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发挥数学的内在力量　为学生谋取长期利益
人民教育出版社中数室　章建跃
一、功利化环境下数学教育的问题

当今功利化社会环境下，应试教育占据主导地位，注重考试分数、升学率等眼前利益，忽视理性精神、数学能力和全面发展等长期利益。由于教育观念相对落后，教学方法比较陈旧，导致数学教学中出现诸多问题。例如：数学教学“不自然”，强加于人，对提高学生数学学习兴趣不利；缺乏问题意识，对创新精神、实践能力的培养不利；不重视基本概念、核心数学思想的教学，缺少必须的归纳、抽象、概括活动，对提高学生数学素养不利；重结果轻过程，缺少一以贯之的逻辑思考和数学推理活动，损害数学思维过程的完整性，对提高学生数学思维能力不利；解题教学注重“题型+技巧”，学生机械重复、模仿记忆，缺少独立思考，数学思维发展迟缓，并导致学生数学课业负担过重；等等。这些都与“德育为先，能力为重，全面发展”的要求相违背，对“建设人力资源强国”的战略目标不利，对创造性人才培养更不利。可以说，我们的教育培养出来的是考试“人才”，而不是能够真正解决问题的人才。

如何改变这种现状呢？我认为，还是要从数学教育内部寻找答案。也就是说，只有全面、清楚地认识数学学科独特的育人功能，从数学教育的内在规律出发，充分发挥数学的内在力量，才能使数学在培养人才（特别是创造性人才）中发挥独特作用。

二、数学的内在力量在哪里

数学的力量在哪里呢?首先我们可以从数学先哲们那里获得启发。

公元前68年，希腊哲学家泰勒斯（Thales）提出不能用神秘宗教来解释自然，要创造一个演绎的方法，利用逻辑的思想来统一自然界与几何的现象。这一思想产生了深远的影响。毕达哥拉斯学派认为，宇宙的实体有两个：一个是数字，万物皆数，数的存在是有限方面的实体；一个是无限的空间，空间的存在是无限方面的实体。数字跟空间结合在一起就产生出宇宙万象。19世纪伟大的法国数学家傅里叶说，数学可以用来决定最一般的规律，同时也可以量度时间、空间、温度，所以数学跟大自然一样广泛、丰富，和大自然走的是相同的轨道，也共同见证着宇宙的包容、简洁、稳定。当代最伟大的数学家之一丘成桐先生说，数学的美，使我们与大自然更接近，大自然的美开阔了我们的胸襟，拓展了我们的视野……很幸运的是，自然界的真理往往是极为美妙的。所以从数学的美选择出来的方程、选择出来的图形，往往能够解释大自然里的真理。

先哲们的教导让我们认识到，数学与大自然同构，是探索知识和进行科学研究的最重要工具，不仅能“证明”大自然的规律，而且通过严密的推理还能发现和“预言”大自然的规律。“数学是思维的科学”，因而数学又是一门“关于内心科学”，因此数学是训练学生思维的不可或缺的学科；同时，思维是智力的核心，因此学习数学又是学习者提高智力水平、培育理性精神的康庄大道。

总之，从“数学育人”的角度看，数学教育不仅能培养学生的空间观念、运算能力、思维能力(特别是逻辑思维)等，使学生掌握认识和解决大自然中各种问题的工具，而且能在培育学生的理性精神上发挥不可替代的作用，使学生的内心世界变得更加强大，这就是数学内在力量之所在。

三、数学家的“理性精神”

科学崇尚真理，科学家最讲实事求是，不被表象迷惑，总要“打破砂锅问到底”，不找到现象背后的原因誓不罢休，这就是“理性精神”。但在探寻真理的过程中，数学家的理性精神表现得很独特，他们追究的不仅是大自然的奥秘，而且也是人的内心奥秘，是那种最本源性的、最本质的东西。我们可以看人类数学史、科学史上曾经发生过的事。

