累积和控制图在企业质量控制中的应用.docx

目 录
中文摘要………………………………………………………………………2
英文摘要………………………………………………………………………2
正文……………………………………………………………………………2
一、引言………………………………………………………………………3
二、休哈特控制图……………………………………………………………3
（一）休哈特控制图原理和缺点……………………………………………3
（二）不合格品率控制图……………………………………………………4
三、累积和控制图…………………………………………………………..4
（一）累积和控制图的发展及使用条件…………………………………..4
（二）累积和控制图原理…………………………………………………..5
（三）累积和控制图参数选取方法………………………………………..8
四、实证分析…………………………………………………………………10
五、结束语……………………………………………………………………14
参考文献………………………………………………………………………15

累积和控制图在企业质量控制中的应用
摘要：休哈特控制图是区分过程中正常波动和异常波动，并判断过程是否处于控制状态的一种工具。但是，常规控制图对生产过程是否异常的判断，是以孤立的一次观测结果为依据的，它对大偏移的检出力极高，对小偏移的检出力却极低。累积和控制图用“平均链长”来控制两类错误，对过程的判断以历次观察结果为依据，对发现过程平均值的突然的微小的变化特别有用。因此，本文将通过对河北省河间市恒泰压铸件厂生产的铸件数据分别应用休哈特控制图分析和累积和控制图来判断生产过程质量特性值是否受控, 从而表明累计和控制图对过程异常有更高的灵敏度，从而显示出它的优越性。
关键词：休哈特控制图，累积和控制图 ，序贯概率比检验，平均链长

Abstract: Shewhart chart is a tool for distincting between normal and abnormal fluctuations in the process and determing whether the process is in control. However, The judgement of the Shewhart chart for whether the production process is normal, is based on the isolated result of the observation. Its Cpacity for detecting large shift is extremely high, but for the small shift is very low. Accumulative sum chart use "average-linked" to control the two types of error, whose judgement for the process is based on the results of previous observations.It is very useful in detecting the sudden tiny changes of the process average. Therefore, according to the data from Hejian Hengtai Die Casting factory ,this paper will use Shewhart chart and Accumulative sum chart to analyze whether the property value of the quality in the production process is controlled.The result will show that Accumulative sum chart has higher sensitivity in the abnormal process, thus demonstrate its superiority.
Key words: Shewhart chart，Accumulative sum chart ，
Sequential probability ratio test ，average-linked

