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概率论与数理统计 公式

第 1 章 随机事件及其概率

1
随 机 试 验 和 随 机 事 件

基本事件、 样 本 空 间 和事件

)事件的关 系与运算

概 率 的 公 理化定义

如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个， 但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果则称这种试验为随机试 验。
试验的可能结果称为随机事件。
在一个试验下， 不管事件有多少个， 总可以从其中找出这样一组事件， 它具有 如下性质：
①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；
②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。

这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。
一个事件就是由 中的部分点(基本事件 )组成的集合。通常用大写字母 A，B，C， …表示事件，它们是 的子集。
为必然事件，Ø 为不可能事件。
不可能事件 (Ø) 的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件； 同理， 必然事件(Ω)的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。
①关系：
如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分， (A 发生必有事件 B 发生)： A 仁 B
如果同时有A 仁 B， B A ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于B： A=B。
A、B 中至少有一个发生的事件： A U B，或者 A+B。
属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为A 与B 的差，记为A-B，也可
表示为 A-AB 或者AB ，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。
A、B 同时发生： A n B，或者 AB。An B=Ø，则表示 A 与 B 不可能同时发生，
称事件 A 与事件B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。
-A 称为事件A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为A 。它表示 A 不发生
的事件。互斥未必对立。
②运算：
结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)
n U
A = A
德摩根率： i i A U B = A n B， A n B = A U B
i=1 i=1
设 为样本空间 A 为事件，对每一个事件A 都有一个实数 P(A)，若满 足下列三个条件：
1° 0≤P(A)≤1，
2° P(Ω) =1
3° 对于两两互不相容的事件A 1， A 2，…有

概率论与数理统计 公式

1

古典概型

几何概型

加法公式

减法公式

条件概率

)乘法公式

独立性

P(||(w(U)Ai ))|| = xw P(Ai )
常称为可列(完全) 可i=加1性。 i=1
则称 P(A)为事件A 的概率。
1° Q = {O ,O …O }，
1 2° P(O ) = P(O ) = … P(O ) = 。
1 2 n

1 2 n n
A)(任) )(件) )(它)U(是)由… …)}mP，P )(有) + … + P(O )
1 2 m 1 2 m
m A所包含的基本事件数
= =
n 基本事件总数
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空 间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何 概型。对任一事件 A，
L(A)
P(A) = 。其中 L 为几何度量(长度、面积、体积)。
L(Q)

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当 P(AB)＝0 时，P(A+B)=P(A)+P(B)
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当 B 仁 A 时，P(A-B)=P(A)-P(B)

当 A=Ω时，P( B )=1- P(B)
P(AB)
定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)>0，则称 为事件 A 发生条件下，事
P(A)
P(AB)
件 B 发生的条件概率，记为P(B / A) = 。
P(A)
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
例如 P(Ω/B)=1 亭 P( B /A)=1-P(B/A)
乘法公式： P(AB) = P(A)P(B / A)
更一般地，对事件 A ，A ，…A ，若 P(A A …A )>0，则有
1 2 … n 1 2 1 3 1 2 …… n 1 2 …
P(A A A ) =1 P A )P(nA | A )P1(A2 | An-1 A ) P(A | A A
A )
n - 1 。
①两个事件的独立性
设事件A、 B 满足P(AB) = P(A)P(B)， 则称事件A、 B 是相互独立的。 若事件A、 B 相互独立，且P(A) > 0 ，则有
P(AB) P(A)P(B)
P(B | A) = = = P(B)
P(A) P(A)
若事件A、 B 相互独立， 则可得到A 与B、 A 与B、 A 与B 也都相互独 立