微积分本质上是研究运动与变化现象的。例如瞬时速度（瞬时变化率），加速度（变化率的变化率）……它改变了科学的面貌。但自然科学家与数学家由此引发的思想和行动有很大的不同。

物理学家想的是：我还能用“变化率”解释哪些自然现象，得到哪些自然定律？他们由此挖掘到了一座座金矿：热学、声学、光学、流体力学、弹性力学、电学、磁学……乃至现代基本粒子理论。他们的态度是：如果微积分确实有用，我们何必一定要知道它为什么有用呢？

数学家想的问题却全然不同：“变化率的确切含义是什么？”在某一时刻的速度涉及0/0，“这样做，逻辑上可靠吗？”从一般意义上，速度是“物体从此点出发，走了S m，用了t s，那么速度是m/s”，但这样太粗糙了。物理学家和数学家想到的都是“时间间隔要尽可能地小，能取无穷小最好”，但不幸的是，存在着与“无穷小”相联系的难解的逻辑悖论——由此引发了“第二次数学危机”。如果把自己局限于通常词义上的数，那么“无穷小”根本不存在——常人无法理解“无穷小”。于是，消除这种“逻辑悖论”就成了数学家的重要工作。

数学家这样“吹毛求疵”是不是“杞人忧天”呢？不是！应该有人来思考这些问题！试想，桥梁设计师用标准的数学方法设计了一座桥梁，当你驾车行驶在桥上时，如果你被告知“设计师使用的数学方法是否成立还没有得到证明”，你有什么感觉？如果是乘坐飞机又会怎样？在神州飞船上又会怎样？——大概你不敢往下想了吧？

更加重要的是，这些问题的思考和解决，才是数学、人类理性思维乃至社会发展的“原动力”。例如，“矩形面积=长×宽”是一个中外古今熟知且常用的公式，通常人们把它看成“公理”。但古希腊的几何学家不这么看。由于他们把几何学作为理解宇宙的基础学科，所以特别注重几何的严谨性，高度重视其基本概念的明确性和推理论证的严密性。他们在研究定性平面几何的基础上，以直线段长度的度量为起点和基础，研究定量平面几何，其做法是先取定一个单位长，然后把一个给定线段的长度定义为它和单位长之比值。这样，长度度量这个基本概念的关键在于这个比值的明确定义。

公元5世纪前后，古希腊几何学给出的长度度量及相关概念是：

可公度性 两个直线段a，b，如果存在公尺度c和整数m，n，使a＝mc，b＝nc，则称a，b可公度，而a，b的长度比值就定义为分数。

然后他们凭直觉认为“任何两个线段总是可公度的”，并以此为依据、为基石，给出了一系列定量几何基本定理（如矩形面积公式、毕达哥拉斯定理、相似三角形定理等）的证明。

事情果真这样简单吗？当年，毕达哥拉斯学派的门徒Hippasus并不轻信，他对“可公度性”进行了坚持不懈的钻研。他认识到可以用辗转相除法求最长公尺度（就如用辗转相除法求最大公约数），用这一方法他发现，正五边形的边长和对角线是不可公度的，正方形的边长和对角线也是不可公度的。他的伟大发现是人类理性文明的重要里程碑，“有如发现一个理念上的新大陆，它不仅对定量几何学具有根本的重要性，而且对整个自然科学都有深远影响。”遗憾的是，因为这一发现彻底动摇了毕达哥拉斯学派的根基，而使Hippasus命丧同门之手。

不过，“君遗移山志，自有后来人”。为了补正一般不可公度的情形，整个古希腊几何学界经过持续努力，终由Eudoxus开创了影响无比深远广阔的逼近法和逼近原理，这一思想和方法提供了研究和理解Hippasus所发现的新大陆的基础(其本质是“两边夹”，即用可公度线段长度比“逼近”不可公度线段的长度比)。