一、引言
在质量管理过程中，可以应用很多技术和方法，其中统计技术是很有价值的一类方法。统计技术作为发现问题、解决问题及质量改进的手段，涉及产品寿命周期的各个阶段和质量管理体系的全过程。应用统计技术对生产和服务过程进行分析，可以及时过程的规律和各种异常状况，确定其原因，从而有助于解决甚至预防由变异所可能引起的问题，使过程持续稳定地提供满足要求的输出，并不断得到改进。
累积和控制图与P图都可以用来检测与控制生产过程中的不合格品率，以达到判别过程是否受控的目的。P图最早由美国休哈特博士提出，并广泛用于控制不合格品率。P图以不合格品率为统计量，其中心线位于平均不合格品率处，控制限一般在中心线两侧加或减3倍的标准偏差处。累积和控制图是英国人佩基在序贯分析的基础上提出，其理论在后来的学者的研究下逐步完善成熟。二者都是ISO9000标准中推荐的树立统计方法，然而累计和控制图对过程异常有更高的灵敏度，具有更高的优越性。但是在实际应用中前者比后者要普及得多。显然，我们对累积和技术的宣传和推广不够。
二、休哈特控制图
（一）休哈特控制图原理及其缺点
休哈特控制图理论基础是“3σ”原理,也就是说在1000个产品中有不超过2.7个不合格品出现,就认为该过程的波动属于正常波动;否则,就认为该过程的波动属于异常波动。当在现场使用时,可以先规定一个时间间隔(如1h, 2h等),按时间间隔抽取样本,测量样本中每个样品的质量特性,计算平均值，然后把计算结果点在控制图上。就这样不断重复,累计到一定数量后，就可以对过程有无异常波动作出判断。若无异常波动,可认为过程受控;若有异常波动,则认为过程失控,这时就需要查找原因,采取适当行动及时纠正,使过程恢复到受控状态。
休哈特控制图主要是利用了最后一个点所包含的过程信息而忽略了整个点子序列的信息,也就是说控制图没有记忆力。当样本均值对其目标值的偏移大于1.5倍标准差时,休哈特控制图的检出效果很好;当样本均值对其目标值的偏移小于1.5倍标准差时,检出效果就不太理想了。
（二）不合格品率控制图（P控制图）
不合格品率控制图用于判断生产过程的不合格品率是否处于或保持在所要求的水平，记为p图。
1.p控制图的控制状态
p控制图的控制状态指过程的不合格品率为一常数P，且各个产品的生产是独立的。
2.p控制图的统计基础
p图的统计基础为二项分布。设样本不合格品率为p，则从数理统计知
μ＝p
σ＝
3.p图的控制界限
中心线CL
上控制界限 UCL +3
下控制界限LCL －3
三、累积和控制图
（一）累积和控制图的发展及使用条件
1.累积和控制图的发展历程
累积和控制图（简称CUSUM控制图）理论基础是序贯分析原理中的序贯概率比检(Sequential Probability Ratio Test)，是一种基本的序贯检验法。CUSUM控制图的设计思想是将样本信息加以累积，将过程的小偏移累加起来，以达到放大的结果，提高检验小偏移的灵敏度。
自从1954年Page提出应用累积和控制图监控工业过程以后,累积和控制图在国际上出现了一股研究热潮。1959年，Barnard提出应用v形块判断过程是否受控。1982年Lucas和Crosier提出了快速初始化反映(FIS)方法。1972年，Brook和Evans提出了累积和运行链长的近似概率分布。1983年，woodall计算了过程参数是己知情况下的运行链长的分布及其各阶矩的计算。1992年，F.F.Gna提出当抽样的观测值服从于指数分布时，单边累积和控制图运行链长的精确概率分布表式. 199l年 Bourke提出了基于连续合格品数的CUSUM控制图。1992年Kaminsky分析了基于几何分布的控制图.1995年Qusenberry提出了控制过程方差的CUSUM Q 图.1998年Shing I.Chang&Thomas R.Samuel提出了使用CUSUM控制图的一种新的方法一控制点方法.2002年James C.Fu用马尔可夫链法计算了CUSUM控制图与EWMA控制图的平均运行长度，并分别给出了运行长度分布.同年AlbertO Luceno &Jaime Puig-pey用高斯方程法算出了运行长度的概率分布和平均运行长度。2004年Johns提出了具有估计参数的累积和控制图的运行链长分布。
2.累积和控制图的使用条件
生产是连续的，按时间次序获得的样本代表了随时间推移的过程质量水平，而且生产过程的质量水平处在一个稳定状态，由于一些异常因素使质量突然发生了变化，那么过程在未调整前就将维持在这一状态，直到采取措施。累积和控制图可用于发现这个突然的变化。
（二）累积和控制图原理
1.累积和控制图理论基础——序贯概率比检验
累积和控制图以序贯概率比检验为主要依据，也就是说累积和控制图的数学原理为序贯概率比检验。
序贯概率比检验是指每次从需要检测的一批产品中抽检一个样本的产品，然后根据过去抽检的各样本的测试结果，比较在两种不同假设H，H时出现上述序贯测试结果的概率，以这两种概率的比值作为判断依据：
远大于1，H成立可能性大。
远小于1，H成立可能性大。
如果两种假设下的概率相差不大，则继续抽检下一个样本，再重复上述过程，直到能明确做出接受H或H的假设为止。
A. wald曾证明，令
A= B=
≥A，接受H。
≤B，接受H。
B<H。上式可以用于建立一个单侧控制图来检测均值的向上移动。如果一个时间序列的独立样本观测值X，X，…，X，服从方差为σ (均值未知)的正态分布，那么上式可以由以下式表示:
①
其中Δ=μ-μ，是两个假定的均值之差或过程均值偏离μ的程度,S是对样本数据偏差的累积和
S=
则式①确定了上下控制线。
如需要检测过程均值在上下两个方向上偏离目标值的情况，则需要用一对单侧累积和控制图来分别检测过程向上和向下的偏离情况。但是仍能保持用一个累积和控制图来检测两种情况。把偏离目标值的情况表示为>和<，犯第二类错误的概率分别为和，第一类错误的概率为α。则中心累积和的上下控制线为:
UCL=
LCL=
其中，。
由于上下控制界限是样本数m的函数，所以上下控制线变为斜线，而不再是水平线，如图一所示。总之，对均值任何向上或向下的偏离和，累积和控制图都适用于存在双侧偏离的过程。
双侧检验的累积和控制图的不同序贯概率比的可接受区间一般的连续抽样的累积和控制图模型如图二所示，图中有三个判断区域来接受相应的假设:H:，H:(＞)，H:(＜)，如阴影部分表示。
当样本累积和落到任何三个区域之一时，就停止抽样。在控制图中，仅仅向外扩张的上下控制线可以用于检测对均值的偏离.

