定完全平方公式(一)教案及教案说明--岷县一中 韩晓娟.doc

北师大版《完全平方公式（一）》

甘肃省岷县一中 韩晓娟

●课 题
§1.8.1 完全平方公式(一)
●教学目标
(一)教学知识点
1.完全平方公式的推导及其应用.
2.完全平方公式的几何背景.
(二)能力训练要求
1.经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力.
2.重视学生对算理的理解，有意识地培养他们有条理的思考和表达能力.
(三)情感与价值观要求
1.了解数学的历史，激发学习数学兴趣.
2.鼓励学生自己探索算法的多样化，有意识地培养学生的创新能力.
●教学重点
1.完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释.
2.完全平方公式的应用.
●教学难点
1.完全平方公式的推导及其几何解释.
2.完全平方公式结构特点及其应用.
●教学方法 情境法、探究法、讨论法
〖情境法〗 创设情境来激发学生的学习兴趣，体会完全公式的几何背景
〖探究法〗 引导学生探究将一个小正方形扩充成一个大正方形后的面积
〖讨论法〗 通过探究讨论得出(a+b)2=a2+2ab+b2 ，并领会a、b可以表示什么？
并能得出：(a-b)2=a2 - 2ab+b2
●教具准备 多媒体课件
●教学过程
Ⅰ.创设问题情景，引入新课
［师］大家都知道我县被誉为当归之乡，今年当归又喜获丰收，李老伯今年为了增加收入，在原来边长为a米的正方形土豆田里，周围边长又增加了 b 米,形成四块实验田，分别种植了当归、黄芪、油菜三种作物。请问，李老伯今年的土地种植面积总共是是多少？

图1－25
［师］你能用不同的方式表示试验田的面积吗？
［生］改造后的试验田变成了边长为(a+b)的大正方形，因此，试验田的总面积应为(a+b)2.
［生］也可以把试验田的总面积看成四部分的面积和即边长为a的正方形面积，边长为b的正方形的面积和两块长和宽分别为a和b的面积的和.所以试验田的总面积也可表示为a2+2ab+b2.
［师］很好！同学们用不同的形式表示了这块试验田的总面积，进行比较，你发现了什么？
［生］可以发现它们虽形式不同，但都表示同一块试验田的面积，因此它们应该相等.即(a+b)2=a2+2ab+b2
［师］我们这节课就来研究上面这个公式——完全平方公式.
Ⅱ.讲授新课
一．完全平方公式的推导
［师］我们通过对比试验田的总面积得出了完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2.其实，据有关资料表明，古埃及、古巴比伦、古印度和古代中国人也是通过类似的图形认识了这个公式.我们姑且把这种方法看作对完全平方公式的一个几何解释.能不能从代表运算的角度也能推导出这样的公式呢？
［生］用多项式乘法法则可得
(a+b)2=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)
=a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2
所以(a+b)2=a2+2ab+b2 (1)
［师］上面的几何解释和代数推导各有什么利弊？
［生］几何解释完全平方公式给我们以非常直观的认识，但几何解释(a+b)2=a2+2ab+b2,受到了条件限制:a>0且b>0;
代数推导完全平方公式虽然不直观，但在推导的过程中，a,b可以是正数，可以是负数，零，也可以是单项式,多项式.
二．看看它的特征
1. 首平方，末平方, 乘积的两倍在中央.
2. a ，b是可以任意的数、字母、单项式、多项式。
3. 两数和的平方等于两数平方的和加上两数积的2倍。
4. 左右两边都是“ + ”

三．想一想
(a－b)2等于什么？你是怎样想的.
(同学们可先在自己的练习本上推导，教师巡视推导的情况，对较困难的学生以启示)

