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2023 年新高考数学选填压轴题汇编 (九)
一、单选题
1. (2022 · 江苏 · 盐城市第一中学高三阶段练习 )f(x) 的定义域是 0,+∞ ，其导函数为 fp (x)，g(x) 其 导数为 gp (x)，若 gp (x) = 且 f(e) = e2 (其中 e 是自然对数的底数)，则 ( )
A. g(2) < g(1) B. g(3) < g(4) C. fp (e) = 0 D. f(x) - ex ≤ 0

2. (2022 · 江苏 · 盐城市第一中学高三阶段练习 ) 已知函数 f x = ln |x - 2 |+ 1 - x2 - 4(1)x + 5，则 f -1 、 f e2 、f 2e 的大小关系是 ( )
A. f -1 < f 2e < f e2 B. f -1 < f e2 < f 2e
C. f e2 < f -1 < f 2e D. f 2e < f e2 < f -1
3. (2022 · 河北沧州 · 高三阶段练习) 已知双曲线 a(x)2(2) - b(y)2(2) = 1 a >0,b >0 的左、右焦点分别是 F1 ,F2，过点 F1 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B 两点，现将平面 AF1F2 沿 F1F2 所在直线折起， 点 A 到达点 P 处，使 二面角 P - F1F2 - B 的平面角的大小为 30∘，且三棱锥 P - BF1F2 的体积为 6(1) a2 c，则双曲线的离心率为 ( )
A. 2 B 3 C. 2 D. 5
4. (2022 · 河北 · 石家庄二中实验学校高三开学考试 )f x 的定义域为 R，且 f x + y + f x - y = f x f y ，
f 1 = 1，则 2022f(k) = ( )
k=1
A. - 3 B. - 2 C. 0 D. 1

5. (2022 · 河北 ·石家庄二中实验学校高三开学考试) 若实数 m，n，p 满足 m = 4e 5(3)，n = 5e 3(2)，p = 则 ( )
A. p < m B. f(x) 在区间 (0, 2(π) (上单调递增
C. f(x) 有 3 个零点 D. ∀ x ∈ (0,2π )，|f(x)| ≤ 2lnπ
7. (2022 · 河北保定 · 高三阶段练习) 如图，某几何体的形状类似胶囊， 两头都是半球， 中间是圆柱， 其中圆柱的 底面半径与半球的半径相等 (半径大于 1 分米). 若该几何体的表面积为 12π 平方分米，其体积为 V 立方分
米，则 V 的取值范围是 ( )

A. ( 4 3π ( B. ( 4 3π C. (4π ( D. 4π (
8. (2022 · 河北保定 · 高三阶段练习 ) 不等式 x 2 - 4x + m ≤ 0 的解集为 {x ∣ a ≤ x ≤ b{，其中 0 < m < 4，则

10a2b + 4b 1-4a 的最小值为 ( )

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1
A.
2

1
B.
4

1
C .
6

1
D.
8

9. (2022 · 重庆八中高三阶段练习) 若 sin10° = 3tan10 ° - 1 ⋅ sin α - 20° ，则 sin 2α + 50° = ( )

1
A.
8

1
B. -
8

7
C . -
8

7
D.
8

10. (2022 · 重庆八中高三阶段练习) 若函数 f(x + 1) 为奇函数，且在 [0,2) 上单调递增，则下列函数在 (-1,0) 上 一定单调递增的是 ( )
A. y = f(x - 1) B. y = f(1 - x) C. y = f(2x + 1) D. y = f(-x - 1)
11. (2022 · 重庆巴蜀中学高三阶段练习 ) 已知函数 f(x) = x3 - 3x2，若过点 P(2,t) 可以作出三条直线与曲线 f
(x) 相切，则 t 的取值范围是 ( )
A. (-2,-1) B. (-3,-2) C. (-4,-3) D. (-5,-4)
12. (2022 · 重庆 · 高三阶段练习) 若x，y ∈ (0,+∞)，x + lnx = ey + siny，则 ( )
A. ln(x - y) < 0 B. ln(y - x) > 0 C. x < ey D. y < lnx

