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1、教 案 第 6次课 章节、名称 第2章 计算机数控系统（CNC） §2.4数控系统的插补原理（一） 教学目的和要求 本次课主要介绍数控系统的插补原理。使学生掌握插补概念及插补计算的方法，掌握逐点比较法直线插补的原理及其递推公式，能够进行直线插补过程的节拍计算。 1、 掌握插补的概念及含义 2、 掌握逐点比较法插补的原理 3、 能推导直线插补的递推公式 4、 利用递推公式计算直线插补的节拍 5、 熟悉直线插补的流程 重点难点 重点：逐点比较法直线插补的原理及相关计算 难点：逐点比较法直线插补的递推公式 教学进程 （含课堂教学内容、教学方法、辅助手段、师生互动
2、时间分配） 教学内容： 1、插补的概念。 插补；插补计算；插补方法的分类； 2、逐点比较法直线插补原理 偏差判别式；Fi,j=XeYj-XiYe 3、直线插补的递推公式 当Fi,j≥0时，Fi+1,j=Fi,j-Ye；当Fi,j<0时；Fi,j+1=Fi,j+Xe； 4、直线插补的四个节拍 位置判别；坐标进给；偏差计算；终点判别 5、直线插补的计算实例 教学方法：课堂讲授、多媒体PPT 辅助手段：动画和图片演示 师生互动：提问，讨论 时间分配：总2学时 作业布置 P71 2-8 主要参考资料 《数控技术》，曹甜东主编，华中科技大
3、学出版社，2008 《数控车床（华中数控）考工实训教程》，吴明友主编，化学工业出版社，2007 课后自我总结分析 从数控机床的实际出发，引出插补的概念；对于直线插补的原理和计算，针对PPT中的相关图表先做简单说明，再在黑板上简单推导，使学生清楚了解直线插补递推公式的来龙去脉，有助于学生对本节内容的掌握，最后用一个计算实例进行巩固，效果较好。 4 讲 稿 第2章 计算机数控系统（CNC） §2.4数控系统的插补原理 一、插补的基本概念 机床数字控制的核心问题之一，就是如何控制刀具与工件的相对运动。加工平面直线或曲线需要两个坐标协调运动，对于空间曲线或曲面则需要三个或三
4、个以上坐标协调运动，才能走出其轨迹。协调的实质上是决定联动过程中各坐标轴的运动顺序、位移、方向和速度。这种协调即是所谓插补。 插补计算机就是对数控系统输入基本数据，动用一定的算法计算，并根据计算结果向相应的坐标发出进给指令。对应于每一进给指令，机床在相应的坐标方向上移动一定距离，从而加工出所需的轮廓形状。实现这一插补运算的装置，称为插补器。 对于插补器有一些最基本的要求： （1） 插补所需的原始数据较少。 （2） 有较高的插补精度。 （3） 进给速度要恒定。 （4） 实现简单可靠，计算机速度快。 根据插补所采用的原理和计算方法，可有许多插补方法，目前应用的插补方法分为脉冲增量插补
5、和数字增量插补两类。 二、逐点比较法插补 逐点比较法的原理就是每走一步控制系统都要将加工点与给定的图形轨迹相比较，以决定下一步进给的方向，使之逼近加工轨迹。逐点比较法以折线来逼近直线或圆弧，运算直观，容易理解，输出脉冲均匀，在两坐标插补的开环步进控制系统中得到普遍应用。 1、逐点比较法直线插补 A（Xe,Ye） P（Xi,Yj） F>0 F=0 F<0 Y X O 如图所示，设直线OA为第一象限直线，起点为坐标原点O（0,0），终点坐标为A（Xe,Ye）,P(Xi,Yi)为加工点。 若P点正好在直线OA上，由相似三角形关系则有 即XeYj-XiYe=0 若P点正
6、好在直线OA上方，由相似三角形关系则有 即XeYj-XiYe>0 若P点正好在直线OA上，由相似三角形关系则有 即XeYj-XiYe<0 令Fi,j= XeYj-XiYe 则有 （1） 如Fi,j=0,则点P在直线OA上； （2） 如Fi,j>0,则点P在直线OA上方； （3） 如Fi,j<0,则点P在直线OA下方。 因此，可将式子Fi,j= XeYj-XiYe作为点P所在区域的判别式，称为偏差判别式。 从上图可以看出，对于起点在第一象限的直线OA，当P点在直线上方时（即Fi,j>0时），应向+X方向进给一步，以逼行该直线；当P点在直线下方时（即Fi,j<0时），应向+