［师］同学们分析得很有道理.接下来，我们来完成第(2)问.
［生］也可利用多项式乘法法则，则(a－b)2=(a－b)(a－b)=a2－ab－ba+b2=a2－2ab+b2.
［生］我是这样想的，因(a+b)2=a2+2ab+b2中的a、b可以是任意数或单项式、多项式.我们用“－b”代替公式中的“b”,利用上面的公式就可以得到(a－b)2=［a+(－b)］2.
［师］这位同学的想法很好.因为他很留心我们表述的每一句话的含义，你能继续沿着这个思路做下去吗？我们一块试一下.
［师生共析］
(a－b)2=［a+(－b)］2=a2+2·a·(－b)+(－b)2
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
(a +b)2=a2+2·a ·b + b2
=a2－2ab+b2.
于是，我们得到又一个公式：
(a－b)2=a2－2ab+b2 (2)
［师］你能用语言描述上述公式(1)、(2)吗？
［生］公式(1)用语言描述为：两个数的和的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的和；公式(2)用语言描述为：两个数的差的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的差.这两个公式为完全平方公式.它们和平方差公式一样可以使整式的运算简便.
四．巩固，应用
1.强化认识 <真金不怕火炼>判断下列结论是否正确
(1) (x + y)2 =x2 - 2xy + y2
(2) (x –y)2 =x2 – xy+ y2
(3) (2 + x)2 = 2 + 4x+ x2
(4) (x– 1)2 = x2 – 2x
(5) (x + 2y)2 = x2 + 4xy + 4y2
(6) (4x – 3y)2 =16x2 – 12xy + 9y2

2.例题讲析
［例1］利用完全平方公式计算：
(1)(2x－3)2;(2)(4x+5y)2;
(3)(mn－a)2.
分析：利用完全平方公式计算，第一步先选择公式；第二步，准确代入公式；第三步化简.
解：(1)方法一：

［例2］利用完全平方公式计算
(1)(－x+2y)2;(2)(－x－y)2;
(3)(x+y－z)2;(4)(x+y)2－(x－y)2;
(5)(2x－3y)2(2x+3y)2.
分析：此题需灵活运用完全平方公式，(1)题可转化为(2y－x)2或(x－2y)2,再运用平方差公式；(2)题需转化为(x+y)2,利用和的完全平方公式；(3)题利用加法结合律变形为［(x+y)－z］2(或［x+(y－z)］2、［(x－z)+y］2),再用完全平方公式计算；(4)题可利用完全平方公式，再合并同类项，也可逆用平方差公式进行计算.(5)题可先逆用幂的运算性质变形，再用平方差公式和完全平方公式.
解：(1)方法一：(－x+2y)2=(2y－x)2
=4y2－4xy+x2；
方法二：(－x+2y)2=［－(x－2y)］2=(x－2y)2=x2－4xy+4y2.
(2)(－x－y)2=［－(x+y)］2=(x+y)2=x2+2xy+y2.
(3)(x+y－z)2=［(x+y)－z］2=(x+y)2－2(x+y)·z+z2
=x2+y2+z2+2xy－2zx－2yz.
(4)方法一：(x+y)2－(x－y)2
=(x2+2xy+y2)－(x2－2xy+y2)
=4xy.
方法二：(x+y)2－(x－y)2
=［(x+y)+(x－y)］［(x+y)－(x－y)］=4xy.
(5)(2x－3y)2(2x+3y)2
=［(2x－3y)(2x+3y)］2
=［4x2－9y2］2
=16x4－72x2y2+81y4.
Ⅲ.随堂练习
课本P34，1.计算：
(1)(x－2y)2;(2)(2xy+x)2;
(3)(n+1)2－n2.
解：(1)(x－2y)2=(x)2－2·x·2y+(2y)2=x2－2xy+4y2
(2)(2xy+x)2=(2xy)2+2·2xy·x+(x)2=4x2y2+x2y+x2
(3)方法一：(n+1)2－n2=n2+2n+1－n2=2n+1.
方法二：(n+1)2－n2=［(n+1)+n］［(n+1)－n］=2n+1.
Ⅳ.我的收获：当整个知识点得到体现，重难点已掌握时，再让我们回过头，闭上眼去自己思索和整理今天的内容，加深我们对知识掌握的系统性和完整性。
Ⅴ。课后作业
1、读一读： P 35《杨辉三角》
2、做一做：课 本: P 36
习题1.13 第1、2题
● 板书设计