图一 双侧检验的累积和控制图 图二 连续取样区间
3.累积和控制图的特点:
（1）累积和控制图充分利用所有样本信息，对过程平均水平变化反映灵敏。对于过程均值在0.5至2的偏移，累积和控制图测出偏移需要的样本数约为常规控制图的一半，在提高过程监控的质量水平上有很大意义。
（2）累积和控制图与目标值紧密联系在一起，综合控制了过程的统计稳定状态和相关的过程质量指标。
（3）累积和控制图的控制界限兼顾了第一类和第二类风险（和），而常规控制图的控制界限只顾及第一类风险(=0.27%)。
（4）累积和计算简单,便于绘图，很容易在累积和图上观测到质量水平趋于失控时的变化趋势。
（三）累积和控制图参数选取方法
1.基于序贯概率比检验的参数选取方法
在设计累积和控制图时，参数k和h的选取至关重要。根据所要求检测的目的不同，参数选取的方法也不仅仅是一种。由于累积和控制图与序贯概率比检验有着紧密的联系，当随机变量x服从正态分布、二项分布、几何分布、指数分布、泊松分布时，基于序贯概率比检验下，累积和控制图参数k和h的选取方法各不相同。下面主要论述一下当随机变量服从二项分布时参数h和k的选取方法。
用p表示实际过程的不合格率，用p表示过程控制的目标不合格品率（在抽样验收中称p为合格质量水平），用p表示过程的极限不合格品率，p﹤p。p通常用以往若干个合格批获得的不合格品率的平均值给出，p应保证产品质量不超过检验规范的要求，且p与p的比值一般不宜太小，通常在1.5～5之间，否则将会加大每一样本的容量n。
当过程正常时，可以认为每一个x来自参数为n和p的二项分布总体，那么样本（x,x,┅x）出现的概率为：
P=
如果过程在第i+1次开始，参数变为n和p的二项总体，此时样本（x,x,┅x）出现的概率为：
P=
作似然比，L=P/P=,令A≈（1－β）/α，其中α和β分别是犯第一类错误与第二类错误的概率，当L≥A时接受H认为过程异常。
在L两边取对数，得ln(L) ≥ln(A)，通过计算有
≥
取
h= k=n•
2.平均链长以及GB4887-85（计数型累积和控制图）中规定的参数选取方法
平均链长是指对给定的质量水平p，累积和控制图从开始到发出警报为止所抽取的平均样本数。
当过程处于目标质量水平p时表示过程处于受控状态，如果报警则属于误报，用L表示受控过程的平均链长，即在受控状态下，平均经过L次抽样才误发一次警报，这相当于犯第一类错误,这类误报要越少越好，即L越大越好，1╱L即为犯第一类错误的概率。
当过程处于极限质量水平p时表示过程已到失控状态，应该发出警报，用L表示失控过程的平均链长，即平均抽取L个样本就发一次警报，而不发警报相当于犯第二类错误。为及时发现失控L越小越好，1－1∕L即为犯第二类错误的概率。
GB4887-85中有两种常用的L与L的值，一是L≈1000，L≈10，二是L≈200，L≈5。由于L、L与犯两类错误概率的关系，可由L与L制定(h,k),分别为C方案与C方案
C方案与C方案的累积和参数如表一：
表一 C方案与C方案的累积和参数
目标值T
C方案
C方案
参数值
特性值
参数值
特性值
h
k
λ10╱λ1000
h
k
λ5╱λ200
0.1
1.5
0.75
6.5
2
0.25
7.3
0.125
2.5
0.5
4.9
2.5
0.25
6.3
0.16
0.2
3.0
0.5
4.3
2
0.5
5.4
35
0.5
3.8
2.5
0.5
4.8
0.25
4.0
0.5
3.6
3
0.5
4.1
0.32
3.0
1.0
3.5
4
0.5
4.1
0.4
2.5
1.5
3.6
3
1
3.4
0.5
3
1.5
3.0
2
1.5
3.3
0.64
3.5或4
1.5
2.7或2.6
2
2.0
3.2
0.8
5
1.5
2.3
3.5
1.5
2.7
1.0
5
2
2.2
5
1.5
2.5
1.25
4
3
2.2
5
2
2.3
1.6
5
3
2.0
4
3
2.15
2.0
7或8
3
1.8或1.79
5
3
2.10
2.5
7
4
1.73
5
4
1.92
3.2
7
5
1.68
5
5
1.83
4.0
8
6
1.59
6
6
1.70
5.0
9
7
1.51
7
7
1.63
6.4
9
9
1.48
9
8
1.54
8.0
9
11
1.42
9
10
1.49
10.0
11
13
1.37
11
12
1.15
15
16
18
1.28
11
18
1.35
20
20
23
1.24
14
23
1.30
25
24
28
1.21
17
28
1.27

