概率论与数理统计公式.docx

第 1 章

排列组) (1
合公式
随机事件及其概率

m!n?P 从 m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 m(m?n)!m!n?C 从 m 个人中挑出n 个 人进行组合的可能数。 mn!(m?n)!

(2)加法和

加法原理(两种方法均能完成此事)： m+n
乘法原理
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完 成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。
乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事)： m×n
某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完
成，则这件事可由 m×n 种方法来完成。
一些常(3) 见排列
重复排列和非重复排列(有序) 对立事件(至少有一个) 顺序问题

随机试(4)

如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一
验和随机事
次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
件
试验的可能结果称为随机事件。
基本事) (5
在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：
件、样本空
①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；
间和事件
②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
?来表示。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用?表示。 基本事件的全体， 称为 试验的样本空间，用??A，)组成的集合。通常用大写字母一个事件就是由中的部分点(基 本事件?，， CB 的子集。…表示事件，它们是
?为必然事件， ?为不可能事件。

不可能事件 (?) 的概率为零， 而概率为零的事件不一定是不可能事件； 同理， 必然事件 (Ω)
的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。

6)事件的 ( 关系与运 算

①关系：
BAB 发生)：的组成部分， (发生必有事件 A 如果事件的组成部分也是事件
B?AA?BB?AABAB：如果同时有，则称事件等价，或称，与事件等于A=B。

?BABA、BA。+，或者中至少有一个发生的事件： ABA 与 BA-B，也可表而不属于的差，记
为属于的部分所构成的事件，称为ABAA-ABB 不发生的事件。发生而，它表示 示为或 者??ABBABA、B=?，则表示 A 与B 同时发生：不可能同时发生，称，或者。 A 互不相容或者 互斥。基本事件是互不相容的。 B 与事件 A 事件．

A?它表示 A 不发生的的逆事件，或称A 的对立事件，记为-A 称为事件 A 事件。互斥未必
对立。
②运算：
结合率： A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B) ∪C
分配率： (AB) ∪C=(A∪C) ∩ (B∪C) (A∪B) ∩C=(AC) ∪ (BC)
??
?? AA?iiA?B?A?BA?B?A?B 德摩根率：， 1i?1i?

概率的) (7
公理化定义

?AA 都有一个实数 P(A)为事件， 对每一个事件设， 若满足为样本空间， 下列三个条件： ，
1° 0≤P(A)≤1) =1
2° P(ΩAA，…有 3° 对于两两互不相容的事件 ， 21 常称为可列(完全)可加性。 A 的概率。 P(A)为事件则称

古典概 8)
( 型

??????,??， 1° n21 1??? )?P()???PP(() 2° 。n12nA????,组成的，则有 设任一事件，它是由
m21????????)P(??()?P(?)(()???(?))PP(A) = =m11m22

(9)几何概 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一
型 个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件 A，
L(A)?)AP( 。其中 L 为几何度量(长度、面积、体积)。 L(?)

10)加法(公 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB) ＝0 时， P(A+B)=P(A)+P(B)
式

(11)减法
公式

P(A-B)=P(A)-P(AB)
?A 时， BP(A-B)=P(A)-P(B) 当B)=1- P(B)
P(A=Ω时，当

)条件(12 概 率

P(AB)为事件 A 发生条件下，事件定义 设 A、 B 是两个事件，且 P(A)>0，则
称)AP()ABP(?A)P(B/ 。 B 发生的条件概率，记为)AP(条件概率是概率的一种，所有概率 的性质都适合于条件概率。
?P(/B)=1/A)=1-P(B/A) 例如 P(ΩB

)乘法 13( 公 P(AB)?P(A)P(B/A) 乘法公式：更一般地，对事件 A， A，…A，若 P(AA…A)>0，则有
式 n- 11(A)?n2(P)(1(A))P(A|A)P(A|AA)P(AAAAA(P21n3211n2121…………A)1?n 。．

