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信息技术与高中数学课程整合下的教学设计分析
北师大大兴附中 闫喜玲
内容提要：
新一轮课程改革的到来，使得教师更加关注如何进行信息技术与数学课程的有机整合，从而提高课堂教学的有效性.本文通过例举高中数学新课程中数学概念、数学命题、数学实验、数学问题解决教学设计案例及设计分析，来说明信息技术对数学教学设计的积极影响、在教学设计中的重要作用.力求对一线数学教师起到抛砖引玉的作用，更好地实现新课程目标.
主题词：信息技术；数学课程；教学设计；教学案例
正文：
一、问题的提出
人类已进入信息时代，以计算机和网络为核心的信息技术的不断发展，正在越来越深刻地改变着我们的生产、生活方式.我国在2003年颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》基本理念中指出：“现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响.高中数学课程应提倡实现信息技术与课程内容的有机整合，整合的基本原则是有利于学生认识数学的本质.高中数学课程应提倡利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容，在保证笔算训练的前提下，尽可能使用科学型计算器、各种数学教育技术平台，加强数学教学与信息技术的结合，鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现.”因此，信息技术与数学课程整合成为高中数学教师必备的教育理念.但是新课改实施以来，信息技术与高中数学课程的整合情况并不乐观，出现了不少误区.笔者认为要改善这种现状首先是教师要更新教育理念，掌握信息技术与数学课程整合的理论；其次是展示与新课程配套的整合理念下的教学设计案例，供一线教师思考、借鉴，从而提高数学教师信息技术与数学课程整合的水平.
二、教学设计的案例与分析
1.数学概念教学设计的案例
数学概念是数学学科的基本内容，掌握数学概念不仅仅在于能简单地将数学概念表述出来，而是真正理解概念的内涵和外延，表现为能对数学对象进行识别和归类.奥苏倍尔指出:“学习的实质是具有内在逻辑结构的新材料与学习者原有的认知结构发生相互作用，从而在学习者的头脑中获得意义的过程”.概念形成过程是学习者在对客观事物的反复感知和进行分析、类比抽象的基础上完成的.而信息技术的应用不仅可以为概念学习创设生动贴切的学习背景、还能提供必要的学习活动，让学生“经历”概念产生和发展的全过程，把抽象的数学概念变成具体的直观形象.
[案例1]“二面角”概念的教学设计
[设计意图] 要突破二面角概念教学的难点，就要加强新旧概念的辨析设计.学生在刚学习一个新概念时，往往要同自己头脑中已有的概念相联系，而原有的概念在内涵上又与所学概念有所区别，因此要善于与原有概念进行对比，来完成对新概念本质属性的把握.利用数学教育软件的动态图象功能可以将新概念同旧概念放在一起对比分析它们的异同，剔除概念的非本质属性，符合学习的最近发展区原则.
[具体设计] （1）展示课件，提出问题.两个平面的位置关系有哪些？是不是所有的相交平面都一样呢？如果不一样，我们怎么区分呢？（2）分组讨论，自主探究.学生汇报结果：两个相交平面的相对位置是由这两个平面所成的“角”来确定的.这时，教师利用多媒体课件展示两个平面相交的不同情况，并展示生产实践中例子：修筑水坝及发射人造地球卫星中两个平面的位置关系.有许多问题也涉及到两个相交平面所成的角，请同学们举几个例子（以此来形成概念的感性认识）.（3）类比分析，形成概念.由学生回忆初中平面几何中角的定义、角的构成. 类比之下，你能找一个量来反映两个平面的相交情况吗？教师利用几何画板课件同步转动平面中的角及二面角，给学生以直观感受，启发学生思考如何定义二面角.利用电脑的动态功能展示不同角度的二面角，继续思考二面角的大小如何刻画，二面角的平面角如何定义，学生相互补充完成二面角及二面角的平面角的学习.
