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概率论与数理统计基础公式大全
第一章 随机事件和概率

参考资料
(1)排列组 合公式

(2)加法和 乘法原理

从 m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。
从 m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。
加法原理(两种方法均能完成此事)： m+n
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 种 方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。
乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事) ：m×n

某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步骤可由n 种 方法来完成，则这件事可由 m×n 种方法来完成。

(3)一些常 见排列

重复排列和非重复排列(有序)
对立事件(至少有一个)
顺序问题

(4)随机试如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但 验 和 随 机 事在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。

件

(5)基本事 件、 样本空间 和事件

(6)事件的 关系与运算

试验的可能结果称为随机事件。
在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如 下性质：
①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；
②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。
一个事件就是由 中的部分点(基本事件 )组成的集合。通常用大写字母 A， B， C， …表示事件，它们是 的子集。
为必然事件， Ø 为不可能事件。
不可能事件(Ø )的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理， 必然事件(Ω)的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。

①关系：
如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分， (A 发生必有事件 B 发生)：
如果同时有 ， ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于 B： A=B。

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A、B 中至少有一个发生的事件： A B，或者 A+B。
属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与 B 的差，记为 A-B，也可表示 为 A-AB 或者 ，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。
A、B 同时发生： A B，或者 AB。A B=Ø ，则表示 A 与 B 不可能同时发生，称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。
-A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为 。它表示 A 不发生的事件。 互斥未必对立。
②运算：
结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)
德摩根率： ，
设 为样本空间， 为事件，对每一个事件 都有一个实数 P(A)，若满足下列三个
条件：
1° 0≤P(A)≤1，
(7)概率的 2° P(Ω) =1
公理化定义
3° 对于两两互不相容的事件 ， ，…有
常称为可列(完全)可加性。
则称 P(A)为事件 的概率。

1° ，
(8)古典概 2° 。
型 设任一事件 ，它是由 组成的，则有
P(A)= =
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间
(9)几何概 中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述， 则称此随机试验为几何概型。
型 对任一事件 A，
。其中 L 为几何度量(长度、面积、体积)。
(10) 加法公P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
式 当 P(AB) ＝0时， P(A+B)=P(A)+P(B)
(11) 减法公P(A-B)=P(A)-P(AB)
式 当 B A 时， P(A-B)=P(A)-P(B)

参考资料
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参考资料

(12) 率

(13) 式

(14)

(15) 式

(16) 公式

当 A=Ω 时， P( )=1- PB)
定义 设 A、 B 是两个事件，且 P(A)>0，则称 为事件 A 发生条件下，事件 B 发生
的条件概率，记为 。
条件概
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
例如 P(Ω/B)=1 P( /A)=1-P(B/A)
乘法公式：
乘法公更一般地，对事件 A1， A2，…An，若 P(A1A2…An-1)>0，则有
… …… … 。
①两个事件的独立性
设事件 、 满足 ，则称事件 、 是相互独立的。
若事件 、 相互独立，且 ，则有
若事件 、 相互独立，则可得到 与 、 与 、 与 也都相互独立。
必然事件 和不可能事件 Ø 与任何事件都相互独立。
Ø 与任何事件都互斥。
独立性
②多个事件的独立性
设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，
P(AB)=P(A)P(B)； P(BC)=P(B)P(C)； P(CA)=P(C)P(A)
并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么 A、 B、 C 相互独立。
对于 n 个事件类似。
设事件 满足
1° 两两互不相容， ，
全概公
2° ，
则有