)独立(14 性 ①两个事件的独立性
P(AB)?P(A)P(B)ABBA 是相互独立满足、设事件、，则称事件 的。 P(A)?0BA，则有相 互独立， 且 若事件、 ABABABAB 也都相互独与、、若事件与、 与相互独立， 则可得到 立。? 和不可能事件?必然事件与任何事件都相互独立。 ?与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，
P(AB)=P(A)P(B)； P(BC)=P(B)P(C)； P(CA)=P(C)PA)
并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么 A、 B、 C 相互独立。
对于 n 个事件类似。

)全概 15( 率
公式
B,B,?,Bn21 满足设事件
B,B,?,BP(B)?0(i?1,2,?,n)i21n，两两互不相容， 1°
n? BA?i，° 21?i 则有P(A)?P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)???P(B)P(A|B)n121n2。

BABBn 满足， …， 设事件及， 21 P(Bi)i?nBBBn， 1° ，，>0， …，两两互不相容， 2， …， 121n?BA?iP(A)?0， ， 2°1i? 则P(B)P(A/B)ii?/P(BA)， i=1， 2，…n。
in? )B/)P(AP(Bjj1?j 此公式即为贝叶斯公式。

ni??11i2)/AP(P(B)B，，， (，…，， () ，通常叫先验概率。 iin2 )，通常称为后验概率。
贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并，…，作出了“由果朔因”的推断。

)伯努(17 利
概型
n 次试验，且满足 我们作了 AA 每次试验只有两种可能结果， ? 不发生；发生或
nA? 次试验是重复进行的， 即发生的概率每次均一样； AA 每次试验是独立的， 即每次试 验? 发生与否发生与否与其他次试验是互不影响的。 n 重伯努利试验。 这种试验称为伯 努利概型，或称为 1?p?qP(k)pAAn 表示发生的概率为，用用表示每次试验发生的概率， 则 k(0?k?n)nA 次的概率，出现重伯努利试验中

)贝叶(16 斯
公式

C
k kn? kqpP(k)?k?0,1,2,?,nn。 ， n

第二章

)离散(1 型随机变量 的分布 律

随机变量及其分布

X 的可能取值为 X(k=1,2, …)且取各个值的概率，即事件设离散型随机变量 (X=X)的概率为
k
P(X=x)=p， k=1,2, …， X 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式则称上式为离散型
k kk
随机变量 给出： Xx,x,?,x,?k12|P(X?x)p,p,?,p,?k2k1。
显然分布律应满足下列条件
?
? ?p1k?,kp?0?1,2k。 ， ， (2) (1) 1k?

)连续(2 型随机变量 的分布 密 度

f()x)(FxxX，有的分布函数，若存在非负函数设是随机变量 ，对任意实数

?
x
dx)(x)?xfF(
??
， f(x)XX 的概率密度函数或密度函数，简称概率为连续型随
机变量。称为则称密度。
密度函数具有下面 4 个性质：
f(x)?0。 1°

?
??
f(x)dx?1。°
??
2

(3) 离散与 连续型随机 变量 的关
系

P(X?x)?pkkdx)xf(在离散型积分元在连续型随机变量理论中所起的作用与 随机变量理论 中所起的作用相类似。

)分布(4 函
数
xX 是任意实数， 则函数设 为随机变量， 称为随机变量 X 的分布函数， 本质上是一个累积函 数。 P(a?X?b)?F(b)?F(a)(a,b] 的概率。分布函落入区间 可以得到 XF(x)表示随机变量 落入区间( – ∞， x] 内的概率。 数分布函数具有如下性质：
???x???,? 1)0?F(x； 1°x?xF(x)?FF(x)(x) ；是单调不减的函数，即 2° 时，有

2121 F(??)?limF(x)?0F(??)?limF(x)?1； 3° ， x???x??? F(x?0)?F(x)F(x)是右连续
的； °，即 4P(X?x)?F(x)?F(x?0)。 5° p?(x)F；对于离散型随机变量，
?
?

f(x)(x)?dxF。 对于连续型随机变量，
kx?x ??