Eudoxus所创立的逼近法，不但简明地“补正”了当年仅在可公度情况下证明的各种定理和公式，使它们在任意情况下都成立，而且彻底重建了定量几何基础论。同时，他接受了把错误“公设”作为几何论证基础的教训，彻底检查了当时的几何学，使其论证体系尽量达到“至精至简”。后来，欧几里得将这些成果用公理化体系整理成《原本》，使人类理性文明迈向了第一个高峰，并影响至今。

显然，可公度性问题的解决，理性思维发挥着决定性作用，同时也是理性精神的伟大胜利。从实用的角度看，力所能及的准确度之下的微量根本没有实质意义，所以“是否可公度”不是问题，当然也不会有Hippasus这种深深触及空间连续性的发现和历经半个世纪的奋斗结晶而得出的Eudoxus逼近原理和方法论。“这是科学史上极其重要的事件，它很可能标志着数学上严格推理的起源。肯定地说，从希腊人的时代直到今天，它一直深刻地影响着数学和哲学。”（柯朗，什么是数学，72）

永远不把所谓不言自明的定律视为必然，这就是理性精神的最自然而本质的体现。

另外，值得庆幸的是“上帝创造世界，使用的是数学语言”。数学家因为关心数学内部的逻辑可靠性问题而产生的新思想，不仅使数学的根基越来越稳固，而且对数学以外的世界也发挥着根本性的作用。对于观察到的自然现象，我们希望了解它们是如何发生的，为什么会发生，能否预测它们的变化趋势，能否控制它并为我所用等，数学能帮我们做到这些——只要能建立一个相应的数学模型就可以了。

四、如何发挥数学的内在力量

笔者认为，数学教育中，坚持育人为本，提高学生的思维能力、创新意识和实践能力，培育学生的理性精神，提升学生对真与美的感知力的最重要（甚至是唯一）途径是充分发挥数学的内在力量，以数学的抽象之美和无处不在的现实用途吸引学生，建立一门体现学生长期利益与眼前利益完美结合的数学教育科学。具体而言，可以从宏观、中观和微观三个层面来考虑。

（一）让学生系统地思考和解决一些真正的数学问题

宏观上，我们应紧紧围绕“数量关系”、“空间形式”、“数形结合”和“公理化思想”这四条主线，以那些在数学发展进程中产生过重大影响的、有里程碑意义的数学问题为线索和载体组织数学课程，让学生在体会和认识一些数学本源性问题、思考和解决真正的数学问题的过程中，逐渐学会数学地认识和解决问题的方法，提高发现和提出问题、分析和解决问题的能力，培育理性精神。例如：引发某个数学分支创立的基本问题，创立过程中出现的瓶颈，突破瓶颈的关键思想的产生过程，数学分支创立和发展过程的艰辛，数学家在这个创立过程中的伟大贡献和不达目的誓不罢休的精神，以及从直观描述到精确形式化表达的基本过程，经过严格的逻辑推理而形成的概念体系，等等。

以数系扩充为例，正整数与人的直觉一致，天经地义。然而，0、负整数、分数、无理数、复数取得“合法”地位，都经历了一个漫长而曲折的过程。让学生返璞归真地择要经历这个过程对他们理解数学、感受数学研究的“味道”很有好处。至少，我们应该让那些对数学有较浓厚兴趣的、有一定数学天分的学生有机会经历这个过程，实实在在地解决其中的一些典型问题。例如，从自然数到有理数，是为了解决两个方向的需求：