13. (2022 · 海南华侨中学高三阶段练习) 若正实数 x、y 满足 x + y = 1，且不等式 x 1 + y(1) < m2 + 2(3)m 有解， 则实数 m 的取值范围是 ( )．
A. m < -3 或 m > 2(3) B. m < - 2(3) 或 m > 3 C. - 2(3) < m < 3 D. - 3 < m < 2(3)
14. (2022 · 辽宁 · 本溪满族自治县高级中学高三阶段练习 ) 已知函数 f x =〈则不等式 f x > 0 的解集为 ( )

A. -∞,0 ∪ 1,+∞
C. 1,+∞

B. -∞,1
D. -∞,0


15. (2022 · 辽宁 · 本溪满族自治县高级中学高三阶段练习 ) 已知函数 g(x) = 3sin (ωx + φ)，g(x) 图像上每一点 的横坐标缩短到原来的 2(1)，得到 f(x) 的图像， f(x) 的部分图像如图所示， 若 AB(—今)⋅ BC(—今) = |AB(—今)|2，则 ω 等于 ( )

A. π B. π C. π D. π 12 6 4 2
二、 多选题
16. (2022 · 江苏 · 盐城市第一中学高三阶段练习) 已知函数 f(x) = ex，g(x) = lnx，下列结论正确的是 ( )
e
A. 函数 y = f(x) - g(x) 在 (0, 1 (上单调递减
B. 函数 y = f(x) - g(x) 的最小值为 2
C. 若 P，Q 分别是曲线 y = f(x) 和 y = g(x) 上的动点，则 |PQ| 的最小值为 2
D. 若 f(x) - g(mx) ≥ (m - 1)x 对x ∈ (0,+∞) 恒成立，则 0 < m ≤e
17. (2022 · 江苏 · 盐城市第一中学高三阶段练习 ) 已知函数 f x ,g x 的定义域为 R,gp x 为 g x 的导函数， 且 f x + gp x - 5 = 0，f x - gp 4 - x - 5 = 0，若 g x 为偶函数，则 ( )
A. f 4 = 5 B. g 2 = 0 C. f -1 = f -3 D. f 1 + f 3 = 10
18. (2022 · 河北沧州 · 高三阶段练习) 已知 a,b ∈ R，e 是自然对数的底， 若 b + eb = a + lna，则 b(a) 的取值可以是 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
19. (2022 · 河北 · 石家庄二中实验学校高三开学考试 ) 已知数列 {an {满足a2 = 3,an ⋅ an+1 = 3n n ∈N* ,Sn 为数 列 {an {的前 n 项和，则 ( )
A. {an {是等比数列 B. {a2n{是等比数列
C. S2022 = 2 31011 - 1 D. {an {中存在不相等的三项构成等差数列
20. (2022 · 河北 · 石家庄二中实验学校高三开学考试 ) 已知函数 f x = x x- 1 - 2x x >1 ，g x = x x- 1 - log2x x >1 的零点分别为 α，β，给出以下结论正确的是 ( )
A. α + β = αβ B. α + 2α = β + log β C. α + β > 4 D. α - β > -2 2
21. (2022 · 河北 · 高三阶段练习 ) 意大利著名数学家莱昂纳多 · 斐波那契 (Leonardo Fibonacci) 在研究兔子繁 殖问题时， 发现有这样一列数： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，⋯，该数列的特点是： 前两个数都是 1，从第三 个数起， 每一个数都等于它的前面两个数的和， 人们把这样的一列数称为“斐波那契数列” . 同时，随着n
趋于无穷大， 其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割 52- 1 ≈ 0.618，因此又称“黄金分割数列”， 其通项公式为 an = 15 (1 +2 5 (n - (1 -2 5 (n ，它是用无理数表示有理数数列的一个范例 . 记斐波那
契数列为 {an {，其前 n 项和为 Sn，则下列结论正确的有 ( )