概率论与数理统计 公式

全概公式

贝 叶 斯 公 式

伯 努 利 概 型

必然事件 和不可能事件 Ø 与任何事件都相互独立。
Ø 与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，
P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)
并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么 A、B、C 相互独立。
对于 n 个事件类似。
设事件 B1, B2, … , Bn 满足
1° B1, B2, … , Bn 两两互不相容， P(Bi) > 0(i = 1,2, … , n)，
A 仁 Un B
2° i，
i=1
则有
P(A) = P(B )P(A | B ) + P(B )P(A | B ) + … + P(B )P(A | B )
1 1 2 2 n n 。
设事件B1， B2 ，…， Bn及A 满足
，
1° B1， B2 ，…， B n两两互不相容， P(Bi) >0， i = 1，2，…， n
A 仁 Un B
2° i， P(A) > 0，
i=1
则
P(B )P(A/ B )
P(B / A) = i i ，i=1，2，…n。
i n P(B )P(A/ B )
j j
此公式即为贝j 叶(=1)斯公式。
P(B )， ( i = 1， 2， …， n )， 通常叫先验概率。 P(B / A)， ( i = 1， 2， …，
n )，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了
i i

“由果朔因”的推断。
我们作了n 次试验，且满足
令 每次试验只有两种可能结果， A 发生或A 不发生； 令 n 次试验是重复进行的，即A 发生的概率每次均一样；
令 每次试验是独立的，即每次试验A 发生与否与其他次试验A 发生与
否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型，或称为n 重伯努利试验。
用p 表示每次试验A 发生的概率，则A 发生的概率为1 p = q ，用Pn (k) 表
示n 重伯努利试验中A 出现k(0 k n) 次的概率，

P (k) = C k pk qnk k = 0,1,2,… , n
n
， 。
n

j
概率论与数理统计 公式

第二章 随机变量及其分布

设离散型随机变量X 的可能取值为 X (k=1,2,…)且取各个值的概率，即事
件(X=X )的概率为 k
P(Xk=x )=p ，k=1,2,…，
则称上k 式为k 离散型随机变量X 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形 式给出：
X | x1, x2 , … , xk , …
P(X = x ) p , p , … , p , …
k 1 2 k 。
显然分布律应满足下列条件：
(1) pk > 0， k = 1,2, k = 1。
设 F(x) 是随机变量X 的分布函数， 若存在非负函数f (x)， 对任意实数 x， 有

，
一w
则称X 为连续型随机变量。 f (x) 称为X 的概率密度函数或密度函数， 简称概 率密度。
密度函数具有下面 4 个性质：
f (x) > 0
。

。
一w
P(X = x) 则 P(x < X 共 x + dx) 则 f (x)dx

积分元 f (x)dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与
散型随机变量理论中所起的作用相类似。
(1)离散 型 随 机 变 量 的 分 布 律

(2)连续 型 随 机 变 量 的 分 布 密度

(3)离散 与 连 续 型 随 机 变 量
的关系
F(x) = jx f (x)dx
P(X = x ) = p
k k
+w f (x)dx = 1
1°

2°
在离

概率论与数理统计 公式

设 X 为随机变量， x 是任意实数，则函数
F(x) = P(X x)
(4)分布
函数

称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。
P(a < X b) = F(b) F(a) 可以得到 X 落入区间(a,b] 的概率。分布

函数F(x) 表示随机变量落入区间( – ∞，x]内的概率。

分布函数具有如下性质：
1° 0 F(x) 1, < x < +；

2° F(x) 是单调不减的函数，即x < x 时，有 F(x ) F(x )；
1 2 1 2
3° F() = lim F(x) = 0， F(+) = lim F(x) = 1；
x x+
4° F(x + 0) = F(x) ，即F(x) 是右连续的；

5° P(X = x) = F(x) F(x 0) 。
对于离散型随机变量， F(x) = p ；
k
xk x
对于连续型随机变量， F(x) = jx f(x)dx 。

