，而将判定方法从特殊到一般构建发展结构图，并在以后的每堂课前多次重复再现，自至所有的图形。实践证明，不论从什么角度，处在怎样的环境下，只要涉及这方面内容学生的反应都很敏感，而且在梯形的学习中，通过反思学生自己就可以将等腰梯形的性质和判定纳入结构。
（三）在训练中积极引导学生进行学习反思
1、对当天数学学习内容的反思
在学完当天所学的数学内容后，教师可以指导学生可以进行如下的一些反思活动：今天学了哪些知识点?我是否都理解了?其中重点是什么?我能否将今天所学的内容组织起来?是在哪些数学思想和方法的指引下我们得到这些数学知识的?这些数学思想和方法在以前哪些地方遇到过，它们是怎样起引导作用的?这些数学知识是怎样产生的?它们会起到什么作用?它们与我以前所学的什么数学知识有哪些本质联系等等。并将反思的成果及时记录在数学日记本上，与同学交流。
例如：学习了梯形这一课后，教师可以安排学生进行这样的反思：今天我们学了梯形的有关知识，结合梯形面积公式，你知这个公式是怎样发现的。让学生反思分割拼补思想和等积变换方法，进一步揭示梯形面积公式与其他面积公式的联系，反思当b=0时，就得到三角形面积公式。当a=b时，就能得到平行四边形的面积公式，所以矩形、菱形、正方形的面积公式也是梯形面积公式的特例，如下图所示：

这样的反思既强化了学习结果，又深化了学习过程，既让学生“知其然”，又让学生“知其所以然”。既使数学学习的过程得到优化，又进行了学法总结，同时也培养了思维能力。
2、进行阶段性学习反思
学生在学完一单元或在期中、期末时，应该进行一个阶段性的反思，也就是，学生应该对自己的数学认知结构、数学思维方法、学习方法、学习目标和计划等进行自我认知和评价。比如思考这一阶段或这一学期我学了哪些数学知识，其中哪些是重点内容，它们的层次如何，这些知识我掌握得怎样，我能否做个知识结构图；这一阶段学习了哪些重要的数学思想和方法，这些思想和方法有哪些其他的作用；我有没有完成自己所定的阶段数学学习计划，有没有达到预定的目标；我的数学学习方法是否能适应数学学习的需要，如果不能，我应该做哪些调整等
（四）在学习策略中引导学生进行自我认识
在学生完成数学学习活动后，可以反思自己在数学上，哪些是自己的强项，我是怎么能做到学好它的，哪些是弱项，我是因为什么原因没有学好它，我接下来应该做哪些方面的努力；反思自己的数学学习目标的正确性和自己数学学习计划的可行性，并进行调整和优化；总结一些数学学习策略、数学解题策略等等。随着学生数学知识的逐渐积累，学习经验的逐渐丰富，其数学学习反思水平也在不断提高。
近几年的中考再次提醒我们：教师必须把学生从题海中解脱出来，切实提高学生的综合数学素养，培养学生的思维能力，一条行之有效的途径就是引导学生进行数学学习的回顾与反思。教师要加强对学生进行数学学习反思方面的指导，让学生养成反思的习惯。学生通过反思，加深对数学学习过程和结论的认识，积累经验，最终提高数学素养，从而茁壮成长。

[参考文献]
1．王仲英.反思性数学教学研究[J].教育理论和实践，2003（10）.
2．罗玮玮. 行走于行为主义与认知主义之间的中国数学教育[J].中国数学教育,2007 (10).
3．段训明．增强反思意识，优化思维品质[J]．数学通报，2003（6）．