（1）生产、生活实际的需求：作为度量工具的有理数，度量时间、长度、面积、体积等能任意细分的量，需要引进“分数单位”的概念，使数的范围扩充到“有理数”。

问题1 为什么把（m，n是整数）叫做“有理数”？“有理”在哪里？

——因为它的加法和乘法与自然数的加法和乘法有同样的规律！只要我们按如下定义行事

，，，。

在此定义下，就可以证明：自然数的算术基本规律，即交换律、结合律、分配律等都成立。

问题2 为什么不把加法定义为？

——逻辑上允许，但与人类直觉相矛盾；从创造一个恰当的度量工具的要求看，没有意义。例如，，从度量的角度看是不合适的。

（2）数学内部的需求：自然数集中，加法和乘法的“逆运算”不能通行。为此，需要引进符号0以及－1，－2，－3……并定义a＜b时，a－b＝－(b－a)，以及在“使算术运算的运算律保持不变”的原则下，定义(－1)×(－1)＝1。

与引入0和负整数的数学需求类似，分数的引进使得除法消除了障碍：定义符号，称为分数，它服从b×=a（b≠0）。

这样，全体有理数——整数和分数、正数和负数——的纯算术意义就清楚了。在这一扩展了的数的范围内，不仅形式上的运算律成立，而且保证加、减、乘、除的封闭性——这个封闭的数的范围叫做域。

问题3 这个扩充过程的基本思想是什么？为什么不定义为(－1)×(－1)＝－1？

——上述扩充过程，反映了数学推广过程的一个基本思想：使得在原来范围内成立的规律在更大的范围内仍然成立。非常幸运，从自然数到有理数的这一推广，完全满足了用数来表示度量结果的实际需要。

顺便指出，由这一基本思想可见，数学的逻辑性很强，不学加法就不可能学乘法。本世纪之交的数学课程改革因为破坏了数学的逻辑体系，破坏了数学基本概念的逻辑结构，因而导致我国数学教学质量的持续下降。这个教训非常深刻。

在数系的扩充中，复数的引入很有代表性，不仅具有数学的发现和创造过程的典型性，即从数学内部需求出发，创造新的数学概念并发展成一套完备的科学体系；而且，复数的理论作为数学上的纯粹创造，后来在量子力学、流体力学、相对论、应用数学以及系统分析、信号分析等众多领域中都成为不可或缺的基础，这有力地说明了人类理性思维的强大作用。

数学历史表明，复数的引入首先是为了解二次方程。16世纪，意大利数学家卡尔丹在解三次方程时使用了复数。那时，数学家们对复数的意义充满疑惑，并一直想要搞清楚复数的意义。直到19世纪初，高斯给出了复数a+bi（a，b为实数）的几何意义，复数才有了合法地位。循着复数发展的历史，我们可以让学生思考一些“数学味”很浓的问题。例如：

问题1 在数系的扩充中，引进一种新的数，就要定义它的运算；定义一种运算，就要研究它的运算律。对于引进的“虚数单位”i，它服从i2=－1，根据已有的数系扩充理论，要使符号i能像对实数那样进行加、乘运算，它应该有怎样的一般形式？

对于复数a+bi（a，b为实数），根据一以贯之的原则，即“使算术运算的运算律保持不变”，应如何定义关于它的运算？

问题2 在复数范围内，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解的情况如何？

问题3 类比用数轴上的点表示实数，如何对复数作出几何解释（复数的几何表示）？从复数的几何表示出发，联系三角函数、向量等，你能发现和提出哪些问题？得出哪些有用的结论？（复数的模，共轭复数及其性质，复数加法的平行四边形法则，复数的“三角形不等式”，复数的三角表示，等。）

问题4借助于复数的三角表示，联系向量的有关知识，你能提出哪些问题？得出哪些结论？（向量的旋转、伸缩与复数乘法，棣莫弗公式等。）

问题5 借助单位圆，联系三角函数的定义和性质，用棣莫弗公式研究单位根。（在复数范围内，1恰有n个不同的n次方根，它们可以用单位圆的一个内接正n边形的顶点来表示，z=1是其中一个。）

