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数学课应引发学生的有意“反思”

内容摘要：
《学记》中说：“学然后知不足，教然后知困。知不足，然后能自反也；知困，然后能自强也。”它是我国较早提出反思作用的理论之一。反思是对自己的思维结果进行检验和再认识的过程，学习数学时，会产生形形色色的猜想，萌发各种各样的解题策略。在解题受阻时，需要及时反思，考虑这些猜想、策略的正确性、可行性，以便及时调整方法，少走弯路；在解题失败时，同样要反思寻找失败的原因，以此为鉴，免蹈覆辙；在解题顺利时，更需要对解题过程再审视、再探索，寻找其中蕴涵的内在规律，可以这样说，问题的解决并不意味着解题思维活动的结束，而往往是深入认识的开始，从感性认识到理性认识，反思在其间正是充当了重要的桥梁角色。小至个人，大至国家，都是在不断的反思与总结经验中逐渐成长、壮大，一个人如果在成长过程中善于反思、总结经验、扬长避短，那么他一定比有同样经历的人有更加丰硕的收获。
关键词：反思、思维、有意
学生在表达自己对数学知识的理解过程中需要不断反思，反思是对数学学习思维过程进行回顾性的思索，以获取学习的经验或教训。数学的理解要靠学生自己的领悟才能获得，而领悟又靠对思维过程的不断反思才能达到。反思是不断提高数学理解水平的重要手段。小学生的数学学习是一个思考过程，更是对自己的思维活动和经验的反思过程。在数学教学中注重学生反思能力的培养，有利于学生提高主体意识，自主地进行学习，有效地进行自我教育。所以，教师要充分注重培养学生对数学知识的反思，有意引导学生学会反思、进行反思。
一、在过程中反思，引导数学知识的梳理
认知心理学认为：在学习过程中，不论是难以理解的还是熟练掌握的事实、概念、原理和理论，学习者都能够对其产生一个整合的、符合常识的表征或者解释系统。因此，数学课堂上，在引导学生积极主动地探究知识的形成，进行有意义的建构时，要引导学生回望探究过程。归纳知识规律、梳理数学知识。
1、知识获取过程
荷兰著名数学家和数学教育家费赖登塔尔教授指出“反思是数学思维活动的核心和动力”，事实上，由于新知的未知特性，学生的探究活动往往不是一蹴而就的。这就要求学生在面对波折时能对自己的探究过程进行有意识的回望和反思，随时调整修正自己的探究行为，从而保证探究的纵深进程。例如，《分数化成有限小数的规律》教学中，为了帮助充分体会“最简分数”这一前提的重要性，教师巧妙地安排了这样的探索内容：让学生应用发现的方法判断“，，”三个分数能否化成有限小数，促使学生产生“分母同样是15，为什么，不能化成不限不数，而却能化成有限小数”的困惑，引导他们自觉地对自己的探索过程及探索结论进行反思，从而得到“最简分数”这一重要事实前提，感悟“考虑问题”需全面的探究心得。
2、问题解决过程
一直以来，数学教学都非常关注引导学生“学会学习”。那么，这么多年过去了，我们的学生学会学习了吗真正意义上的学会学习，必然是具有一个核心要素就是“主体反思”。那么缺乏“主体反思”的学习活动，是难以纳入“学会学习”的实质性范畴。于是，作为课堂教学设计者，应该结合教学过程的行进引导学生学会如何反思，要帮助学生整理思维过程，确定解题关键，促使思维条理化、概括化。例如，在新授完毕或学生把问题解答后，通过简单扼要地提问或引导，要求他们回顾解题过程，在反思过程中考虑：（1）回忆解题的方法、过程；（2）概括解题的关键、注意点；（3）改进表达、操作方法；（4）优化解题策略。通过学生的分析、讨论和总结，让解题思路显得自然、有条理。这正是课程标准所要求的“能对知识的学习过程和解决问题的过程进行自我评判和调控”。
二、在错误中反思，进行数学知识的追因
学生做错题目，其原因是多种多样的，有粗心大意看错题目的，有笔误写错数字或符号的，有受思维定势影响而出错的，有考虑不周全而出错的。在实际教学中，教师应把学生的错误当作宝贵的教学资源，引导学生反思一下错题错在哪里？为什么错？然后让学生有针对性的纠错，让错误发挥最大的育人功效。