。

设事件 ， ，…， 及 满足
贝叶斯1° ， ，…， 两两互不相容， >0， 1， 2，…， ，
2° ， ，
则

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， i=1， 2 ，…n。
此公式即为贝叶斯公式。
， ( ， ，…， ) ，通常叫先验概率。 ， ( ， ，…， )，通常称为后验概率。贝 叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。
我们作了 次试验，且满足
u 每次试验只有两种可能结果， 发生或 不发生；
u 次试验是重复进行的，即 发生的概率每次均一样；
(17) 伯努利
概型
u 每次试验是独立的，即每次试验 发生与否与其他次试验 发生与否是互不影响 的。
这种试验称为伯努利概型，或称为 重伯努利试验。
用 表示每次试验 发生的概率，则 发生的概率为 ，用 表示 重伯努利试验中 出现 次的概率，
， 。
第二章 随机变量及其分布
(1) 离散型设离散型随机变量 的可能取值为 Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件(X=Xk) 随机变量的 的概率为
分布律 P(X=xk)=pk，k=1,2,…，
则称上式为离散型随机变量 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：

。

显然分布律应满足下列条件：
(1) ， ， (2) 。
(2) 连续型设 是随机变量 的分布函数，若存在非负函数 ，对任意实数 ，有
随机变量的
分布密度 ，
则称 为连续型随机变量。 称为 的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。 密度函数具有下面4个性质：
1° 。
2° 。
(3) 离散与积分元 在连续型随机变量理论中所起的作用与 在离散型随机变量理论中所起的 连续型随机 作用相类似。
变量的关系

参考资料
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(4) 分布函设 为随机变量 是任意实数，则函数
数

称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。
可以得到 X 落入区间 的概率。分布函数 表示随机变量落入区间( – ∞， x] 内的 概率。
分布函数具有如下性质：
1° ；
2° 是单调不减的函数，即 时，有 ；
3° ， ；
4° ，即 是右连续的；
5° 。
对于离散型随机变量， ；
对于连续型随机变量， 。

参考资料
(5) 布

八大分0-1分布
二项分布

泊松分布

超几何分布
几何分布

均匀分布

P(X=1)=p, P(X=0)=q
在 重贝努里试验中，设事件 发生的概率为 。事件 发生的次数是 随机变量，设为 ，则 可能取值为 。
， 其中 ，
则称随机变量 服从参数为 ， 的二项分布。记为 。
当 时， ， ，这就是(0-1)分布，所以(0-1)分布是二项分布的
特例。
设随机变量 的分布律为

， ， ，

则称随机变量 服从参数为 的泊松分布，记为 或者 P( )。
泊松分布为二项分布的极限分布(np=λ，n→∞)。
随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布，记为 H(n,N,M)。
，其中 p≥0， q=1-p。
随机变量 X 服从参数为p 的几何分布，记为 G(p)。
设随机变量 的值只落在[a，b]内， 其密度函数 在[a，b]上为常数 ， 即
a≤x≤b

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其他，
则称随机变量 在[a， b]上服从均匀分布，记为X~U(a， b)。
分布函数为
a≤x≤b

0， xb。
当 a≤x1
。

,
指数分布

0, ,
其中 ，则称随机变量 X 服从参数为 的指数分布。
X 的分布函数为

,

x<0。

记住积分公式：
正态分布 设随机变量 的密度函数为

， ，

其中 、 为常数，则称随机变量 服从参数为 、 的正态分布或高斯
(Gauss)分布，记为 。
具有如下性质：
1° 的图形是关于 对称的；
2° 当 时， 为最大值；
若 ，则 的分布函数为

参考资料
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。 。

参数 、 时的正态分布称为标准正态分布，记为 ，其密度函数记为

， ，

分布函数为

。

是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。 Φ(-x)＝1- Φ(x)且 Φ(0)＝ 。
如果 ~ ，则 ~ 。