(5)八大
分布
0-1 分布

二项分布

P(X=1)=p, P(X=0)=q

在n 重贝努里试验中，设事件A 发生的概率为 p 。事件A 发生

的次数是随机变量，设为X ，则X 可能取值为0,1,2,… , n

P(X = k) = P (k) = C k p k q nk ， 其 中
n n
q = 1 p,0 < p < 1,k = 0,1,2,… ,n，

则 称 随 机 变 量 X 服 从 参 数 为 n ， p 的 二 项 分 布 。 记 为

X ~ B(n, p) 。

当n = 1时， P(X = k) = pk q1k， k = 0.1 ，这就是(0-1)分
布，所以(0-1)分布是二项分布的特例。

P(x <1X 2< x ) = x2 - x1 。
1 2 b - a
f (x) =〈|l
概率论与数理统计 公式

1
泊松分布

超几何分布

几何分布

均匀分布

设随机变量X 的分布律为
P(X = k) = 入 k e-入， 入 > 0， k = 0,1,2…，
k!
则称随机变量X 服从参数为入 的泊松分布，记为 X ~ 爪 (入) 或
者 P(入 )。
泊松分布为二项分布的极限分布(np=λn → ∞)。
P(X = k) = M N-M ,
C k • Cn-k k = 0,1,2… , l
C n l = min(M , n)
N
随机变量 X 服从参数为n,N,M 的超几何分布，记为 H(n,N,M)。 P(X = k) = q k -1 p, k = 1,2,3,… ，其中 p≥0，q=1-p。
随机变量 X 服从参数为p 的几何分布，记为 G(p)。
设随机变量 X 的值只落在[a， b]内， 其密度函数f (x) 在[a， b]
1
上为常数 ，即
b - a
| ,
a≤x≤b
其他，
( 1

则称随机变量 X 在[a，b]上服从均匀分布，记为 X~U(a，b)。 分布函数为
xb。
b - a
1，
F(x) = j x f (x)dx =
-w

当 a≤x


x 0
,

f (x)
0,

x 0
,

其中 0 ，则称随机变量 X 服从参数为 的指数分布。
X 的分布函数为

1 e x ,
F (x)
0,

x 0
,

x<0。

记住积分公式：
xn e xdx n!

0
正态分布
设随机变量X 的密度函数为

f(x) 1 e x ，
其中 、 0 为常数， 则称随机变量X 服从参数为 、
2

的正态分布或高斯(Gauss)分布，记为 X ~ N( , 2 ) 。
f (x) 具有如下性质：
1° f (x) 的图形是关于 x 对称的；
2
2° 当 x 时， f ( ) 1 为最大值；
F(若)(x) 2 ，xe 2)2 dt(的)分。布函数为
X ~ N( , 2 ) X

参数 0 、 1 时的正态分布称为标准正态分布，记为
(x) e x2
X ~ N(0,1)1，其密2度函数记为
， ，
2 x

分布函数为
(x) 1 x e t2(2)dt 。
(x)是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。
1
2
2

Φ(-x)＝1- Φ(x)且 Φ(0)＝ 。

如果 X ~N( , 2) ，则 X ~N(0,1)。
x x

概率论与数理统计 公式

下分位表： P(X )＝a；
a
离散型
已知 X 的分布列为
X x , x , … , x , …
1 2 n
P(X x ) p , p , … , p , …
Y = g(X ) 的i分布1列 2( y = g(nx ) 互不相等)如下：
Y g(x ), g(x i), … , ig(x ), …
1 2 n
P(Y = y ) p , p , … , p , …
若有某些ig(x ) 相1等， 2则应将对应的n p 相加作为g(x ) 的概率。
i i i
先利用 X 的概率密度 f (x)写出 Y 的分布函数 F (y)＝P(g(X)≤
X Y
y)，再利用变上下限积分的求导公式求出 f (y)。 第三章 二维随机变量及其分布 Y
(6)分位 数
(7)函数 分布
连续型
，
，

1
( 1 )联合 分布

离散型

如果二维随机向量 (X，Y)的所有可能取值为至多可列 个有序对(x,y)，则称 为离散型随机量。
设 =(X，Y)的所有可能取值为(x , y )(i, j = 1,2, …)，
i j
且事件{ = (x , y ) }的概率为 p ,称
i j ij,
P{(X , Y) = (x , y )} = p (i, j = 1,2, …)
i j ij