(5)八大 0- 1 分布 P(X=1)=p, P(X=0)=q 分布

二项分布 pnAA重贝努里试验中，设事件。事件在发生的发生的概率为0,1,,n2,?XX
可能取值为次数是随机变量，设为。 ，则 kkn?kqpP(k)?CP(X?k)?， 其
中 nnq?1?p,0?p?1,k?0,1,2,?,n，
pnX 的二项分布。记为服从参数为，则称随机变量X~B(n,p)。
k1?kq)(PX?k?pk?n1?0.1，这就是(当时，， 0- 1)分 )分布是二项分布的
特例。 0- 1 布，所以(．

泊松分布
X 的分布律为 设随机变量 k????e(X?k)?Pk?0,1,2?0?，，， !k???)X~(X 或

者服从参数为的泊松分布，记为则称随机变量?) 。P(
泊松分布为二项分布的极限分布(np= λ， n → ∞) 。

超几何分布

几何分布

随机变量 X 服从参数为n,N,M 的超几何分布，记为 H(n,N,M)。

k?1p,k?1,2X?k)q,3,?P(，其中 p≥0， q=1-p。
随机变量 X 服从参数为p 的几何分布，记为 G(p)。

均匀分布

f(x)X 在[a， b]设随机变量的值只落在[a， b]内， 其密度函数 1 ， 即上为
常数ab?1? ≤ba≤x,??x)f(ab?? 其他， ?,0?X 在[a， b]上服从均
匀分布，记为 X 则称随机变量~U(a， b)。
分布函数为
0， x≤x≤ 。 x>b 1， x,x )

内的概率为 b 当 a≤x2 2
?)?(x1????x??? ef(x)??2，， ??2???0?X、服从参数为其中、为常数，则称

随机变量 2??),~N(X?。 的正态分布或高斯(Gauss)分布，记为f(x)具有
如下性质：
?)(xf?x 对称的；的图形是关于 1°

2
1??x??f()为最大值； 时， 2° 当??22??),X~N( X?)?(t， 则的分布函数为 若
?
1?x dt?eF(x)?2??2?? 。?01 时的正态分布称为标准正态分布，记为参
2

数、 X~N(0,1) x ，其密度函数记为 1??(x)?e2?2???x???，，
2
分布函数为
?
tx 1? dt?e?(x)2 。 ?2??)x?( 是不可求积函数，其函数值，已编制成表可
2

供查用。 1 Φ (-x) ＝1- Φ (x)且Φ(0)＝。 2??X2??)N(,N(0,1)X。如果，则

12
~~ ?????xx???? ???P(x?X?x)?????

21
。 ??????

)分位 6( 数

??＝)(X?P 下分位表：； ???＝)(X?P 上分位表： 。?

)函数 7( 分
布

离散型

X 的分布列为已知 x,x,?,x,?Xn21， ? P(X?x)p,p,?,p,?in12y?g(x))Y?g(X
互不相等)如下：的分布列( iig(x),g(x),?,g(x),?Yn12，
P(Y?y)p,p,?,p,?in12pg()x)g(x 的概率。 相加作为相等， 则应将对应的若 有某些 iii