。

(6) 分位数下分位表： ；
上分位表： 。
(7) 函数分离散型 已知 的分布列为
布
，

的分布列( 互不相等)如下：

，

若有某些 相等，则应将对应的 相加作为 的概率。
连续型 先利用 X 的概率密度 fX(x)写出 Y 的分布函数 FY(y)＝P(g(X)≤y)，
再利用变上下限积分的求导公式求出 fY(y)。
第三章 二维随机变量及其分布
如果二维随机向量 (X， Y)的所有可能取值为至多可列个有序对 (x,y)，则称 为离散型随机量。
(1)联合分 离散型
布
设 = (X， Y)的所有可能取值为 ，且事件{ = }的概率为pij,,称
为 = (X， Y)的分布律或称为 X 和 Y 的联合分布律。联合分布有时 也用下面的概率分布表来表示：
Y
y1

p11
p21
y2
…

…
…
…

…
…
yj
X
p12
p22
x1
x2
p1j
p2j

xi
…
…
pi1

参考资料
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这里 pij 具有下面两个性质：
(1) pij≥0(i,j=1,2,…)；
(2)
连续型 对于二维随机向量 ， 如果存在非负函数 ， 使对任意一个其邻边分
别平行于坐标轴的矩形区域 D，即 D={(X,Y) |a 的联合分布密度。
分布密度 f(x,y)具有下面两个性质：
(1) f(x,y)≥0;
(2)
(2)二维随 机 变 量 的 本 质
(3)联合分 设(X， Y)为二维随机变量，对于任意实数 x,y,二元函数

参考资料
布函数

(4)离散型 与 连 续 型 的 关系
(5)边缘分 布

称为二维随机向量(X， Y)的分布函数，或称为随机变量X 和 Y 的联合分布函数。
分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件 的概率为函数值的一个实值函数。 分布函数 F(x,y)具有以下的基本性质：
(1)
(2) F (x,y)分别对 x 和 y 是非减的，即
当 x2>x1时，有 F (x2,y)≥F(x1,y);当 y2>y1时，有 F(x,y2) ≥F(x,y1);
(3) F (x,y)分别对 x 和 y 是右连续的，即
(4)
(5)对于

.

离散型
X 的边缘分布为
；
Y 的边缘分布为

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。

连续型 X 的边缘分布密度为
Y 的边缘分布密度为

参考资料
(6)条件分 离散型
布

连续型

在已知 X=xi 的条件下， Y 取值的条件分布为
在已知 Y=yj 的条件下， X 取值的条件分布为
在已知 Y=y 的条件下， X 的条件分布密度为

；
在已知 X=x 的条件下， Y 的条件分布密度为
(7)独立性 一般型 F(X,Y)=FX(x)FY(y)
离散型 有零不独立
连续型 f(x,y)=fX(x)fY(y)
直接判断，充要条件：
①可分离变量
②正概率密度区间为矩形
二维正态分布 ＝0
随机变量的函 若 X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn 相互独立， h,g 为连续函数，则：
数
h (X1，X2,…Xm)和 g (Xm+1,…Xn)相互独立。
特例：若 X 与 Y 独立，则： h (X)和 g (Y)独立。
例如：若 X 与 Y 独立，则： 3X+1和5Y-2独立。
(8)二维均 设随机向量(X， Y)的分布密度函数为
匀分布
其中 SD 为区域 D 的面积，则称(X， Y)服从 D 上的均匀分布，记为(X， Y)~U (D)。
例如图3.1、图3.2和图3.3。
y

1
D1
O1 x
图3.1
y

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D2
1
1

O 2 x
图3.2
y
D3
d
c
O a b x
图3.3
(9)二维正 设随机向量(X， Y)的分布密度函数为
态分布
其中 是5个参数，则称(X， Y)服从二维正态分布，
记为(X， Y)~N (
由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，
即 X~N (
但是若 X~N ( ， (X， Y)未必是二维正态分布。
(10) 函数分Z=X+Y 根据定义计算：
布
对于连续型， fZ(z)＝
两个独立的正态分布的和仍为正态分布( )。
n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。

，

Z=max,min(X1 若 相互独立，其分布函数分别为 ，则 Z=max,min(X1,X2,…Xn)的

参考资料
,X2,…Xn)
分布

分布函数为：
设 n 个随机变量 相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们 的平方和
的分布密度为
我们称随机变量 W 服从自由度为n 的 分布，记为 W~ ，其中