2.数学命题教学设计的案例
所谓数学命题教学，主要指数学的性质、法则、公式、公理、定理等教学.数学命题的教学不仅要学生理解和掌握数学命题本身，而且要在学习和应用这些命题的过程中发展自己的数学认识结构，形成数学思想方法.但是教材往往略去了数学的发现过程，掩盖了数学思维活动的本质特征.利用信息技术教学可以还原数学思维活动的过程，为学生学习数学命题、形成数学思想方法提供有力的支持，可以为学生参与抽象和概括这些数学命题的过程创设必要的学习情境，可以组织有效的数学活动使学生通过自己的观察、探索和与他人的讨论、协作，体验数学命题得出的过程.
[案例2]指数函数的性质的探究
[设计意图] 在传统的指数函数性质的教学中，通常只作出两个或有限几个特殊函数的图象，让学生观察归纳函数的性质.在这样的教学中，学生的学习过程比较被动.“能借助计算机或计算器画出具体函数的图象，探索并理解函数的性质”已是《数学课程标准》的明确要求.在信息技术营造的认知环境下，教师可以利用数学软件强大的作图功能，引导学生自己作图，并随意地取底数a值，充分地体验函数的任意性.在这个过程中，学生可以清楚地看到底数a是如何影响并决定着函数的性质的，学生会自觉地运用分类讨论思想总结性质，这就是信息技术的优势.
[具体设计] (1)创设情境，提出问题.我们已经知道了指数函数的定义，那么我们如何来探究它的性质呢？请大家利用《几何画板》作出以底数a为参数的指数函数y=ax的图象.指导学生动手操作:打开图表菜单，建立坐标系；在x轴负半轴画一点C；过点C作x轴的垂线；在垂线上作一点A；度量出点A的纵坐标，改标签为a=，在x轴上画一点E；度量出点E的横坐标，改标签为x=；计算ax，然后选择x=和a=，单击“图表”菜单中“绘制(x,y)”出现点F；同时选择点E和F，再单击“作图”菜单中“轨迹”，从而作出以底数a为参数的指数函数y=ax的图象.（2）设疑引入，产生冲突.当你沿垂直方向拖动点A时，实质上是改变了指数函数y=ax中a的值，那么在拖动的过程中，你观察到了什么?
学生探究结果:①当a>l时，指数函数的图象在R上是增函数，图象的底部与x轴无限接近，并随a值由小变大图象向上逐渐向Y轴靠拢，但都过点(0,1)点.②当a=1时，指数函数的图象退化成一条平行于x轴且在x轴上方一个单位处的直线.③当0l和0为倒数时对称.在同一坐标系中，计算，改标签为b=，即b与a互为倒数；计算bx，先后选择x=和bx，单击“图表”菜单中“绘制(x,y)”，出现点G；同时选择点E和G，再单击“作图”菜单中“轨迹”，作出指数函数y=bx的图象.两函数的图象在同一屏幕呈现，并能随学生的操作而同时动态变化，但两者的对称性却保持不变.当学生发现自已合理的猜想在计算机中得到验证后，立刻能体验到成功的喜悦并产生了继续探索的强烈愿望.
3.数学实验教学设计的案例 
美国著名数学家G·波利亚曾经指出:“数学有两个侧面，一方面是欧几里德式的严谨，从这个方面来看，数学象是一门系统的演绎科学；但是另一方面，在创造过程中的数学更象是一门实验性的归纳科学”.数学建构主义学习就是倡导在实践活动中学习数学，通过“做”学习数学.而几何画板和超级画板正是中学生做数学的一个理想的虚拟实验室，通过观察、实验、类比、归纳、抽象等让学生体会数学化和再创造，激发学生好奇心，培养学生动手操作、分工协作能力和建模应用意识，发展数学思维的灵活性、批判性和创造性等思维品质.
