2023年高考数学函数性质的综合运用练习题(含答案解析).docx

2023 年高考数学-函数性质的综合问题综合运用练习题(含答案解析)一、综合运用练习题1 (2019 惠州调研)已知定义域为 R 的偶函数f(x)在(， 0上是减函数，且f(1)2，则不等式 f(log2x)2 的解集为( )A (2，) B. 0， 2(1)| (2，)C.|0， 2 |( 2，) D ( 2，)( 2B f(x)是 R 上的偶函数， 且在( ， 0上是减函数， 所以 f(x)在0， )上是 增函数， 因为 f(1)2， 所以 f( 1)2， 所以 f(log2x)2f(|log2x|)f(1)|log2x| 11log2x1 或 log2x 1x2 或 0x2.故选 B.2已知函数 yf(x)的定义域为R，且满足下列三个条件：对任意的 x1， x2 4,8，当 x1x2 时，都有f(x1)f(x2)x1x20 恒成立；f(x4)f(x)；yf(x4)是偶函数若 af(7)， bf(11)， cf(2 018)，则 a， b， c 的大小关系正确的是( )A abc B bcaC acb D cbaB 由知函数 f(x)在区间4,8上为单调递增函数；由知 f(x8)f(x4) f(x)，即函数 f(x)的周期为 8，所以 cf(2 018)f(25282)f(2)，bf(11)f(3)； 由可知函数 f(x)的图像关于直线 x4 对称， 所以 bf(3)f(5)， cf(2)f(6) 因 为函数 f(x)在区间4,8上为单调递增函数， 所以 f(5)f(6)f(7)， 即 bca， 故选B.3定义在 R 上的函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，f(x2)f(x)且f(x)在1,01上是增函数，给出下列几个命题：f(x)是周期函数；f(x)的图像关于x1 对称；f(x)在1,2上是减函数；f(2)f(0)，其中正确命题的序号是_(请把正确命题的序号全部写出来) 因为 f(xy)f(x)f(y)对任意x， yR 恒成立令 xy0，所以 f(0)0.令 xy0， 所以 yx，所以 f(0)f(x)f(x)所以 f(x)f(x)， 所以 f(x)为奇函数因为 f(x)在 x 1,0上为增函数， 又 f(x)为奇函数，所以 f(x)在0,1上为增函数由 f(x2)f(x)f(x4)f(x2)f(x4)f(x)，所以周期 T4，即 f(x)为周期函数f(x2)f(x)f(x2)f(x)又因为 f(x)为奇函数所以 f(2x)f(x)，所以函数关于 x1 对称由 f(x)在0,1上为增函数，2又关于 x1 对称，所以 f(x)在1,2上为减函数由 f(x2)f(x)， 令 x0 得 f(2)f(0)f(0) 4已知函数 yf(x)在定义域1,1上既是奇函数又是减函数(1)求证：对任意 x1， x2 1,1，有f(x1)f(x2) (x1x2)0；(2)若f(1a)f(1a2)0，求实数 a 的取值范围 解 (1)证明： 若 x1x20， 显然不等式成立 若 x1x20， 则 1x1x2 1，因为 f(x)在 1, 1上是减函数且为奇函数，所以 f(x1)f(x2)f(x2)， 所以 f(x1)f(x2)0.所以f(x1)f(x2)(x1x2)0 成立若 x1x20， 则 1x1x2 1，同理可证 f(x1)f(x2)0.所以f(x1)f(x2)(x1x2)0 成立综上得证， 对任意 x1， x2 1,1， 有f(x1)f(x2) (x1x2)0 恒成立(2)因为 f(1a)f(1a2)0 f(1a2)f(1a)f(a 1)， 所以由 f(x)在定义(| 11a2 1， (|0a2 2，域 1, 1上是减函数， 得| 即| 解得 0a 1.故所求实数 a 的取值范围是0,1)二、思维拓展练习1定义在 R 上的函数f(x)满足：对任意 xR 有f(x4)f(x)；f(x)在0,23上是增函数；f(x2)的图像关于 y 轴对称则下列结论正确的是( )A f(7)f(6.5)f(4.5)B f(7)f(4.5)f(6.5)C f(4.5)f(6.5)f(7)D f(4.5)f(7)f(6.5)D 由知函数 f(x)的周期为 4， 由知 f(x2)是偶函数， 则有 f(x2)f(x2)， 即函数 f(x)图像的一条对称轴是x2， 由知函数 f(x)在0,2上单调递增， 则 在2,4上单调递减，且在0,4上越靠近 x2，对应的函数值越大，又 f(7)f(3)，f(6.5)f(2.5)，f(4.5)f(0.5)，由以上分析可得 f(0.5)f(3)f(2.5)，即 f(4.5)f(7)f(6.5)故 选 D.2设 f(x)是定义在 R 上的偶函数，其图像关于直线x1 对称，对任意 x1，x2 0， 2(1)，都有 f(x1x2)f(x1) f(x2)(1)设f(1)2，求 f(|(2(1)|， f(|(4(1)|；(2)证明： f(x)是周期函数解 (1)由 f(x1x2)f(x1) f(x2)，x1，x2 0， 2(1)，知 f(x)f(|(2(x)| f(|(2(x)|0，x0,1 f(1)f(|(2(1)2(1)|f(|(2(1)|f(|(2(1)|f(|(2(1)|2， f(1)2，f(|(2(1)|22(1) .f(|(2(1)|f(|(4(1)4(1)|f(|(4(1)|f(|(4(1)|f(|(4(1)|2， f(|(2(1)|22(1)，f(|(4(1)|24(1) .(2)证明： 依题设， yf(x)关于直线 x1 对称，f(x)f(2x)又f(x)f(x)，f(x)f(2x)，4f(x)f(2x)，f(x)是定义在 R 上的周期函数， 且 2 是它的一个周期三、基础巩固练习(一) 、解答题9设 f(x)是定义域为 R 的周期函数，最小正周期为 2，且 f(1x)f(1x)，当1x0 时， f(x) x.