， 矩
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所谓自由度是指独立正态随机变量的个数， 它是随机变量分布中的 一个重要参数。
分布满足可加性：设
则

t 分布
设 X， Y 是两个相互独立的随机变量，且
可以证明函数
的概率密度为
F 分布
我们称随机变量 T 服从自由度为n 的 t 分布，记为 T~t(n)。 设 ，且 X 与 Y 独立，可以证明 的概率密度函数为
我们称随机变量 F 服从第一个自由度为 n1，第二个自由度为 n2的 F 分布，记为 F~f(n1, n2).
第四章 随机变量的数字特征
离散型
(1) 一
维随机
期望
变量的
数字特 期望就是平均值 征
连续型
设 X 是离散型随机变量， 其分设 X 是连续型随机变量， 其概率
布 律 为 P( )
k=1,2,…,n， (要求绝对收敛)
Y=g(X)
＝ pk ， 密度为 f(x)， (要求绝对收敛)

Y=g(X)
函数的期望
方差
D(X)=E[X-E(X)]2，
标准差

①对于正整数 k，称随机变量①对于正整数 k，称随机变量 X X 的 k 次幂的数学期望为 X 的的k 次幂的数学期望为X 的 k 阶
k 阶原点矩，记为 vk,即
νk=E(Xk)= , k=1,2, ….
原点矩，记为 vk,即 νk=E(Xk)=
②对于正整数 k，称随机变量k=1,2, ….
X 与 E (X)差的 k 次幂的数学
②对于正整数 k，称随机变量 X 期望为 X 的 k 阶中心矩，记
与 E (X) 差的 k 次幂的数学期望 为 ，即
为 X 的 k 阶中心矩，记为 ，即
= ， k=1,2, ….
=

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k=1,2, ….
切比雪夫不等式 设随机变量 X 具有数学期望E (X)=μ，方差 D (X)=σ2，则
对于任意正数 ε，有下列切比雪夫不等式
切比雪夫不等式给出了在未知 X 的分布的情况下，对概率
的一种估计，它在理论上有重要意义。
(2)期 (1) E(C)=C
望的性
(2) E(CX)=CE(X)
质
(3) E(X+Y)=E(X)+E(Y)，
(4) E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件： X 和 Y 独立；
充要条件： X 和Y 不相关。
(3)方 (1) D(C)=0； E(C)=C
差的性
(2) D(aX)=a2D(X)； E(aX)=aE(X)
质
(3) D(aX+b)= a2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b
(4) D(X)=E(X2)-E2(X)
(5) D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分条件： X 和 Y 独立；
充要条件： X 和Y 不相关。
D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，无条件成立。
而 E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。
(4)常 期望 方差
见分布
的期望
0-1分布 p
和方差 二项分布 np
泊松分布
几何分布
超几何分布
均匀分布
指数分布
正态分布
n 2n

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t 分布 0 (n>2)
(5)二期望
维随机
函数的期望 ＝ ＝
变量的
数字特 方差
征
协方差 对于随机变量 X 与 Y，称它们的二阶混合中心矩 为 X 与 Y 的
协方差或相关矩，记为 ，即
与记号 相对应， X 与 Y 的方差 D (X)与 D (Y)也可分别记为 与 。
相关系数 对于随机变量 X 与 Y，如果 D (X) >0, D(Y)>0，则称
为 X 与 Y 的相关系数，记作 (有时可简记为 ) 。
| |≤1，当| |=1时，称 X 与 Y 完全相关：
完全相关
而当 时，称 X 与 Y 不相关。
以下五个命题是等价的：
① ；
②cov(X,Y)=0;
③E(XY)=E(X)E(Y);
④D(X+Y)=D(X)+D(Y);
⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y).
协方差矩阵
混合矩 对于随机变量 X 与 Y，如果有 存在，则称之为 X 与 Y 的 k+l
阶混合原点矩，记为 ； k+l 阶混合中心矩记为：
(6)协 (i) cov (X, Y)=cov (Y, X);
方差的
性质
(ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);
(iii) cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);
(iv) cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).
(7)独 (i) 若随机变量 X 与 Y 相互独立，则 ；反之不真。
立和不
相关
(ii) 若(X， Y)~N ( )，
则 X 与 Y 相互独立的充要条件是 X 和 Y 不相关。
第五章 大数定律和中心极限定理