7、Y方向进给一步，以逼近该直线；当P在直线上时（即Fi,j＝0时），即可以向+X方向进给一步，也可以向+Y方向进给一步。一般将即Fi,j>0时及即Fi,j＝0视为一类情况，即Fi,j≥0时，都向+X方向进给一步。对于加工直线OA，根据偏差判别函数值的大小，分别向+X方向、+Y方向进给，当两个方向所走的步数的值与终点坐标值相等时，即停止插补。 对于第一象限直线OA，从起点（即坐标原点）出发，当F≥0时，+X向走一步；当F<0时，+Y向走一步。 如直接按偏差公式计算偏差，需作二次乘法和一次减法。由于在数控加工过程中，每一步都需计算偏差，这样的计算比较麻烦，为此在数控加工中采用递推的方法计算偏差。
8、由于采用递推方法，必须知道开始加工点偏差，而开始加工点正是直线的起点，故F0,0＝0。 下面推导其递推公式。 设在加工点P（Xi,Yi）处，Fi,j≥0,则应沿+X方向进给一步，此时新加工点的坐标值为 Xi+1=Xi+1,Yj=Yj 新加工点的偏差为 Fi+1,j=XeYj-Xi+1Ye=XeYj-(Xi+1)Ye=XeYj-XiYe-Ye 即Fi+1,j=Fi,j-Ye 若在加工点P（Xi,Yi）处，Fi,j<0,则应沿+Y方向进给一步，此时新加工点的坐标值为 Xi=Xi,Yj+1=Yj+1 新加工点的偏差为 Fi,j+1=XeYj+1-XiYe=Xe(Yj+1)- XiYe
9、XeYj-XiYe+Xe 即Fi,j+1=Fi,j+Xe 这样每走一步后新的加工点偏差用前一点加工偏差递推出来。 综上所述，逐点比较法直线插补每走一步都要完成4个步骤（节拍），即 （1） 位置判别 根据偏差值Fi,j大于零、等于零、小于零来确定当前加工点的位置。 （2） 坐标进给 根据偏差值Fi,j大于零、等于零、小于零确定沿哪个方向进给一步。 （3） 偏差计算 根据递推公式算出新的加工点偏差值。 （4） 终点差别 用来确定加工点是否到达终点。若已到达，则应发出停机或转换新程序的信号。一般用沿X和Y坐标方向所要走的总步数J来判别。令J＝Xe+Ye,每走一步则J减1,直至
10、J＝0. 例2-1 设要加工直线OA（见图2-22），其终点坐标为A（5,4），则终点计数值J＝Xe+Ye=5+4=9,加工过程的运算节拍如表2-2所示。 图2-22第一象限直线插补轨迹图 表2-2 逐点比较法直线插补运算节拍 序号 工作节拍 第一拍：位置判别 第二拍：坐标进给 第三拍：偏差计算 第四拍：终点判别 1 F0,0＝0 +ΔX F1,0＝F0,0-Ye=0-4=-4 J=9-1=8 2 F1,0=-4<0 +ΔY F1,1= F1,0+Xe=-4+5=1 J=8-1=7 3 F1,1=1>0 +ΔX F2,1＝F1,1-Ye=1-4
11、3 J=7-1=6 4 F2,1=-3<0 +ΔY F2,2= F2,1+Xe=-3+5=2 J=6-1=5 5 F2,2=2>0 +ΔX F3,2＝F2,2-Ye=2-4=-2 J=5-1=4 6 F3,2=-2<0 +ΔY F3,3= F3,2+Xe=-2+5=3 J=4-1=3 7 F3,3=3>0 +ΔX F4,3＝F3,3-Ye=3-4=-1 J=3-1=2 8 F4,3=-1<0 +ΔY F4,4= F4,3+Xe=-1+5=4 J=2-1=1 9 F4,4=4>0 +ΔX F5,4＝F4,4-Ye=4-4=0 J=
12、1-1=0 以上讨论了第一象限直线插补计算方法，对其他象限的直线，可根据相同原理得到其插补计算方法。表2-3列出了各象限直线L1,L2,L3,L4进给方向及偏差计算公式，其中偏差计算中的Xe,Ye均为绝对值。图2-23所示为第一象限逐点比较法直线插补的程序框图。 表2-3 直线插补计算公式和进给方向 各象限进给示意 线型 F≥0进给方向 F<0进给方向 偏差公式 L1 +ΔX +ΔY F≥0时， F←F-Ye F<0时， F←F+Xe L2 -ΔX +ΔY L3 -ΔX -ΔY L4 +ΔX -ΔY 开始 初始化 Xe,Ye,J F≥0? +Y向走一步 F←F+Xe +X向走一步 F←F-Ye J←J-1 J＝0? 结束 N N Y 位置判别 坐标进给 偏差计算 终点判别 图2-23 第一象限直线插补框图
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