连续型

先利用 X 的概率密度 f(x)写出Y 的分布函数 F(y)＝ P(g(X)≤y)，
变上下限积分的求导公式求出 f(y)。
Y

再利用
YX

二维随机变量及其分布 第三章．

(1)联合分 布

离散型

? (X， Y 如果二维随机向量)的所有可能取值为至多可列个?为离散型随机

量。 x,y)，则称有序对(?(x,y)(i,j? 1,2,?)，设= (X， Y)的所有可能取

值为 ji?(x,y)p,且事件{称= }的概率为 ij, ji?= (X， Y)为的分布律或称为
X 和 Y 的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：
Y

yyy …… pppx… …

X
j 21
pxpp…
1j11112


…


2j22221

xp … …
i1i
p 具有下面两个性质： 这里 ijp≥0 () i,j=1,2, …)； (1ij?? p?1. ) (2ijji

连续型

??(X,Y)，如果存在非负函数对于二维随机向量f(x,y)(???x???,???y???)，

使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域 D，即 D={(X,Y) |a为随机变量 X 和Y 的联合分布函数。
分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件????)?(y}?x,{(??,?)|???X(Y) 的概率为函数值

的一个实值函 2112 数。分布函数 F(x,y)具有以下的基本性质：
0?F(x,y)?1; ) (1 (2) F (x,y)分别对 x 和 y 是非减的，即
当 x>x 时，有 F (x,y)≥F(x,y);当 y>y 时，有 F(x,y) ≥F(x,y); (3) F (x,y)分别
12211221
对 x 和 y 是右连续的，即
F(??,??)?F(??,y)?F(x,??)?0F(??,??)?1. ) (4x?x， y?y， 5)对于( 2121 F(x， y)?F(x，
y)?F(x， y)?F(x， y)?0.
11221221

(4)离散型 与连续型的 关系

(5)边缘分 布

离散型

的边缘分布为 X? p(i,j? 1,2P(X?x)?,?)P?；
?
ij?jji
p(i,j? 1)?,2,?)yP?P(Y?。


Y
ijii?j 的边缘分布为

连续型

X 的边缘分布密度为
Y 的边缘分布密度为

6 ()条件分
布

离散型

连续型

X=x 的条件下， Y 在已知取值的条件分布为 Y=y 的条件下， X 取值的条件
i
分布为 在已知
j
在已知 Y=y 的条件下， X 的条件分布密度为
f(x,y)?)f(x|y； f(y)Y 在已知 X=x 的条件下， Y 的条件分布密度为

(7)独立性

一般型
离散型

F(X,Y)=F(x)F(y) YX
有零不独立

连续型
f(x,y)=f(x)f(y) 直接判断，充要条件：
YX
①可分离变量
②正概率密度区间为矩形

二维正态分
布．
?0

＝

随机变量的函 数

若 X,X, …X,X,…X 相互独立， h,g 为连续函数，则： h (X， X, …X)
nm2m+11
和 g (X,…X)相互独立。 特例：若 X 与Y 独立，则： h (X)和 g (Y)
n21m+1m
独立。

(8)二维均
匀分布
例如：若 X 与 Y 独立，则： 3X+1 和 5Y-2 独立。
设随机向量(X， Y)的分布密度函数为
其中 S 为区域 D 的面积，则称(X， Y)服从 D 上的均匀分布，记为(X， Y)~U (D)。
D
例如图 3.1、图 3.2 和图 3.3。
y
1
D 1 O x
1
3.1
图 y
1

O

图
y d c

O

图

x
2

D
3

a
b

x

3


2
D 3.2


1

.
3

9)二维正
态分布
设随机向量(X， Y)的分布密度函数为 ?????|?,|?0,1?,0 是 5 个参数，则称(其中 X， Y)服

从二维正态分 2,211 布，
22?????).,,, (Y)~N 记为(X， 22,11 由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个
边缘分布仍为正态分布，
22????).(Y),,~N (X~N 即 221,122????,()N),Y~ (X~N(X， Y)未必是二维正态分布。 但是若，