四．实证分析
河北省河间市恒泰压铸件厂生产一种铸件，对其进行质量控制，每小时抽检一个样本，按检验规范的要求，产品的不合格率不超过6.5％，并希望对异常的生产过程能尽快检测出来。
1.针对上述要求，制定一个累积和控制方案：
（1）给出L与L，以确定C或C方案。通常用的L≈10或5，前者用C方案，后者用C方案。由于希望能尽快检测出异常，所以采用方案C。
（2）根据产品的规范给出p与p。在给出这两个参数时要注意p∕p的值不能太大。由于规范要求不合格品率不能超过6.5％，故令p＝5.5%,确定p时，应使p∕p的值不致于过小，根据过去的生产所能达到的较好水平，取p＝3.2%。
（3）当用C方案时，根据p∕p的值，从λ10╱λ1000中找出最接近的比值，从该行对应的T值可确定样本容量n,即n＝T╱p，从而该行对应的h与k即为所求的参数。当用C方案时，则从λ5╱λ200中找出最接近的比值，然后确定n,h,k。在 C方案中找出p∕p＝1.7188最接近的值为1.70，则T=4.0,h=6,k=6.则
n= T/ p=125
2.获取样本数据
笔者于2008年4月25日来到河北省河间市恒泰压铸件厂进行调查,每半小时抽检125个产品，记录其中的不合格品数，结果如下表：
表二 样本数据
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
4
3
2
5
1
7
3
2
4
2
5
3
4
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
7
3
1
4
2
3
7
8
6
8
7
7