1010
A. a = a
2k 2021

B. S = 29a 13 8

k=1

C. 灣2000(ak+2ak - ak(2)+1 ( = 0 D. Sn = an+2 - 1

k=1
22. (2022 · 河北保定 · 高三阶段练习) 若对任意的 i,j ∈N * 且 i≠ j，总存在 n ∈N *，使得 an = ai ⋅ aj (i + j ≤ n (，则 称数列 {an {是“Ω 数列” .( )
A. 至少存在一个等比数列不是“Ω 数列”
B. 至少存在两个常数列为“Ω 数列”
C. 若 {an {是“Ω 数列”，则 {an + 1{也是“Ω 数列”
D. 对任意的 a ∈ N，〈n a〈总是“Ω 数列”
23. (2022 · 重庆八中高三阶段练习) 已知 O 为坐标原点， P 为 y 轴上的动点， 过抛物线 C:y2 = 2px(p > 0) 焦点 F 的直线与 C 交于 A,B 两点，其中 A 在第一象限， Q(2p,0)，若 |AF | = |QF|，则 ( )
A. |QA| > |QF|
B. |BF | = |OB |
C. 当 PA(—今)⋅ PB(—今) = 0 时，P 的纵坐标一定大于
—今 —今
2p
4
D. 不存在 P 使得 PA⋅ PB = -p2
24. (2022 · 重庆八中高三阶段练习 ) 已知函数 f(x) = ax2 - ex 有两个极值点 x1 与 x2，且 x1 < x2，则下列结论正 确的是 ( )
A. a < 2(e)
B. 0 < x < 1 1
D. x1ex2> 1
C. - 2(e) < f (x1 ( < -1
25. (2022 · 重庆巴蜀中学高三阶段练习) 已知 A,B 是 △ABC 的两个内角，满足 A+ B < 2(π)，下列四个不等式中 正确的有 ( )
A. sinA + sinB< 2 B. cosA + cosB> 1 C. tanAtanB< 1 D. tanA + tanB + tanC> 0
26. (2022 · 重庆巴蜀中学高三阶段练习) 已知函数 f(x) = 2sinx - xcosx - x,f, (x) 是 f(x) 的导函数， 下列命题 正确的有 ( )
A. f(x) ≤ x,∀ x ∈ 0, 2(π) 成立
B. f(x) ≥ 0,∀ x ∈ 0, 2(π) 成立
C. f, (x) 在 (0,π ) 上有两个零点
D. “a ≤0”是“f(x) ≥ ax,∀x ∈ 0, 2(π) 成立”的充要条件
27. (2022 · 重庆 · 高三阶段练习) 在三角函数部分， 我们研究过二倍角公式 cos2x = 2cos2x - 1，实际上类似的还 有三倍角公式，则下列说法中正确的有 ( )
A. cos3x = 4cos3x - 3cosx
C(B).(.) 给(存)定(在)正( |x)整(|≤)数(1)n，(时)若(，使)|且 灣nxi(3) = 0，则 |灣nxi |≤ 3(n)
D. 设方程 8x3 - 6x - 1 = 0 的三个实数根为x1，x2，x3，并且 x1 < x2 < x3，则 2 (x3(2) - x2(2)( = x3 - x1
i=1 i=1

28. (2022 · 重庆 · 高三阶段练习) 已知点 P 为正方体 ABCD - A1B1C1D1 内及表面一点，若 AP⊥ BD，则 ( )

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e
e
D. ln3 < 3
A. ln2 > 2
B. ln3 < 3
lnπ π

A. 若 DP⎳ 平面 AB C 时，则点 P 位于正方体的表面 1
B. 若点 P 位于正方体的表面，则三棱锥 C - APD 的体积不变
C. 存在点 P，使得 BP⊥ 平面 B CD 1 1
D. AP(—字)，CD(—字) 的夹角 ∈
29. (2022 · 海南华侨中学高三阶段练习 ) 设定义在 R 上的函数 f (x (满足 f (x + y (f (x - y ( = f2 (x ( - f2 (y (，且 f (1 (≠ 0，则下列说法正确的是 ( )
A f (x (为奇函数
B. f (x (的解析式唯一
C. 若 f (1 ( = 2，f (2 ( = 0，则 灣10 f (i ( = 0
D. 若 x > 0，f (x (> 0，则 f (x (在 R 上是增函数
i=3

30. (2022 · 海南华侨中学高三阶段练习) 已知 e 是自然对数的底数，则下列不等关系中不正确的是 ( )
e
C. lnπ > π

31. (2022 · 辽宁 · 本溪满族自治县高级中学高三阶段练习) 已知函数 f (x (的导数 f, (x (满足 f (x (+ (x + 1 (f, (x (
> 0 对 x ∈R 恒成立，且实数 x，y 满足 (x + 1 (f (x ( - (y + 1 (f (y (> 0，则下列关系式不恒成立的是 ( )
1 1
A. x3 + 1 < y3 + 1
B. ex < ey
D. x - y > sinx - siny
C . x < y
ex ey
32. (2022 · 辽宁 · 本溪满族自治县高级中学高三阶段练习 ) 在 △ABC 中，角 A,B,C 所对边长为 a,b,c，A = 3(π) ， 角 A 的平分线 AD 交 BC 于 D，且 AD = 2，则下列说法正确的是 ( )
A. 若 c = 2，则 BD = 6 - 2
B. 若 c = 2，则 △ABC 的外接圆半径是 2
C. 3bc = b + c
3
D. bc ≥ 16