§1.8.1 完全平方公式(一)
一、几何背景
试验田的总面积有两种表示形式：
①a2+2ab+b2
②(a+b)2
对比得：(a+b)2=a2+2ab+b2
二、代数推导
(a+b)2=(a+b)(a+b)
=a2+2ab+b2
(a－b)2=［a+(－b)］2
=a2－2ab+b2
三．强化认识
(1) (x+y)2 =x2 - 2xy + y2
(2) (x–y)2 =x2 – xy+ y2
(3) (2 + x)2 = 2 + 4x+ x2
(4) (x– 1)2 = x2 – 2x
(5)(x+2y)2 =x2+4xy+4y2
(6)(4x–3y)2 =16x2–12xy+ 9y2
四．例题讲解
[例一]利用完全平方公式计算：
(1) (2x-3)2=
（2）(4x+5y)2=
(3) (mn-a)2=
［例2］利用完全平方公式计算
(1)(－x+2y)2;(2)(－x－y)2;
(3)(x+y－z)2;(4)(x+y)2－(x－y)2;
(5)(2x－3y)2(2x+3y)2.

五．课堂练习

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教案说明
《完全平方公式》是数学学科里一个非常 重要 的 内容，它是多项式乘法的一个延伸，并为学生学习分解因式、用 配方法 解一元二次方程、二次函数的一般式化为顶点式奠定了良好的基础。本节课关注学生对公式的探索过程，有意识地培养学生的推理能力，鼓励学生经历根据特例进行归纳、建立猜想、用符号表示，有条理地表达自己的思考过程，培养学生的数感和符号感，真正理解公式的来源、本质和应用，为今后的学习打下坚实的基础.
目标确定：
1、知识目标：完全平方公式的推导及应用；完全平方公式的几何背景
2、能力目标：经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力；重视学生对算理的理解，有意识地培养他们有条理的思考和表达能力 。
3、情感目标：了解数学的历史，激发学生的兴趣；鼓励学生自己探索算法的多样化，有意识地培养学生的创新能力
教材重点在于：完全平方公式的推导过程，结构特点、语言表达、几何解释以及完全平方公式的应用，而学生要系统并灵活地掌握重点就恰恰是他们在学习过程中的难点所在。
对本节课我是这样构思的：
老师的“教”体现在：创设情境——激发兴趣——组织探索——发现规律，学生的“学”体现在：操作讨论→探究发现→归纳结论。从操作活动中探索公式的几何背景，再利用多项式的乘法，验证完全平方公式，不仅能够理解、归纳完全平方公式的特点，使学生体会数形结合的思想，并充分感受到数学演绎的过程和数学知识的整体性,学会进行有条理的表达。使教法、学法和谐统一，形成由感性到理性认知过程促进学生全面发展。教学方法我采用了 情境法、探究法、讨论法相结合的教学方法，情境法- 创设情境来激发学生的学习兴趣，体会完全公式的几何背景，探究法-- 引导学生探究将一个小正方形扩充成一个大正方形后的面积，讨论法-- 通过探究讨论得出(a+b)2=a2+2ab+b2 ，并领会a、b可以表示什么？ 并能得出：(a-b)2=a2 - 2ab+b2
为了使学生的三维目标得到真正的实现，能在课堂的进行过程中突出重点，突破难点，我从以下几个活动来体现这堂课的内容：
　　活动一：创设情境，引入新课
首先，课件演示生活情景，关于农产品试验田的问题，让学生自己运用熟知的知识解决这个问题，并在教师的引导和启发下，进行多角度的探索，得出不同的解法，并逐步探索——对比——总结，得出完全平方公式，从而从旧的知识体系中，自己探索出新的规律和知识点，并用代数方法去验证几何方法得出的结论，体验数形结合的数学思想。
　　设计意图：对于试验田的问题是一个很新颖的话题，而学生完全可以利用旧知识来解决这个问题。而关键是应引导学生多角度去考虑，培养他们的思维灵活性，而又通过对比、观察、发现其中的规律，并又得出了新的公式，这便大大地满足了他们的成就感，并激发了他们去继续探索的兴趣。
活动二：合作交流，探索完全平方公式