为 =(X，Y)的分布律或称为 X 和 Y
布有时也用下面的概率分布表来表示：
y
y
…
…
…
2
1
Y
X
p
p
p
x
1

2
：
12
11
p
x
22
：
21
：
x
p
…
i
：
i1
：
：
这里 p 具有下面两个性质：
(2) p = 1.
(1) p( ij) ≥0(i,j=1,2,…)； ij

ij
i j
的联合分布律。联合分

y
…
j
p
p
…
1j
…
2j
：
…
：
：

p
ij
：

概率论与数理统计 公式

对 于 二 维 随 机 向 量 飞 = (X , Y) ， 如 果 存 在 非 负 函 数
连续型

f (x, y)(_w < x < +w,_w < y < +w) ，使对任意一个其邻边
分别平行于坐标轴的矩形区域 D，即 D={(X,Y) |a Y = y)

设(X，Y)为二维随机变量，对于任意实数 x,y,二元函数
F(x, y) = P{X 共 x, Y 共 y}

称为二维随机向量(X，Y)的分布函数，或称为随机变量X和 Y 的联合分布函 数。
分 布 函 数 是 一 个 以 全 平 面 为 其 定 义 域 ， 以 事 件
{(O , O ) | _w < X (O ) 共 x,_w < Y(O ) 共 y}的概率为函数值的一个实值函
1 2 1 2
数。分布函数 F(x,y)具有以下的基本性质：
(1) 0 共 F(x, y) 共 1;
(2)F(x,y)分别对 x 和y 是非减的，即
当 x >x 时，有 F(x ,y)≥F(x ,y);当 y >y 时，有 F(x,y ) ≥F(x,y );
(3 )2 F1 (x,y)分别对2 x 和 y 是1右连续的2， 即1 2 1
F(x, y) = F(x + 0, y), F(x, y) = F(x, y + 0);

(4) F(_w,_w) = F(_w, y) = F(x,_w) = 0, F(+w,+w) = 1.

(5)对于 x < x， y < y ， 1 2 1 2
F(x， y ) _ F (x， y ) _ F(x， y ) + F(x， y ) > 0 .
2 2 2 1 1 2 1 1

(4)离散 型 与 连 续
型的关系
P(X = x， Y = y) 如 P(x < X 共 x + dx， y < Y 共 y + dy) 如 f (x， y)dxdy

概率论与数理统计 公式

1
(5 )边缘 分布

离散型

连续型

X 的边缘分布为
P = P(X = x ) = x i• i
j
Y 的边缘分布为
P = P(Y = y ) = x
• j j
i
X 的边缘分布密度为


p (i, j = 1,2, …)；
ij

p (i, j = 1,2, …)。
ij

(6 )条件 分布

(7 )独立 性


离散型

连续型

一般型
离散型

连续型

二维正态分 布

随机变量的 函数

f (x) = j +w f (x, y)dy；
-w
X
Y 的边缘分布密度为
f ( y) = j +w f (x, y)dx.
-w
Y
在已知 X=x 的条件下，Y 取值的条件分布为
i
P(Y = y | X = x ) = ij ；
p
j i p
i•
在已知 Y=y 的条件下，X 取值的条件分布为
j
p
P(X = x | Y = y ) = ij ,
i j p
• j
在已知 Y=y 的条件下，X 的条件分布密度为
f (x, y)
f (x | y) = ；
f ( y)
Y

在已知 X=x

f ( y | x) =
的条件下，Y 的条件分布密度为
f (x, y)
f (x)
X
F(X,Y)=F (x)F (y)
X Y
p = p p
ij i• • j
有零不独立
f(x,y)=f (x)f (y)
直接判断，(X) 充要Y条件：
①可分离变量
②正概率密度区间为矩形
2"住 住 1 - p 2
f (x, y) = 1 e - 2(11-p 2 ) (||( x 住(-)1(山)1 ))||2 - 2 p ( xy - 山2 ) + (||( y 住(-)2(山)2 ))||2 ,

p ＝0 1 2
若 X ,X ,…X ,X ,…X 相互独立， h,g 为连续函数，则： h( X1，2X ,…( m)X )m+1和 g n(X ,…X )相互独立。
特例 ：(1) 若2 X 与mY 独立， 则m+ ：(1) h(nX)和 g(Y)独立。
例如：若 X 与Y 独立，则：3X+1和 5Y-2 独立。