12,12

(10)函数
分布

Z=X+Y

F(z)?P(Z?z)?PX?Y?z) 根据定义计算： Z??? f(x, z?x)dx 对于连续型，

f ＝(z) ??22?????,? )。两个独立的正态分布的和仍为正态分布( 2121n 个相互
Z

独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。
??
222 ， iiiiii
????C??C

Z=max,min()
n21
X…X,X,

X,X?X 相互独立，其分布函数分别为若 n12F(x)， F(x)?F(x)，则 Z=max,min(X,X,…X)的分布函 n12xxxn21 数为：

2? 分布
X,X,?,X 相互独立，且服从标准正态分 n 个随机变量设 n12 布，可以证明 它们的平方和
的分布密度为
22??)(n， W 的~分布， 记为我们称随机变量 W 服从自由度为n 其中所谓自 由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分 布中的一个重要参 数。 2?分布满足可加性：设
则

t 分布
设 X， Y 是两个相互独立的随机变量，且
可以证明函数
的概率密度为
我们称随机变量 T 服从自由度为n 的 t 分布，记为 T~t(n)。
F 分布
22?n),Y~X~)(n， 且 X 与设 Y 独立， 可以证明 21X/n1?F 的概率密度函数
为 Y/n2 我们称随机变量 F 服从第一个自由度为 n，第二个自由度为 n 的
F 分布，记为 F~f(n, n).
21
21

第四章 随机变量的数字特征

离散型
连续型
(1)
一维
随机
变量
的数
字特
征
期望 期望就是平均值
是离散型随机变量，其分布设
Xx?X， ) ＝p 律为 P( k …k=1,2,,n，
k
设 X 是连续型随机变量，其概率密度为 f(x)， (要求绝对收敛)

(要求绝对收敛)
Y=g(X)
Y=g(X)
函数的期望

方差 D(X)=E[X-E(X)]， 标准
2
差?(X)?D(X) ，

矩

①对于正整数 k，称随机变量 X 阶的
k 次幂的数学期望为X 的 k 原点矩，
?
k k
记为 v, 即 kpx,
k
ν=E(X)= iiik=1,2, …. X②对于正
整数 k，称随机变量)差的 k 次幂的
数学期望与 E (X?阶中心矩，记为，
?
即 为 X 的 kk kpX))x?E(( ，
=iiik=1,2, ….

①对于正整数 k，称随机变量 X 的 k 次
幂的数学期望为 X 的 k 阶原点矩，记为
?
k k k
v, 即 ??k f(x)dxx, ν=E(X)= ??
k=1,2, ….
②对于正整数 k， 称随机变量 X 与E (X)
差的 k 次幂的数学期望为X 的?，即 k
?
阶中心矩， 记为 k??k f(x)))dx,(x?E(X
=??k=1,2, ….

(2) 期望 的性 质

切比雪夫不等式
设随机变量 X 具有数学期望E (X) = μ，方差 D (X) = σ，则对于任意 正数ε，
2
有下列切比雪夫不等式切比雪夫不等式给出了在未知 X 的分布的情况下，对概
率
的一种估计，它在理论上有重要意义。
(1) E(C)=C
??
(2) E(CX)=CE(X) nn )XCXE)?(E(C ， (3) E(X+Y)=E(X)+E(Y)iiii1?i?1i (4) E(XY)=E(X) E(Y) ，充分条件：
X 和 Y 独立；
充要条件： X 和 Y 不相关。

(3) (1) D(C)=0； E(C)=C
方差 E(aX)=aE(X) D(X)； 2) D(aX)=a ( E(aX+b)=aE(X)+b ； D(aX+b)= aD(X) (3) (X)
2 2 22
的性 D(X)=E(X)-E (4)

质
独立；±Y)=D(X)+D(Y)，充分条件： X 和 Y5 () D(X Y
±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))] ，无条件成立。
充要条件： X 和不相关。
D(X 而 E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。