3.计算各项指标
(1)计算每个样本的不合格品率
第一个样本不合格品率为p=4/125=3.2%,
其余各个样本不合格品率类推.
(2)计算中心线,上下控制界限
中心线CL ＝3.456%
上控制界限 UCL +3=8.357%
下控制界限LCL －3=0(不能为负)
4.绘制P控制图，并利用P控制图判断生产过程是否处于统计控制状态
(1)利用Minitab绘制P控制图,如下:

图三 不合格品数P控制图
通常我们可以通过观察控制图上的点的分布情况来判断生产过程是否处于统计控制状态，Minitab中有以下几个特殊原因进行检验：
检验 1 一个点距离中心线超过 3-s。检验 1 提供出最强有力的缺乏控制证据。
检验 2 连续 9 个点位于中心线的同一侧。检验 2 评估变异模式是否稳定。
检验 3 连续 6 个点，全部递增或全部递减。检测到一种趋势，或持续上移或下移。此检验查找一长串连续的点，这些点方向不变。
检验 4 连续 14 个点上下交错。这些点说明存在系统变量。变异模式应当为随机，但是当某个点通不过检验 4 时，这说明变异模式可预测。
(2)判断生产过程是否处于统计控制状态：
当样本或点未通过检验时，Minitab 会在控制图中指明检验编号，而控制图中无异常红点显示，而且由控制图可以看出，所有样本点通过了这四项检验，所以认为生产处于统计控制状态。
5.绘制累积和控制图, 并利用累积和控制图判断生产过程是否处于统计控制状态
(1)进行累积和方案的计算
表三 累积和方案的计算
样本序号
不合格品数
对参考值的偏差
偏差的累积和
1
4
－2
－2
2
3
－3
－3
3
2
－4
－4
4
5
－1
－1
5
1
－5
－5
6
7
1
1
7
3
－3
－2
8
2
－4
－4
9
4
－2
－2
10
2
－4
－4
11
5
－1
－1
12
3
－3
－3
13
4
－2
－2
14
7
1
1
15
3
－3
－2
16
1
－5
－5
17
4
－2
－2
18
2
－4
－4
19
3
－3
－3
20
7
1
1
21
8
2
3
22
6
0
3
23
8
2
5
24
7
1
6
25
7
1
7

注：当累积和＜0时，下一次重新计算累积和，当累积和大于h时判断过程异常，需要查找原因，加以校正。

(2)根据以上数据得到累积和控制图，如下：

图四 累积和控制图
(3) 利用累积和控制图判断生产过程是否处于统计控制状态

在上图中可以看到，累积和控制图第25个样本发出“报警信号”，表明过程均值增大，从第20个样本到第25个样本的局部累积和超过了判断定距h，故判断生产过程异常。由于该累积和是从20号样本开始，因此20号样本可能是过程均值增大的起始点。判断过程异常后，应找出过程异常的原因，采取校正，校正后累积和从零开始。
6.结论
比较两图可以看出，累积和控制图第25个样本发出“报警信号”，判断生产过程异常,而P控制图没有任何异象，这进一步证明了累计和控制图充分利用所有样本信息，而休哈特控制图主要是利用了最后一个点所包含的过程信息而忽略了整个点子序列的信息,从而累积和控制图对过程异常有更高的灵敏度，更适合监控过程均值的小偏移.从而显示出它的优越性。另外，累积和计算简单,便于绘图，很容易在累积和图上观测到质量水平趋于失控时的变化趋势。
五、结束语
休哈特控制图和累积和控制图都是有效的质量控制工具, 而且累积和控制图对过程异常有更高的灵敏度。如果在企业中成功地实施了累计和控制图, 在质量控制中将起到更好的预防作用, 从而为提高产品质量, 降低生产成本, 为企业带来丰厚利润, 起到事半功倍的效果。然而累积和控制图在我国企业的质量控制中应用还是非常少的,因此建议政府和企业在推广累积和控制图的使用方面多做努力。

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