特征方程法求解递推关系中的数列通项62369.doc

云南省2010届高三二轮复习数学专题教案（四十六）
特征方程法求解递推关系中的数列通项
一、（一阶线性递推式）设已知数列的项满足,其中求这个数列的通项公式。
采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.
定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为，则当时，为常数列，即；，其中是以为公比的等比数列，即.
证明：因为由特征方程得作换元则
当时，，数列是以为公比的等比数列，故
当时，，为0数列故（证毕）
下面列举两例，说明定理1的应用.
例1．已知数列满足：求
解：作方程
当时，
数列是以为公比的等比数列.于是
例2．已知数列满足递推关系：其中为虚数单位。当取何值时，数列是常数数列？
解：作方程则要使为常数，即则必须
二、（二阶线性递推式）定理2：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。
若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。
例3：已知数列满足，求数列的通项公式。
解法一（待定系数——迭加法）
由，得

，
且。
则数列是以为首项，为公比的等比数列，于是
。把代入，得
，
，
，

。
把以上各式相加，得
。
。
解法二（特征根法）：数列：， 的特征方程是：。
,
。
又由，于是

故
三、(分式递推式)定理3：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程.
（1）当特征方程有两个相同的根（称作特征根）时，
若则
若，则其中特别地，当存在使时，无穷数列不存在.
（2）当特征方程有两个相异的根、（称作特征根）时，则，
其中

例3、已知数列满足性质：对于且求的通项公式.
解:依定理作特征方程变形得其根为故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有

∴
∴
即
例5．已知数列满足：对于都有
（1）若求
（2）若求
（3）若求
（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？
解：作特征方程变形得
特征方程有两个相同的特征根依定理2的第（1）部分解答.
(1)∵对于都有
(2)∵
∴

令，得.故数列从第5项开始都不存在，
当≤4，时，.
(3)∵∴
∴
令则∴对于
∴
(4)、显然当时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，时，数列是存在的，当时，则有令则得且≥2.
∴当（其中且N≥2）时，数列从第项开始便不存在.
于是知：当在集合或且≥2}上取值时，无穷数列都不存在.
练习题：
求下列数列的通项公式：
在数列中，，求。（key：）
在数列中，且，求。（key：）
在数列中，，求。（key：）
在数列中，，求。（key：）
在数列中，，求。（key：）
在数列中，，且.求.（key：时，；时，）
在数列中，（是非0常数）.求.（key： ()； ）()
8、在数列中，给定，.求.(key:；若，上式不能应用，此时，

附定理3的证明
定理3(分式递推问题)：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程.
（1）当特征方程有两个相同的根（称作特征根）时，
若则若，则其中特别地，当存在使时，无穷数列不存在.
（2）当特征方程有两个相异的根、（称作特征根）时，则，其中

证明：先证明定理的第（1）部分.
作交换
则

①
∵是特征方程的根，∴
将该式代入①式得 ②
将代入特征方程可整理得这与已知条件矛盾.故特征方程的根于是 ③
当，即=时，由②式得故
当即时，由②、③两式可得此时可对②式作如下变化：
④
由是方程的两个相同的根可以求得
∴
将此式代入④式得
令则故数列是以为公差的等差数列.
∴
其中
当时，
当存在使时，无意义.故此时，无穷数列是不存在的.
再证明定理的第（2）部分如下：
∵特征方程有两个相异的根、，∴其中必有一个特征根不等于，不妨令于是可作变换
故，将代入再整理得
⑤
由第（1）部分的证明过程知不是特征方程的根，故
故所以由⑤式可得：
⑥
∵特征方程有两个相异根、方程有两个相异根、，而方程与方程又是同解方程.
∴
将上两式代入⑥式得

当即时，数列是等比数列，公比为.此时对于都有

当即时，上式也成立.
由且可知
所以(证毕)
注:当时,会退化为常数;当时,可化归为较易解的递推关系,在此不再赘述.