在前面已经师生共同得出完全平方公式的基础上，再去让学生观察它有什么样的特征（小组之间互相交流意见，并展开讨论），这时教师再深入到学生中去，去倾听他们的意见，并适当地引导他们讨论的方向，然后由学生的自由发言，得出问题的结论：(1)头平方，尾平方，中间乘积的两倍；（2）左右两边都是“+”；（3）a、b可以是任意的数、字母、单项式、多项式；（4）两数和的平方等于两数平方的和加上两数积的两倍。
　　设计意图：对于完全平方公式来说，它的重要意义就在于运用。而它应用的灵活性就体现在它的公式结构，也就是公式特征上，所以认识公式便是这节课的重点，所以这个活动，让学生自己通过观察——交流——发现它的特征。这样不仅记忆深刻，而且学生更能灵活地运用它，并培养了他们的合作精神，而自己得出的结论被肯定，也增强了他们的成就感，提高了学习数学的兴趣。
活动三：自主探索——公式的变形
在学生已得出（a+b)2=a2+2ab+b2的基础上，他们会提出（a-b)2=？的疑问，这时教师加以引导，让他们去自主探索（a+b）与（a-b）的关系，他们会得出a － b=a+(－b)，这就是问题的突破口，因为公式中的a、b可以代表任何数，那么这时可以用（—b）代表公式中的b，便得到了(a-b)2 = [a+(-b)]2=a2+2a·(-b)+(-b)2 ，突破口找到了，问题迎刃而解，对于找不到突破口的同学，教师加以引导和启发，接着课件显示出和的公式和差的公式，师生共同来对比，探究这两个公式的异同。
设计意图：自主探索的方法能充分培养学生对问题的独立思考能力，也能激发起他们的创新意识和数学思维的灵活性，而对比总结更能加深他们对两个公式的认识。
活动四：巩固、应用
例1、利用完全平方公式计算：
（1）（2x-3)2
（2). (4x+5y)2
（3) (mn-a)2
对于例题教师着重从以下几个方面来引导学生的思路，让学生先自己探索做法：（1）看应该用哪个公式；（2）看公式中的a、b在具体例题中代表谁；（3）如何依照公式来计算。教师及时地帮助学生解答探索过程中的疑惑，最后教师边讲解边给出解答过程，学生便会及时地发现错误，并得以改正。
设计意图：学生对公式既然已经掌握，他们便想知道这些知识点应该如何运用和体现，这时引入例题，并在教师指导下解决问题，使他们在应用和具体操作中发现问题，并鼓励他们自己寻找病因，锻炼了他们在实际应用中的灵活性和具体操作能力，而及时对解题方法和规律进行概括，发展了学生的思维能力。
活动五：一展身手，动手做一做
课件显示问题：1、真金不怕火炼。2、大学都来动手做一做。第一个问题提出时，学生兴趣非常浓厚，争先恐后地回答问题，第二个问题是对例题的巩固和延伸，让学生边回忆例题边解决新的问题，完成后课件显示学生的练习情况，学生们一起来寻找里面的错误并改正。
设计意图以两个不同形式的练习，对学生内容掌握程度进行了考察，第一个问题以学生的兴趣和好胜心出发，通过判断真假，从而达到锻炼学生的观察能力和对完全平方公式的熟悉程度，第二个问题加深了学生对知识的巩固，达到举一反三的效果，同时学生也可以在这个过程中发现错误并及时改正，也培养了他们“学好数学，用好数学”的信念。
活动六：小结
当整个知识点得到体现，重难点已掌握时，再让学生回过头，闭上眼去自己思索和整理今天的内容，加深他们对知识掌握的系统性和完整性。
活动七：作业布置
1、读一读： P 35《杨辉三角》
2、做一做：课 本: P 36 习题1.13 第12题
设计意图：读一读使学生了解了数学的历史，激发了他们对科学的热爱，课本练习加深了他们对知识的巩固，问题思考又是对今后知识的拓展和延伸，并且又为下一节课“完全平方公式（2）”的学习奠定了基础。
这节课通过引导学生动手参与活动，培养学生解决实际问题的能力。初中生以形象思维为主，试图达到数与形的结合。动手操作又是一个手脑并用的过程，是解决数学知识抽象性与初中生思维形象性之间矛盾的一个有效方法。同时，探索过程中的丰富情感体验可让学生由“要我学”的被动性转变为“我要学”的主动性。通过实验操作，促进学生变抽象为具体，培养了学生“用数学”的意识。通过本节课的设计实现教学目标，并 培养学生创造，归纳，演绎，数学建模的数学素质。