问题6 从复数、三角函数、向量之间的联系性出发，你能发现和提出哪些新问题？

总之，上述问题可以通过类比“自然数——有理数——实数”的扩充过程，从实数及其运算中得到启发，自然地提出如何扩充、扩充后应该研究哪些问题，以及把复数与向量、三角相联系而提出更深层次的问题，等等。显然，如果把高中数学课程中的复数局限在“复数的引入、几何表示以及代数形式的四则运算”，确实是糟蹋了这个内容。因此，我认为高中数学课程应该增加复数内容。

（二）加强认识和解决问题方法的教学

上述宏观的设计，目的在于提高学生的数学素养，发展理性思维，需要通过日积月累的数学知识的学习和应用才能实现。这就要求教师在日常教学中，以数学概念的发生发展过程为载体，使学生经历完整的数学思考过程，包括：明确研究的问题，获得研究的对象，确定研究的内容，选取研究的方法，建构研究的过程，获得研究结论等等。因此，从中观层面看，应当把树立从数学的角度看问题的观点，掌握数学思考的过程与方法，学会数学地认识问题和解决问题等作为数学教学的核心目标。

例1 “三角形”一章的起始课，应注重“研究一个新的数学对象的‘基本套路’”的教学：

（1）界定研究对象，给定义（什么叫三角形）——共同特征的概括（内涵的把握）；

（2）对象（三角形）的表示（包括符号表示、组成要素及记号等）；

（3）分类（如何选择分类标准）——依据本质属性的异同点，选定分类标准（如，单一属性：角的大小；关系属性：边相等；联合属性：等腰直角三角形；等等）；

（4）基本性质（要素之间的基本关系）——边之间的关系（两边之和大于第三边），角之间的关系（三角形内角和为180°）；

（5）相关要素及其性质——高、中线、角平分线、外角等。

例2 一元二次方程求根公式的推导，要注重“如何获得研究的问题”和“将新问题化归为旧问题”的策略的教学：

沿着从特殊到一般、从具体到抽象的思路展开，即从熟悉的方程x2=p出发，经过不断推广而得到一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）；探究解法时，利用“配方法”，把“新方程”化归为已解决的“旧方程”。

例3 正弦定理、余弦定理的获得与证明，要注重“如何发现问题”、“从定性到定量地研究问题”、“将新问题化归为旧问题”、“从知识的相互联系性思考问题”等策略的教学：

（1）初中已经学过“解直角三角形”，对于一般三角形如何解？

（2）全等三角形的“基本事实”——SSS，SAS，ASA告诉我们，三角形的六个要素中，只要知道三个（其中至少有一个是边），三角形就唯一确定。也就是说，其余三个要素可以由这三个要素唯一确定。从定量角度，怎样由这三个要素求出其余三个要素？

（3）能否将解一般三角形的问题化归为解直角三角形问题呢？

（4）对于一个确定的三角形，其外接圆是唯一确定的，因此外接圆的半径可以用三角形的边、角来表示。怎样用三角形的边、角来表示它的外接圆半径？

（5）对于一个确定的三角形，它的高、中线、角平分线、面积等都是唯一确定的，怎样用三角形的边、角来表示它们的度量？

总之，一个三角形包含的各种几何量，如三边的边长、三个内角的度数、面积、外径、内径、高、中线长、角平分线长等，对它们之间存在的各种函数关系的研究中，可以很好地体现出“认识、解决问题的方法”的教学。

（三）让学生解“真正的数学题”

学会解题是学好数学的重要标志，数学概念、定理、法则的理解，公式的灵活运用等，必须通过解题训练来完成，这是数学的学科特点，也是数学教学中更加具体的教学任务。在这个层面上，要特别注重解题的目的，认真思考“解题目，为什么”。一般而言，解题目的应聚焦于：加深理解和掌握双基；学会思考，培养和发展思维能力；查漏补缺；培养良好的学习习惯；培养创造力；等等。而这些目标的实现，根本上还要依靠“好题”。这里，“好题”绝不是当前教辅资料中盛行的那种人为制造的“题目”，而应该是“真正的数学题”。