)(4 常
见分
布的
期望
和 方
差
)pB(1, 0- 1 分布

)nB(,p 二项分布

期望

p

np

方差

?)P( 泊松分布

t 分布

)pG( 几何分布
),nH(N,M 超几何分布

U(a,b) 均匀分布

?)e( 指数分布

2??)N(, 正态分布

n 2n

0 n(n>2) n?2

期望
(5)
二维
随机
变量
的数
字特
征
E[G(X,Y)]＝
函数的期望
E[G(X,Y)]＝

方差

协方差
?为 X 与Y 的协方差对于随机变量 X 与 Y，称它们的二阶混合中心矩 11?或

cov(X,Y)，即或相关矩，记为 XY??)也可分别记为 YD (的方差 D (X 与记号)

与相对应， X 与 YXXXY?。 与 YY

对于随机变量 X 与 Y，如果 D (X) >0, D(Y)>0，则称
??) 。(有时可简记为与 Y 的相关系数，记作 为 XXY?? |=1 时，称 X 与 Y|完全相
关： |≤1，当|
P(X?aY?b)?1
??1 时(a?0)， 正相关， 当? 完全相关??，0)时(a?负相关， 当 1?????0
时，称 X 而当与 Y 不相关。
以下五个命题是等价的：
??0 ；① XY②cov(X,Y)=0;
③E(XY)=E(X)E(Y);
④D(X+Y)=D(X)+D(Y);
⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y).

协方差矩阵

lk)XYE(k+l 的 X， 如果有与对于随机变量 XY 与 Y 存在， 则称之为?k+l 阶混合
中心矩记为：阶混合原点矩，记为； kl
相关系数
混合矩

(6) 协方 差的 性质 ) 7(独 立和 不 相 关

第五章 大数定律和中心极限定理

切比雪
夫大数
定律
I12
?0? ；反之不真。 (i) 与 Y 相互独立，则若随机变量 XXY22?????,,,, (ii))，)~N (若(X， Y2211 不相关。和 Y
则 X 与 Y 相互独立的充要条件是 X
设随机变量 X， X，…相互独立，均具有有限方差，且被同一常 X)
21
次独立试验中事件 A 发生的次数， 次试验中发
大数定
生的概率，则对于任意的正数ε，有发生的 n 很大时，事件 A 伯努利大
律
数定律说明， 当试验次数 频率与概率有较大判别的可能性很小， 即 这就
以严格的数学形式描述了频率的稳定性。

辛钦大
数定律
EX，…是相互独立同分布的随机变量序列，且设 X， X，…， = μ，则对
n21
于任意的正数ε有(X)
n

(2) 中心极限定 理 列维－
林德伯
格定理
，…相互独立，服从同一分布，且具有相， X 设随机变量X 同的数学期望
21
和方差： 2???0(k?1)?,2,?)E(X)?D,(X，则随机变量 kkFxx ，有 )对任意的
实数的分布函数( 此定理也称为独立同分布的中心极限定理。

棣莫弗
－拉普 拉斯定 理
X 为具有参数 n, p(0

n

第六章 样本及抽样分布
在数理统计中，常把被考察对象的某一个(或多个)指标的全体称为总体
(或母体)。我们总是把总体看成一个具有分布的随机 变量(或随机向
。
(1)数理统 计的基本概 念．
总体

个体 总体中的每一个单元称为样品(或个体)。

样本
x,x,?,x 称为样本。样本中我们把从总体中抽取的部分样品 n12 所含的样 品数称为样本容量，一般用 n 表示。在一般情况下，总是把样本看成是n 个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量， 这样的样本称为简单随机 样本。在泛指任一次抽取的结果 x,x,?,x 表示 n 个随机变量(样本)；在 具体的一次抽时， n21x,x,?,x 表示 n 取之后，个具体的数值(样本值) 。 我们称 n21 之为样本的两重性。

样本函数和
统计量

x,x,?,x 为总体的一个样本，称设 n21??x,x,?,x?) ( n12??中不包含任何

未知为一个连续函数。如果为样本函数，其中?x,x,?,x)为一个统计量。

(参数，则称 n21

常见统计量
及其性质

?
1 x?.x
n