三、填空题
33. (2022 · 江苏 · 盐城市第一中学高三阶段练习) 已知函数 f(x) = 2ln(ax + b),(a,b ∈R)，若直线 y = x 与曲线y = f(x) 相切，求 ab 最大值 _____________.
34. (2022 · 河北沧州 · 高三阶段练习) 已知函数 f (x ( = (ex(x) (2 + (a - 2 ( ex(x) + 2 - a 有三个不同的零点x1，x2，x3， 其中 x1 < x2 < x3，则 (1 - x1ex1 (2 (1 - x2ex2 ((1 - x3ex3 (的值为 ________．
35. (2022 · 河北 · 石家庄二中实验学校高三开学考试 ) 已知函数 f (x ( =〈-|(x-(x6x-1-|, 若关于 x 的方程 [f (x ( [2 + (2a - 1 (f (x (+ a2 - a = 0 有 5 个不同的实数根，则 a 的取值范围为 ___________.
36. (2022 · 河北 · 高三阶段练习) 如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 为菱形， PD ⊥ 底面 ABCD，AC ∩ BD = O，若 PD = 2 3，∠PAD = ∠BAD = 3(π)，则三棱锥 P - COD 的外接球表面积为 __________

_ .

37. (2022 · 河北保定 · 高三阶段练习) 已知定义在 0,1 ∪ 1,2 上的函数 f x 满足 f x + f 2 - x = 0，且 f x 在 0,1 上单调递增 . 当 x ∈ 1,2 时， f x = 2(5) lnx + ax(1) - ax + a(a > -1，a ≠ 0)，则 a 的取值范围是 _
__________ .
38. (2022 · 重庆八中高三阶段练习 ) 已知实数 m,n 满足： m ⋅ em = (n - 1)ln(n - 1) = t(t > 0)，则 m() 的 最大值为 ___________.
2 2
39. (2022 · 重庆巴蜀中学高三阶段练习 ) 已知 0 < A < π ,0 < B < π ,2sinA =cos(A + B)sinB，则 tanA 的最
大值为 ___________.
40. (2022 · 重庆 · 高三阶段练习) 已知矩形 OABC 中， O 为坐标原点， 点 A 在 x 轴上， 点 C 在 y 轴上， B 的坐标 为 (10,5)，点 P 在边 BC 上，点 A 关于 OP 的对称点为 A,，若点 A, 到直线 BC 的距离为 4，则点 A, 的坐标可 能为 ________．
41. (2022 · 海南华侨中学高三阶段练习 ) 已知函数 f x = x(x-)2(1)|-(,) 若方程 f2 (x) + bf(x) + 2 = 0 有 8 个相异的实数根，则实数 b 的取值范围是 _________________________ ．
42. (2022 · 辽宁 · 本溪满族自治县高级中学高三阶段练习 ) 某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进
单位， 制作了一批奖杯， 奖杯的剖面图形如图所示， 其中扇形 OAB 的半径为 10，
∠PBA = ∠QAB = 60∘ ,AQ = QP = PB，若按此方案设计， 工艺制造厂发现， 当 OP
最长时， 该奖杯比较美观， 此时 ∠ AOB = ______________________
_
．

43. (2022 · 辽宁 · 本溪满族自治县高级中学高三阶段练习 ) 已知函数 f x = 3(1) ax3 - 2x2 + cx 在 R 上单调递增， 且 ac ≤ 4，则 |sinx |+ | s in(ac)x | 的最小值为 ________．
44. (2022 · 河北 · 高三阶段练习) 已知抛物线 C：y2 = 2x 的焦点为 F，过 F 的直线 l 交抛物线为 A、B 两点， 点P 为准线与 x 轴的交点，则 △PAB 面积的最小值为 ___________.
45. (2022 · 河北 ·石家庄二中实验学校高三开学考试) 在 △ABO 中，OA = OB = 1，∠AOB = 3(π)，若 OC 与线段 AB 交于点 P，且满足 OC = λ OA+ μ—OB，| OC| = 3，则 λ + μ 的最大值为 _________．