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(1)大数定律 切比雪夫设随机变量 X1， X2，…相互独立，均具有有限方差，且被同一常
大数定律数 C 所界： D (Xi)若 X1， X2，…具有相同的数学期望 E (XI)=μ，则 上式成为
伯努利大设 μ 是 n 次独立试验中事件 A 发生的次数， p 是事件 A 在每次试 数定律 验中发生的概率，则对于任意的正数 ε，有
伯努利大数定律说明，当试验次数n 很大时，事件 A 发生的频率 与概率有较大判别的可能性很小，即
这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。
辛钦大数设 X1， X2，…， Xn，…是相互独立同分布的随机变量序列，且E
定律 (Xn)=μ，则对于任意的正数 ε 有
(2)中心极限定理列维－林设随机变量 X1， X2，…相互独立，服从同一分布，且具有相同的 德伯格定数学期望和方差： ，则随机变量
理
的分布函数 Fn(x)对任意的实数 x，有
此定理也称为独立同分布的中心极限定理。
棣莫弗－设随机变量 为具有参数 n, p(0体 (或母体)。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变 量(或随机向量)。
总体中的每一个单元称为样品(或个体)。
我们把从总体中抽取的部分样品 称为样本。样本中所含的样品数 称为样本容量，一般用 n 表示。在一般情况下，总是把样本看成 是 n 个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本 称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时， 表示 n 个随机 变量 (样本)；在具体的一次抽取之后， 表示 n 个具体的数值(样
( 1 )数理统 总体 计 的 基 本 概
念
个体
样本

参考资料
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本值) 。我们称之为样本的两重性。
设 为总体的一个样本，称
样本函数和统
计量
( )
为样本函数，其中 为一个连续函数。如果 中不包含任何未知参 数，则称 ( )为一个统计量。
常见统计量及
其性质
样本均值
样本方差
样本标准差
样本 k 阶原点矩
样本 k 阶中心矩

， ，

， ,

其中 ，为二阶中心矩。
(2)正态总 正态分布
体 下 的 四 大
设 为来自正态总体 的一个样本，则样本函数
t 分布
分布
设 为来自正态总体 的一个样本，则样本函数
其中 t(n-1)表示自由度为n-1的t 分布。
设 为来自正态总体 的一个样本，则样本函数
其中 表示自由度为 n-1的 分布。
F 分布
设 为来自正态总体 的一个样本，而 为来自正态总体 的一个样 本，则样本函数
其中
表示第一自由度为 ，第二自由度为 的 F 分布。
(3)正态总 与 独立。
体 下 分 布 的
性质
第七章 参数估计
设总体 X 的分布中包含有未知数 ，则其分布函数可以表成 它的 k 阶原点 矩 中也包含了未知参数 ， 即 。 又设 为总体 X 的 n 个样本值， 其样本的 k 阶原点矩为
这样， 我们按照“当参数等于其估计量时， 总体矩等于相应的样本矩”的
原则建立方程，即有
(1) 点估矩估计
计

参考资料
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由上面的 m 个方程中，解出的 m 个未知参数 即为参数( )的矩估计量。
若 为 的矩估计， 为连续函数，则 为 的矩估计。
极 大 似 然当总体 X 为连续型随机变量时， 设其分布密度为 ， 其中 为未知参数。 又
估计 设 为总体的一个样本，称
为样本的似然函数，简记为 Ln.
当总体 X 为离型随机变量时，设其分布律为 ，则称
为样本的似然函数。
若似然函数 在 处取到最大值， 则称 分别为 的最大似然估计值， 相应的 统计量称为最大似然估计量。
若 为 的极大似然估计， 为单调函数，则 为 的极大似然估计。