有一次，学生在完成一道填空题：0.19÷0.03＝6……( )时，大部分学生填的是“1”，针对这一较为典型的错误，我把它作为一个判断题让学生自主探究，先判断答案是否正确，接着追问：“你是怎样发现错误的？”学生在富有启发性问题的诱导下，积极主动地进行探索，很快找到了三种判断错误的方法：
（1） 余数1与除数0.03比，余数比除数大，说明填“1”是错误的。
（2） 余数1与被除数0.19比，余数比被除数大，说明填“1”是错误的。
（3） 验算：6×0.03＋1≠0.19，说明填“1”是错误的。
紧接着，我再带着学生分析，找出正确的余数。由于计算时，被除数和除数同时扩大了100倍，虽然商不变，但余数是被除数扩大100倍计算后余下的，所以余数也扩大了100倍，正确的余数应把1缩小100倍，得0.01。
上面的例子中，我从学生的现实学习中选取错例，充分挖掘错误中潜在的智力因素，提出具有针对性和启发性的问题，创设一个自主探究的问题情境，有意引导学生从不同角度反思问题，让学生在纠正错误的过程中，自主地发现了问题，解决了问题，深化了对知识的理解和掌握。通过反思，培养了学生的发现意识。
三、在方法中反思，增进数学知识的优化
数学理解之所以能从低层次到高层次，关键靠学生主体不断地进行反思和抽象，反思和抽象是不断提高数学理解水平的重要手段。因此，要给学生主动权，不能拔苗助长、急于求成，让学生有时间、有机会对自己的思维活动过程进行反思。例如：教师在引导学生探索和交流“+”算法的基础上，让学生计算+，学生在选择方法的时候，就会反思自己的计算方法，如化小数的方法在这道题时显然是行不通了，学生在反思中比较、择优，真正领悟到“化成分母相同的分数再相加”这种方法的通用性在反思的过程中深化对知识的理解。
学生的反思，教师要做个有心人。如在算法多样化中让学生想一想他人的做法，看看自己的算法，听一听他人的表述，比一比自己的思考，看一看还有没有更好的解法，只有在这种空间中，学生才会不断进步。在课堂教学中，我们经常遇到这种情况，对于同一道题目，不同的学生能运用不同的数学思考方式做出不同的解答。而且他们各执己见，互不相让。这时很多教师会用都对都表扬的方式一带而过，然后进行下一环节的教学。我认为这样做便丧失了一个很好的引导学生反思数学思考过程，帮助学生树立批判优化意识的机会。以应用题“某服装公司买来一批布，如果全部做西装，可做9件，如果全部做西裤，可做18条，如果全部做套装，可做几套？”教学为例：
生1 的解法是：18÷（18÷9＋18÷18），主要采用具体化法，把这批布的数量具体化，假设这批布有18米，再根据“这批布的总米数÷每套服装用布米数＝套数”列出算式。
生2的解法是：1÷（＋），是仿造“工程应用题”的做法，把这批布的总数量看作单位“1”， ＋表示每套服装用布量占这批布总量的几分之几。根据“这批布的总数量÷每套服装用布数量占这批布总数量的几分之几＝套数” 列出算式。
生3的解法是：9－3＝6，2×（18÷9）＝6，是通过观察发现：1件上衣的用料等于2条裤子的用料，用18÷9＝2，我便从9件上衣料中拿出3件上衣换成6条裤子，这样就可以得出这批布共可做6套套装。
多种方法的展现后学生比较、反思，学生发现生1解法的优点是好理解，不足之处是这批布的数量具体化有时不好确定，计算也稍微繁琐一点。生2解法的优点是好列式，不足之处是不太好理解。生3解法的优点是比较巧妙，不足之处是不容易确定拿出几件上衣换裤子。
这样做，有意让学生学会用批判的眼光来剖析自己和别人的思维方式，帮助学生树立了不断批判自我优化自我，相互学习取长补短的意识。
四、在习惯中反思，促进数学知识的巩固
曹才翰先生认为“培养学生对学习过程进行反思的习惯，提高学生的思维自我评价水平，这是提高学习效率、培养数学能力的行之有效的方法”。所以我们要有意让学生每隔一段时间交流和反思自己的学习习惯。