(1)判断f(x)的奇偶性；(2)试求出函数f(x)在区间1,2上的表达式解 (1)f(1x)f(1x)，f(x)f(2x)又 f(x2)f(x)，f(x)f(x)又 f(x)的定义域为 R，f(x)是偶函数(2)当 x0,1时， x 1,0，则 f(x)f(x)x；从而当 1x2 时， 1x20，f(x)f(x2) (x2)x2.(|x， x 1， 0，故 f(x)|10 设函数f(x)是(， )上的奇函数， f(x2)f(x)， 当 0x1 时，f(x)x.(1)求f( )的值；(2)当4x4 时，求函数 f(x)的图像与 x 轴所围成图形的面积 解 (1)由 f(x2)f(x)得，f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，5所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数，所以 f()f( 14)f(4)f(4) (4)4.(2)由 f(x)是奇函数且 f(x2)f(x)，得 f(x 1)2f(x 1)f(x 1)，即 f(1x)f(1x)故函数 yf(x)的图像关于直线 x1 对称又当 0x1 时，f(x)x， 且 f(x)的图像关于原点成中心对称， 则 f(x)的图像如图所示当4x4 时， 设 f(x)的图像与 x 轴围成的图形面积为 S， 则 S4S OAB42(1)21|4.(二) 、选择题1设f(x)是定义在 R 上周期为 2 的奇函数， 当 0x1 时，f(x)x2x，则f2(5)|( )61A41B 21C 41D 2C 因为 f(x)是定义在 R 上周期为 2 的奇函数， 所以 f2(5)|f2(5)|f2(1)|.又 当 0x1 时， f(x)x2x， 所以 f2(1)|2(1)|22(1) 4(1)， 则 f2(5)|4(1) .2下列函数中，既是奇函数又在(0，)上单调递增的是( )A y exexC y |x|sin xB y ln(|x|1)1D y xx7D 选项 A、B 显然是偶函数， 排除；选项 C 是奇函数， 但在(0， )上不是单调递增函数， 不符合题意； 选项 D 中， yx1是奇函数， 且 yx 和 y 1在 x xx(0， )上均为增函数， 故 yx 1在(0， )上为增函数， 所以选项 D 正确 3已知定义在 R 上的奇函数f(x)有f|x2|f(x)0，当4 x0 时， f(x)( 5 52xa，则 f(16)的值为( )1A.21B 23C.23D 2A 由 fx2(5)|f(x)0， 得 f(x)fx2(5)|f(x5)，f(x)是以 5 为周期的周期函数，f(16)f(135)f(1)f(x)是 R 上的奇函数，f(0) 1a0，a 1.当 4(5)x0 时， f(x)2x 1，f( 1)2 1 1 2(1)，1 1f(1) 2 ，f(16)2.4定义在 R 上的奇函数f(x)满足fx2(3)|f(x)，当 x0， 2(1)时， f(x)log2(1)(1x)，则 f(x)在区间1， 2(3)| 内是( )8A减函数且 f(x)0C增函数且 f(x)0B减函数且 f(x)0D增函数且 f(x)0D 当 x(|(0， 2(1)时， 由 f(x)log1(1x)可知， f(x)单调递增且 f(x)0， 又函数2f(x)为奇函数，所以 f(x)在区间2(1)， 0)|上也单调递增，且 f(x)0.由 f(|(x2(3)|f(x)知， 函数的周期为 2(3)， 所以在区间(|(1， 2(3)|上， 函数 f(x)单调递增且 f(x)0.5 (2019 合肥调研)定义在 R 上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，且在0,1上是减函数，则有( )A f(|(2(3)|f(|(4(1)|f(|(4(1)|B f(|(4(1)|f(|(4(1)|f(|(2(3)|C f(|(2(3)|f(|(4(1)|f(|(4(1)|D f(|(4(1)|f(|(2(3)|f(|(4(1)|C 因为 f(x2)f(x)，所以 f(x4)f(x2)f(x)，所以函数的周期为 4，作出 f(x)的草图， 如图， 由图可知 f(|(2(3)|f(|(4(1)|f(|(4(1)|.(三) 、填空题6已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x4)f(x2)若当 x3,0时，f(x)6x，则 f(919)_.6 f(x4)f(x2)，f(x6)f(x)，f(x)的周期为 6，919 1536 1，f(919)f(1)又 f(x)为偶函数，f(919)f(1)f( 1)6.7定义在实数集 R 上的函数f(x)满足f(x)f(x2)0，且 f(4x)f(x)现有 以下三个命题：8 是函数f(x)的一个周期； f(x)的图像关于直线 x2 对称； f(x)是偶函数 其中正确命题的序号是_ f(x)f(x2)0， f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)， f(x) 的周期为 4， 故正确；又 f(4x)f(x)， 所以 f(2x)f(2x)， 即 f(x)的图像关于 直线 x2 对称， 故正确；由 f(x)f(4x)得 f(x)f(4x)f(x)， 故正确 8 已知定义在 R 上的奇函数 yf(x)在(0， )内单调递增， 且f(|(2(1)|0，则f(x)0 的解集为_x| 2(1)x0或x2(1)J()卜 由奇函数 yf(x)在(0， )内单调递增， 且 f(|(2(1)|0， 可知函数 yf(x)在( ， 0)内单调递增，且 f(|(2(1)|0.由 f(x)0，可得 x2(1)或 2(1)x0.本课结束。9