怎样的题目才称得上“真正的数学题”呢？我认为这样的题目应该满足一些基本条件，例如：反映数学本质，与重要的数学概念和性质相关，不纠缠于细枝末节，体现基础知识的联系性，解题方法自然、多样，具有发展性，表述形式简洁、流畅且好懂，等等。

例如，为什么把≥（a，b＞0）叫做“基本不等式”？这就是一个需要认真思考的真正的数学问题。我们可以从如下角度做出分析：

1．从“数及其运算”的角度看，是两个正数a，b的“平均数”；从定量几何的角度看，ab是长为a、宽为b的矩形面积，就叫做两个非负数a，b的“几何平均”。因此，不等式中涉及的是代数、几何中的“基本量”。

2．有多种等价形式：

代数——涉及两个正数的运算，也就是通过加、减、乘、除、乘方、开方等运算而产生的变化。在对运算结果之间的大小关系比较中就可以得到各种表现形式；

几何——周长相等的矩形中，正方形的面积最大；或者，以a+b为斜边的直角三角形中，等腰直角三角形的高最长；或者，更直观地，等圆中，弦长不大于直径；……

函数——本质上是函数凹凸性的反映。例如，可以直接通过函数，，等学生最熟悉的函数的凹凸性导出公式；或者，利用函数图像的切线（本质上是“以直代曲”），例如，过点(1,1)作曲线的切线，切线方程为，曲线总位于切线的下方，故有，≤。令，代入化简即得重要不等式。

也可以这样考虑：在一个平面内固定一条直线x+y=2A，考察曲线族xy=c（这里c是参数），画个图就可以看出，和给定直线有公共点，且使c取最大值的曲线，是和直线相切于（A，A）的那条曲线，这时c=A2，于是xy≤。

3．证明方法的多样性

从上所述已经表明，“基本不等式”确是与重要的数学概念和性质相关，体现基础知识的联系性，表述形式简洁、流畅且好懂，而且从上述联系性中，事实上也已经给出了证明的各种思路，这些思路与数学的基本概念相关，不涉及太多的技巧。

我们还可以从“平均数”的角度来构造性地证明：

设A=。引进一个量d=，则a=A+d，b=A－d。于是

a b =A2－d 2=，由d≥0容易得到≤。

4．可推广。我们大家都知道有n个正数的几何平均值不大于算术平均值的定理。这个定理的证明方法很多，由此就能培养学生的解题能力，而且能体现创造性。

值得注意的是，n个数（不一定为正）的算术平均是一个重要的最小性质，有广泛的用途，特别是在统计中，就是对于某个未知量x，我们通过测量获得了它的n个观测值xi（i=1，2，…，n）。由于测量误差，这些值会略有不同，那么x取什么值才最可信呢？数学王子高斯的想法是：用x－xi表示观测值xi与理想值x之间的偏差（可正可负），可以把那个使总偏差最小的值作为理想值的最佳估计。数学中，习惯上把(x－xi)2作为不精确性的适当的度量，这样问题就转化为求使的最小值。非常凑巧，这个值恰好就是这n个观测值的算术平均——这是重要的高斯“最小二乘法”的出发点。

数学教学中，训练学生的解题能力很重要，因为它关乎学生是否能进入好的大学，今后是否能够有一个好的前程，但这只是学生的眼前利益。逻辑的规则、抽象的思维、演绎的方法、数与空间结合而生出宇宙万象的观念、欧几里得公理化思想与体系及其体现的以简驭繁观念……这些才是数学之大道，它们与学生的长期利益有更密切的关系。我们要把学生的眼前利益和长期利益结合起来，使学生掌握解题的技巧而成为获取高分的能手，同时，还要用数学内在的力量去感化他们，提升他们的内心修为，实现数学育人的崇高目标。

发挥数学的内在力量，实现数学育人，这是我们的理想。把这样的理想变为现实困难重重，需要广大投身数学教育改革的仁人志士的共同努力。