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46. (2022 · 河北 · 石家庄二中实验学校高三开学考试 ) 已知函数 y= 3tanωx +1 在 ( ( 内是减函数， 则 ω 的取值范围是 ______．
47. ( 2022 · 江苏 · 盐城市第一中学高三阶段练习 ) 已知函数 f x = ax 1 - 2(1) (a > 0 且 a ≠ 1 )，若不等式 f ax2 + bx + c >0 b ∈ -5,1 的解集为 1,2 ，则 a 的取值范围是 ___________.
四、双空题
48. (2022 · 河北 · 高三阶段练习) 进入冬季某病毒肆虐， 已知感染此病毒的概率为 p(0 < p < 1)，且每人是否感 染这种病毒相互独立 . 记 100 个人中恰有 5 人感染病毒的概率是 f(p)，则 f(p) 的最大值点 p0 的值为 ___ ________；为确保校园安全， 某校组织该校的 6000 名学生做病毒检测， 如果对每一名同学逐一检测， 就需要检测 6000 次，但实际上在检测时都是随机地按 k(1 < k ≤ 10) 人一组分组， 然后将各组 k 个人的检 测样本混合再检测 . 如果混合样本呈阴性，说明这 k 个人全部阴性，如果混合样本呈阳性，说明其中至少有 一人检测呈阳性， 就需要对该组每个人再逐一检测一次 . 当 p 取 p0 时，检测次数最少时 k 的值为 ____
______ .
参考数据： 0.952 ≈ 0.903，0.953 ≈ 0.857，0.954 ≈ 0.815，0.955 ≈ 0.774，0.956 ≈ 0.735,0.957 ≈ 0.698，0.958 ≈ 0.663，0.959 ≈ 0.630，0.9510 ≈ 0.599

2023 年新高考数学选填压轴题汇编 (九)
一、单选题
1. (2022 · 江苏 · 盐城市第一中学高三阶段练习 )f(x) 的定义域是 0,+∞ ，其导函数为 f, (x)，g(x) 其 导数为 g, (x)，若 g, (x) = 且 f(e) = e2 (其中 e 是自然对数的底数)，则 ( )
A. g(2) < g(1) B. g(3) < g(4) C. f, (e) = 0 D. f(x) - ex ≤ 0
【答案】D
【解析】因为 g, (x) = 所以由 g, x > 0 可得x ∈ 0,e ，由 g, x < 0 可得x ∈ e,+∞ 所以 g(x) 在 0,e 上单调递增，在 e,+∞ 上单调递减
所以 g(2) > g(1)，g(3) > g(4)，故 A、B 错误
g(x) ≤ g e = f = e，所以 f x ≤ ex，即 f(x) - ex ≤ 0，所以 D 正确
x2 e2
因为 g, x = xf, x - f x ，g, e = 0，所以 ef, e - f e = 0，解得 f, (e) = e，故 C 错误
故选：D
2. (2022 · 江苏 · 盐城市第一中学高三阶段练习 ) 已知函数 f x = ln |x - 2 |+ 1 - x2 - 4(1)x + 5，则 f -1 、 f e2 、f 2e 的大小关系是 ( )
A. f -1 < f 2e < f e2 B. f -1 < f e2 < f 2e
C. f e2 < f -1 < f 2e D. f 2e < f e2 < f -1
【答案】A
【解析】因为 f x = ln |x - 2 |+ 1 - x2 - 4(1)x + 5 = ln |x - 2 |+ 1 - x - 2(1) 2 + 1，
对任意的 x ∈ -∞,2 ∪ 2,+∞ ，
f 4 - x = ln |2 - x |+ 1 - = ln |x - 2 |+ 1 - = f x ，
1 1
2 - x 2 + 1 x - 2 2 + 1
所以，函数 f x 的图象关于直线 x = 2 对称，则 f -1 = f 5 ，
当 x > 2 时，f x = ln x - 1 - x - 2(1) 2 + 1，
因为二次函数 y = x - 2 2 + 1 在 2,+∞ 上为增函数，且 y = x - 2 2 + 1 > 0，
1
所以，函数 y = ln x - 1 、y = - x - 2 2 + 1 在 2,+∞ 上为增函数，
所以，函数 f x 在 2,+∞ 上为增函数，
令 g x = 其中 0 < x ≤e，则 g, x = 1 -x(ln)x ≥ 0，
故函数 g x 在 0,e [上为减函数，所以， g 2 < g e ，即 l 2(n)2 <
所以， eln2 = ln2e < 2lne = lne2，所以， e2 > 2e，
又因为 2e > 2 2(5) = 4 2 > 5，即 e2 > 2e > 5，所以，f e2 > f 2e > f 5 = f -1 .
故选： A.
3. (2022 · 河北沧州 · 高三阶段练习) 已知双曲线 a(x)2(2) - b(y)2(2) = 1 a >0,b >0 的左、右焦点分别是 F1 ,F2，过点 F1 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B 两点，现将平面 AF1F2 沿 F1F2 所在直线折起， 点 A 到达点 P 处，使

