福州市高中毕业班文科数学质量检查.docx

2012年福州市高中毕业班质量检查
数学（文科）试卷参考答案及评分标准

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分.）
1．A 2．B 3．D 4．B 5．D 6．C
7．C 8．B 9．A 10．C 11．A 12．D
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）
13． 14． 15．1 16．
三、解答题（本大题共6小题，共74分．）
17．解：（Ⅰ）由已知得，即． 1分
∴　数列是以为首项，以为公差的等差数列． 2分
∵　 3分
∴　（）． 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得， 7分
∴　． 9分
∴　． 12分
18．解：（Ⅰ）事件包含的基本事件为：、、、、、、、、，，共10个． 6分
注：⑴　漏写1个情形扣2分，扣完6分为止；多写情形一律扣3分．
（Ⅱ）方法一：记 “至少有1扇门被班长敞开”为事件．
∵　事件包含的基本事件有、、、、、，，共7个． 9分
∴　． 12分
方法二：事件“2个门都没被班长敞开” 包含的基本事件有
、、，共3个． 8分
∴　2个门都没被班长敞开的概率， 10分
∴　至少有1个门被班长敞开的概率． 12分
19．方法一：由，得（），即（），
∴　函数定义域为． 2分
∵
， 5分
注：以上的5分全部在第Ⅱ小题计分.
（Ⅰ）； 8分
（Ⅱ）令， 10分
得 11分
∴　函数的单调递减区间为． 12分
注：学生若未求函数的定义域且将单调递减区间求成闭区间，只扣2分．
方法二：由，得（），即（），
∴　函数定义域为． 2分
∵
， 5分
（Ⅰ）； 8分
（Ⅱ）令， 10分
得， 11分
∴　函数的单调递减区间为． 12分
方法三：（Ⅰ）∵　，，
∴　． 3分
下同方法一、二．
20．解：（Ⅰ）依题意，点坐标为．　 1分
∵　，点坐标为，
∴　，解得． 3分
∴　椭圆的方程为． 4分
（Ⅱ）过点且斜率为的直线方程为，
即． 5分
方法一：设点、的坐标分别为、，
由消去并整理得，． 6分
∴　， 7分
∴　，
∴　． 9分
∵　直线与轴的交点为，
∴　的面积
． 12分
方法二：设点、的坐标分别为、，
由消去并整理得， 6分
∴　， 7分
∴　， 9分
∵ 点到直线的距离， 10分
∴　的面积． 12分
方法三：设点、的坐标分别为、，
由消去并整理得， 6分
∴　， 8分
∵　直线与轴的交点为，
∴　的面积
．…12分
方法四：设点、的坐标分别为、，
由消去并整理得， 6分
∴　， 7分
∴　，
9分
∵　点到直线的距离， 10分
∴　的面积． 12分
21．（Ⅰ）证明：在菱形中，∵　，
∴　. 1分
∵ ，∴,
∵　平面⊥平面，平面平面，且平面，
∴　平面, 2分
∵ 平面，
∴　. 3分
∵ ，所以平面. 4分
（Ⅱ）连结，设.
由（Ⅰ）知，．
∵　，，
∴　，． 5分
设（）．
由（Ⅰ）知，平面,故为直角三角形．
∴　，
∴　． 7分
当时，取得最小值，此时为中点． 8分
∴　， 9分
∴　， 10分
∴　． 11分
∴ ．
∴　当取得最小值时，的值为． 12分
22．解：（Ⅰ）（）， 1分
由得，；由得，.
∴　在上为增函数，在上为减函数． 3分
∴　函数的最大值为． 4分
（Ⅱ）∵　，　∴　．
（ⅰ）由（Ⅰ）知，是函数的极值点，
又∵　函数与有相同极值点，
∴ 是函数的极值点，
∴　，解得． 7分
经检验，当时，函数取到极小值，符合题意． 8分
（ⅱ）∵　，，，
∵　， 即 ，
∴　，． 9分
由（ⅰ）知，∴ .
当时，；当时，．
故在为减函数，在上为增函数．
∵　，
而 ,
∴　，． 10分
①　当，即时，
对于，不等式恒成立

，
∴ ，又∵ ，
∴　． 12分
②　当，即时，
对于，不等式
．
∵ ，
∴　．
又∵，∴　．
综上，所求的实数的取值范围为． 14分