[案例3]函数 的图象
[设计意图 课标中指出“教师应帮助学生在自主探究和合作交流的过程中，真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动的经验”.这节课设计成每个学生亲自上机实验，动手画图象、变换图象，从“形”到“数”完成函数图象变化规律的探究使得传统教学的难点通过数学实验而变得容易起来.[具体设计]（1）创设情境、提出问题.探讨图象变换过程中参数对图象影响及两种不同图象变换方式与平移量的关系.（2）直觉猜测、合情推理.先探究A的变化对正弦曲线的影响.引导学生结合Z+Z三角平台作图功能设计解决问题的方案，由特殊到一般.学生人手一机作图观察这三个函数的图象，说出相同点和不同点.如何从图象“形”上的定性分析上升到用 “数”定量刻画，以此揭示曲线上点的规律呢？ （3）主动探索，合作交流.从图象上点的变化规律可以归纳得出图象变换规律吗？教师上机度量图象上点的横坐标相同时，点的纵坐标的倍数关系. 从“数”上分析，这三个图象的周期都是，当曲线的横坐标相同时，它们的纵坐标成倍数关系. 使学生进一步体会数与形的统一.再利用动画功能演示图象的连续变换过程，从抽象分析到直观感受加深学生对变换规律的理解.（4）回顾展望，归纳小结.由特殊回到一般情况，函数的图象如何由正弦曲线变换得到.学生归纳：一般地，函数的图象，可以看作把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当0动、作图、度量功能上机实验，得出变换规律，感受错误原因.明确图象水平变换中伸缩和平移只是针对横坐标一个x而言的，变换的主体只和x一个量有关.
4.数学问题解决教学设计的案例
问题是数学的心脏，数学知识、思想、方法、观念都是在解决数学问题的过程中形成和发展起来的.美国著名数学家波利亚曾指出如果一个教师“给他的学生以适合他们认知水平的问题去引起他们的好奇心,并用一些吸引人的问题来帮助他们解题,他就会引起学生们对独立思考的兴趣并给他们一些方法”.因此，数学教学设计的一个重要任务就是要创设出一个(或一组)问题，把数学教学过程组织成为提出问题和解决问题的过程.而信息技术不但可以快捷、形象提供问题情境，而且在分析问题、解决问题过程中能发挥其特有的作用.
[案例4] 直线与圆的位置关系
[设计意图] 求圆的切线方程是直线与圆的关系中重点问题，以往的教学中教师只能静止展示直线与圆的位置关系，而利用信息技术能深刻揭示问题本质，形成真正意义上的知识建构.
[具体设计] （1）回顾引入、引出问题.引导学生完成人教A版必修2第133页B组第 5题，然后设计出一个题组加深对切线方程的理解.问题1 ：求过圆上点P(3,4)与圆x2+y2=25相切的直线方程（3x+4y=25），与圆方程对比，你发现了什么规律？ 问题2：求过圆上一点A(x0,y0)和圆x2+y2=r2相切的直线方程(x0xy0y= r2).问题3：过圆外点P(-4,-6)作圆x2+y2=25的两条切线，切点为A、B，你能猜想出直线AB的方程吗？（3）观察图形，揭示问题.缺少几何直观，学生很难凭想象猜想出正确结论.而几何画板的动态功能恰好为学生思维的推进搭建了平台.通过观察点P的运动引起的直线运动，学生会发现当点P在圆外无限接近圆时，过两切点A、B的弦所在的直线无限接近圆的切线.于是学生自然猜想到过圆的两个切点A、B的直线方程为-4x-6y=25.（4）理论推导，验证结论.那你能证明你的猜想正确与否吗？学生经过思考纷纷提出了自己的证明思路.有的学生会类比书上133页第5题第3问两圆相减的方法快速解出方程-4x-6y=25.推广到一般情况：点P（x0,y0）是圆x2+y2=r2外一点，过点P作圆的切线，求证：过两个切点的弦所在的直线方程是x0x+y0y= r2（可留作作业）.
以上案例是笔者教学实际中用过的教学案例.信息技术是新课程教学必不可少的工具之一，在教学设计中要充分考虑媒体的选择和使用，使它更好地为数学的教与学服务.信息技
术的使用不是要代替传统的教学工作,而是要发挥信息技术的优势，更好地组织数学课堂教学，加强学生对数学的理解和更为直观的体验.
参考文献
[1]严士健，张奠宙，王尚志等.《数学课程标准解读》.江苏教育出版社，2004
[2]溪定华．《数学教学设计》．华东师范大学出版社，2003
[3]何克抗.信息技术与课程深层次整合的理论与方法.教育技术通讯，2005，（1）
[4]陶维林.几何画板新版特色与实用技巧.清华大学出版社,2003.
[5」张景中,彭翁成.《动态几何教程》. 北京科学出版社,2007