解完一道题后，我们应要求学生对解题过程和运算结果进行自我评判和自我完善，其中包括培养学生检验的习惯。如比较和的大小，可利用“一半>小半”进行比较。这种估值检验是求得近似结果的心算检验，在计算的复查或进行粗略的检验时，估算有时能从反面来判断结果的正误，从而达到检验的目的。又如“一个直角三角形的三条边分别为3cm、4cm、5cm，求这个三角形的面积”，学生在解答时出现了分歧，此时教师引导学生通过画图的方法进行检验。学生就能从直观的图形中得到启发，从而对自己的方法进行反思。
此外，还有代入检验、逆向检验、多解检验、等检验方法。教给学生检验方法后，教师要在平时的教学工作中有意识地引导他们运用方法，自觉复查检验，逐步养成良好习惯。
在学生初步具有了反思检验习惯的基础上，我们还要努力培养学生反思总结的习惯。不仅在做错题目时要进行反思，有些有一定难度的题目，学生解题时初时无从下手，忽而豁然开朗，这时，要反思总结一下，以避免下次再犯同样的错误。反思时，可想一想自己是从哪方面入手的，沿着自己思维的踪迹重温一遍其中运用了什么有用的方法？为什么自己能得出简捷的解答？从而建立知识网络，完善知识结构。在培养学生学会反思、乐于反思、善于反思的过程中，值得重视的一点是教师的主导作用。只有教师有意识地对学生进行指导和训练，才能使学生通过反思逐步改善自己的思维品质，提高思维能力，获得更好的可持续发展。
五、在经验中反思，增加数学知识的积累
这是一节计算教学课。内容是小学数学第九册“小数加减混合运算”，例题如下：
22.58-(6.12+4.03)+ 8.37
=22.58-10.15+8.37
=12.43+8.37
=20.8
计算方法的探究告一段落后，教师提了这样一个问题：“根据经验，你觉得计算过程中可能会出现哪些错误？”不想，这个问题犹如一粒石子，在学生的脑海中激起了千万层浪：
生1：我觉得计算中可能会将“+8.37”漏抄，使计算变得不完整。
生2：我觉得可能会将“22.58-10.15”错算成“12.53”。
生3：我觉得可能会将“22.58-10.15”错算成“11.43”。
生4：我觉得可能会将“12.43+8.37”错算成“4.06”。
生5：我觉得可能会将“12.43+8.37”的结果写成“20.80”。……
不难发现，学生所预见的计算错误，不仅有书写格式上的，也有计算失误上的；不仅有外露表层的错误，更有内敛隐约的错误。那么，学生为什么能如此全面而深刻地揭示计算中可能出现的错误呢？我认为原因很显然，那就是说学生可能具有类似的错误经验积累。这种积累，可能是直接的，来自于自己日以往的计算经验；也有可能是间接的，来自于日常的计算见闻。有经验的教师必然意识到：这种计算经验积累已经成为学生计算观念系统中一个重要的组成部分，并影响着学生的计算活动。更重要的是学生通过反思，真正将自己置于学习主体的位置，从不同角度阐述了自己的个性化想法，有效地训练了学生主体的创新思维。因此，在课堂教学中，教师应创设适当的情境，结合新知探究的过程不时有意引发学生进行基于自身认知经验背景的反思，不但可以促进新知建构的有效实现，而且能在一定程度上张扬学生的学习个性，使学生的创新意识在这样的情境中潜移默化地得以渗透，真正在小学数学课堂中凸现“自主创新”的迷人光彩。
 总之，如果教师在课堂上重视反思，鼓励学生反思，并巧妙地利用反思，定会使数学课堂教学波澜起伏，有助于激发学生学习兴趣，提高学习效率，学生必然乐思、巧思、善思。

参考文献：
1．袁振国：《教育新理念》北京教育科学出版社 2002年版
2．郅庭瑾：《教会学生思维》北京教育科学出版社 2001年版
3．白月桥：《素质教育课程构建研究》北京教育科学出版社2001年版
4．盛群力、李志强：《现代教学设计论》浙江教育出版社 1998年版
5．唐树明《培养学生数学反思能力的教学策略》，《中小学数学》（小学版）