概率论与数理统计 公式

(8 )二维 设随机向量(X，Y)的分布密度函数为

1
均匀分布


f (x, y) = 〈|0,



(x, y) D

其他

其中 S 为区域 D 的面积，则称(X，Y)服从D 上的均匀分布，记为(X，Y)~ U(D)。D
例如图 3.1、图 3.2 和图 3.3。
y

1

O

D
1 1


x

图 3.1

y
1

D
2
O 2 x
1

图 3.2

y
d

c O a
图 3.3


D
3

b x

概率论与数理统计 公式

1
(9 )二维 正态分布


设随机向量(X，Y)的分布密度函数为

2冗装 装 1 - p 2
f (x, y) = 1 e - 2(11-p 2 ) (||( x 装(-)1(山)1 ))||2 - 2 p ( xy - 山2 ) + (||( y 装(-)2(山)2 ))||2 ,

1 2
其中 山 , 山 装 > 0,装 > 0,| p |<1是 5 个参数，则称(X，Y)服从二维正态分
1 2, 1 2
布，
记为(X，Y)~N( 山 , 山 装 2 , 装 2 , p).
1 2, 1 2
由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分 布，
即 X~N( 山 , 装 2 ),Y ~ N(山 装 2 ).
1 1 2, 2
但是若 X~N( 山 , 装 2 ),Y ~ N(山 装 2 ) ，(X，Y)未必是二维正态分布。
1 1 2, 2

(10)函数
分布

Z=X+Y

根据定义计算： F (z) = P(Z 三 z) = P(X + Y 三 z)
Z

Z
对于连续型，f (z)＝ +jwf (x, z - x)dx
-w
两个独立的正态分布的和仍为正态分布( 山 + 山 ,装 2 + 装 2 )。
1 2 1 2
山 = C 山 ， 装 2 = C 2 装 2
n 个相x互独立的正态分布线性组合，仍服从正态分布。

i i
i

i i
i

Z=max,min(
X ,X , …X )
1 2 n

若 X , X … X 相 互 独 立 ， 其 分 布 函 数 分 别 为
1 2 n

F (x)， F (x) … F (x) ，则
x x x
1 2 n
函数为：
Z=max,min(X ,X , …X )的分布
1 2 n

F (x) = F (x) • F (x) … F (x)
max x x x
1 2 n
F (x) = 1 - [1- F (x)] • [1- F (x)] … [1- F (x)]

min

x
1

x
2

x
n

概率论与数理统计 公式

1
X 2 分布

设 n 个随机变量X , X , … , X 相互独立，且服从标准正态分
1 2 n

布，可以证明它们的平方和

2 i
W = n X

i=1
服从自由度为 n 的X 2 分布，记为 W~ X 2 (n) 。
所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量 分布中的一个重要参数。
X 2 分布满足可加性：设

t 分布

F 分布

Y X 2 (n ),
i i
则

Z = k Y ~ X 2 (n + n + … + n ).
i 1 2 k
i=1
设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，且
X ~ N(0,1),Y ~ X 2 (n),
可以证明函数
X
T
=
Y / n
服从自由度为 n 的 t 分布，记为 T~t(n)。
t (n) = t (n)
1
设 X ~ X 2 (n ), Y ~ X 2 (n ) ，且 X 与 Y 独 立，可 以 证明
1 2
1
X / n
F =
Y / n
2
服从第一个自由度为 n，第二个自由度为 n 的 F 分布，记为F~
f(n , n ). 1
1 2
2

1
F (n , n ) =
1 1 2 F (n , n )
2 1
第四章 随机变量的数字特征

(1) 离散型 连续型

概率论与数