b
e

二面角 P - F1F2 - B 的平面角的大小为 30∘，且三棱锥 P - BF1F2 的体积为 6(1) a2 c，则双曲线的离心率为
( )
A. 2 B. 3 C. 2 D. 5
【答案】A
2
【解析】由题意可知，直线 AB 的方程为 x = -c，代入双曲线方程可得 y = ± a ，
设点 A 在 x 轴上方，则A (-c, a(b2) (，可得 |AF1 | = |BF1 | = a(b2)，所以 |PF1 | = a(b2)，
由题意可知 F1F2 ⊥ PF1 ,F1F2 ⊥ BF1，且 PF1 ∩ BF1 = F1，所以 F1F2 ⊥ 平面 PBF1，
所以 ∠PF1B 为二面角P - F1F2 - B 的平面角，即∠PF1B = 30°，
所以 VP-BF1F2 = VF2-PBF1 = 3(1) S△PBF1 × |F1F2 | = 3(1) × 2(1) × |PF1 |2 × sin ∠PF1B × 2c = 6(b)a2(4c) = 6(1) a2c，即 a = b，
又 c2 = a2 + b2，所以 2a2 = c2，可得双曲线的离心率为 e = 2，
故选： A．
4. (2022 · 河北 · 石家庄二中实验学校高三开学考试 )f x 的定义域为 R，且 f x + y + f x - y = f x f y ，
f 1 = 1，则 2022f(k) = ( )
k=1
A. - 3 B. - 2 C. 0 D. 1
【答案】C
【解析】令 y = 1，则 f(x + 1) + f(x - 1) = f(x)，即 f(x + 1) = f(x) - f(x - 1)，
所以 f(x + 2) = f(x + 1) - f(x)，f(x + 3) = f(x + 2) - f(x + 1)，
所以 f(x + 3) = -f(x)，
所以 f(x + 6) = -f(x + 3) = f(x)，
所以 f(x) 的周期为 6，
令 x = 1,y = 0，则 f(1) + f(1) = f(1) × f(0)，得 f(0) = 2，
因为 f(x + 1) = f(x) - f(x - 1)，
所以 f(2) = f(1) - f(0) = 1 - 2 = -1，
f(3) = f(2) - f1) = -1 - 1 = -2，
f(4) = f(3) - f(2) = -2 + 1 = -1，
f(5) = f(4) - f(3) = -1 + 2 = 1，
f(6) = f(5) - f(4) = 1 + 1 = 2，
所以 f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + f(6) = 0，
所以 2022f(k) = 337 × 0 = 0
k=1
故选：C
5. (2022 · 河北 ·石家庄二中实验学校高三开学考试) 若实数 m，n，p 满足 m = 4e 5(3)，n = 5e 3(2)，p = 则 ( )
A. p < m 1，
e
2
∴ m > p；
∴ p < m f(x) 的定义域为 (0,2π ),，f(x +π) 的定义域为 (-π ,π )，且
f(π + x) = [ln(π + x) + ln(π - x)] ⋅ sin(π + x) = - [ln(π + x) + ln(π - x)] ⋅ sinx，
记 g(x) = f(π + x)，则有
g(-x) = - [ln(π - x) + ln(π + x)] ⋅ sin(-x) = [ln(π - x) + ln(π + x)] ⋅ sinx = -g(x)， 故f(x +π) 是奇函数， 因此选项 A 正确.
令 f(x) = 0，则有 [lnx + ln(2π - x)]