参考资料
(2) 估计无偏性 量的评选
标准
有效性
一致性

(3) 区间置 信 区

设 为未知参数 的估计量。若 E ( ) = ，则称 为 的无偏估计量。
E ( ) =E (X)， E (S2) =D (X)
设 和 是未知参数 的两个无偏估计量。若 ，则称 有效。

设 是 的一串估计量，如果对于任意的正数 ，都有
则称 为 的一致估计量(或相合估计量)。
若 为 的无偏估计，且 则 为 的一致估计。
只要总体的 E(X)和 D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应 总体的一致估计量。
间设总体 X 含有一个待估的未知参数 。如果我们从样本 出发， 找出两个统

估计 和置信度 计量 与 ，使得区间 以 的概率包含这个待估参数 ，即
那么称区间 为 的置信区间， 为该区间的置信度(或置信水平)。
单 正 态 总设 为总体 的一个样本，在置信度为 下，我们来确定 的置信区间 。具 体 的 期望体步骤如下：
和 方 差 的
区间估计
(i)选择样本函数；
(ii)由置信度 ，查表找分位数；
(iii)导出置信区间 。

已知方差，估计均值

未知方差，估计均值

(i)选择样本函数
(ii) 查表找分位数
(iii)导出置信区间
(i)选择样本函数

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方差的区间估计
(ii)查表找分位数 (iii)导出置信区间 (i)选择样本函数 (ii)查表找分位数 (iii)导出 的置信区间
第八章 假设检验
基本思想
假设检验的统计思想是，概率很小的事件在一次试验中可以认为基本上是不会发 生的，即小概率原理。
为了检验一个假设 H0是否成立。 我们先假定 H0是成立的。 如果根据这个假定导致 了一个不合理的事件发生，那就表明原来的假定 H0是不正确的，我们拒绝接受 H0； 如果由此没有导出不合理的现象，则不能拒绝接受 H0，我们称 H0是相容的。与 H0相对的假设称为备择假设，用H1表示。
这里所说的小概率事件就是事件 ，其概率就是检验水平 α，通常我们取 α=0.05， 有时也取0.01或0.10。
基本步骤
假设检验的基本步骤如下：
(i) 提出零假设 H0；
(ii) 选择统计量 K；
(iii) 对于检验水平 α 查表找分位数 λ；
(iv) 由样本值 计算统计量之值 K；
将 进行比较，作出判断：当 时否定 H0，否则认为 H0相容。
两类错误
当 H0为真时，而样本值却落入了否定域，按照我们规定的检 验法则，应当否定H0。这时，我们把客观上H0成立判为H0为 不成立(即否定了真实的假设)，称这种错误为“以真当假”
的错误或第一类错误，记 为犯此类错误的概率，即
P{否定 H0|H0为真}= ；
第一类错误

此处的 α 恰好为检验水平。
当 H1为真时，而样本值却落入了相容域，按照我们规定的检 验法则，应当接受 H0。这时，我们把客观上 H0。不成立判为 H0成立(即接受了不真实的假设)，称这种错误为“以假当真”
的错误或第二类错误，记 为犯此类错误的概率，即 P{接受 H0|H1为真}= 。
人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。 但是， 当容量 n
一定时， 变小，则 变大；相反地， 变小，则 变大。取定
第二类错误

两类错误的关系

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要想使 变小，则必须增加样本容量。
在实际使用时， 通常人们只能控制犯第一类错误的概率， 即给 定显著性水平 α。α 大小的选取应根据实际情况而定。当我 们宁可“以假为真”、而不愿“以真当假”时，则应把 α 取 得很小，如0.01，甚至0.001。反之，则应把 α 取得大些。
单正态总体均值和方差的假设检验
对应样本
条件 零假设 统计量 否定域
函数分布

已知 N (0， 1)

未知

未知
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