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1 电磁仿真算法中的有限元法
1.1 常规的电磁计算方法简介
从上世纪50年代以来,伴随着计算机技术的进步,电磁仿真算法也蓬勃发展起来,这其中主要包括:单矩法、矩量法和有限元法等属于频域技术的算法; 传输线矩阵法、时域积分方程法以及时域有限差分法等属于时域技术的算法。除了这些以外, 还有属于高频技术的集合衍射理论等。本文根据国内外计算电磁学的发展状况,对日常生活中比较常用的电磁计算方法做了介绍,并对有限元法做了重点说明。
⑴矩量法
矩量法属于电磁场的数值计算方法中频域技术的一种, 它的基本原理是利用把待解的微积分方程转化成的算子方程, 然后将由一组线性组合表示的待求函数代入第一步中的算子方程, 然后将算子方程转化成矩阵方程, 最后再通过计算机进行大量的数值计算从而得到数值结果。该方法在求解非均勻和不规则形状对象时,面很广,但会生成病态矩阵,所以会在一定程度上受到限制。矩量法的特点就是适用于求解微积分方程, 并且求解方法统一简单。但缺点就是会占用大量计算机内存,影响计算速度。
(2)单矩法
单矩法是一种解析方法和数值方法相结合的混合数值算法法,该方法的关键在于,如何合理的选择一个球面最小的半径,使得能够将分析对象的结构全部包含在内,以便将内外场进行隔离。外边的散射场单独使用其他函数表示,而包围的内部区域使用有限元法亥姆赫兹(Helmholtz)方程此方法对于计算复杂形体乃至复杂埋入体内的电磁散射是种极为有效的手段。
(3)时域有限差分法
时域有限差分法(FDTD）近几年来越来越受到各方的重视, 因为一方面它处理庞大的电磁福射系统方面和复杂结构的散射体时很突出,另外一方面则在于它不是传统的频域算法, 它是种时域算法, 直接依靠时间变量求解麦克斯韦方程组,可以在有限的时间和体积内对场进行数据抽样, 这样同时也能够保证介质边界条件自动满足。吋域有限差分法可以看作是在时域内对空间电磁波传播过程的数字拟合,它是法拉第电磁感应定律的很好体现。在时域有限盖分法中,还应该注意色散的问题。因为色散会致严重的后果,比如绕射、波形畸变以及各向异性等。造成色散是因为在时域有限差分法剖分的网格中,模拟的波的波速会随着传播方向、波长等发生变化。与此同时,为了保证时域有限差分算法的精确性,对不同剖分的网格以及介质边界产生的色散,也要做定量的分析研究。对计算自由空间的电磁问题,由于计算机只能模拟有限的空间,所以网格不可能无限大,这就要求网格在引起明显的色散的情况下进行截断,就能使得在剖分区域内的传播就像在自由空间一样。
(4)传输线矩阵法
传输线矩阵法( Transmission-Line Matrix, TLM )利用的是电磁场传播与电压和电流在空间传输线中传播的类似性, 基于惠更斯波动原理, 通过将连续波的离散化,分析出不同子波在不同传输线中的传输特性。然而从电磁场问题求解的角度讲, TLM仍然是求解满足一定边界条件的麦克斯韦方程组, 不过该方法利用的是时间和空间的离散, 应用相互平行且连接的传输线来模拟所要求解的导波结构。通过研究脉冲(单或者连续)在网格中的传播获得波导结构的时域响应, 并对时域响应进行傅里叶变换, 从而可以在很宽的频率范围内得到波结构的频率特性。另外,根据等效原理,传输线上的电流可以看作磁场作用的结果,电伍可以看作电场作用的结果,因此,同时可以得到波结构内场区的特性。
传输线矩阵法的这些特点，可以克服一般频域分析方法所难以克服的困难: ① 不能处理具有事变特性的结构和介质的场问题； ② 由于频域分析方法基于叠加原理,所以较难处理非线性问题； ③ 由于一般来说，频域分析方法都需要进行空间的傅里叶变换,所以很难处理拥有复杂结构、不规则的结构和边界的场问题。
除此之外,传输线矩阵法还具有以下一些优点: ① 该方法并不需要对对复杂的代数方程组进行求解，从而节约了运算时间和资源; ② 它可以通过改变激励脉冲的形状和位置, 同时获得到波结构的主模和高次模的传输线以及场分布; ③ 它可以将有源器件中信号的传播与作用过程重现，有很大的现实意义; ④ 该方法的理论依据充分,易于编写代码实现且容易移植,处理不同的对象,仅仅改动相应的文件信息如介质电磁参数等,计算起来很方便。
(5)高频近似法
高频近似法的应用范围有一定的局限性。大尺寸的物体,如果其电磁特性参数随着其他一些参数变化的范围较小,即这种情况下电磁场的传播具有区域性,这种情况下可以釆用高频近似法。

1.2 有限元法
有限元法是上世纪50年代开始在工程上投入应用的,当时还仅仅用于分析飞机的应力,而现在在工程领域已成为标志性的数值算法。1965年有限元法才被引入到电磁领域。从这以后,关于电磁场方面的有限元法的讨论层出不穷,其中具有代表性的研究有80年代电磁材料特性的实验研究、电磁规范的新研究等,直到90年代,技术上的突破,使得有限元法又迈上了新的台阶。近些年,自适应网格剖分技术和加密技术的发展,为有限元法的发展提供了很好的平台。自适应网格剖分技术根据对待求场量函数的求解结果进行网格剖分的调整,使其剖分的更细更密,然后在一些网格剖分比较密的区域,采用高阶的插值函数,使得测量精度更一步提高。
同时,有限元法与相关学科的紧密结合,也有了新的进展,比如三维场的建模求解、耦合问题等。
有限元法自身的特点：
(1)网格剖分的疏密以及形状具有机动性。即同一剖分区域,根据场变化的情况,一些地方剖分的较密,其他地方较疏,这样可以根据需要相应的减小计算量，提高效率。网格形状的优劣,也会对结果造成影响,因此,常常还需耍对网格进行调整优化等。
(2)用有限元法最终把分析对象转化成代数方程组后,其高阶系数組阵具有对称等特征,可以采用特殊的处理方法,如对非零元素的变带宽压缩存储等,最终生成的总系数矩阵将是系稀疏矩阵。这样就会给计算机内存和运算带来便利，提高效率。
(3)由于第二、三类边界条件是自动满足的,所以无需特殊处理,仅需要对第一类边界条件做特殊处理。
⑷有限元法的各个步骤不是紧密相连,环环相扣的,容易用代码进行移植。目前应用较广泛的软件有ANSYS、ANSOFT等,而本文将釆用ANSYS作为仿真工具,进行建模仿真。
1.2.1 有限元法的基本原理
有限元法,按照获取方程组途径的不同,分为两种:迎辽金有限元法和变分有限元法。前者就是我们常说的有限元法,它的指导思想分为三个层次:第一就是问题的转化, 即把边值问题的求解转化成泛函问题; 其次是方程组的转化,就是将麦克斯韦方程组转化为最终的代数方程组; 最后就是场量的转化, 把连续的场量离散化。因此,当求解电磁问题用到有限元法时,就要注意三个层次的把握,当只要做好了这三个层次的工作,才是正确有效快速解决问题的可靠途径。

1.2.2 电磁场边值问题以及与之对应的泛函
对于电磁场边值问题，根据给定的边界条件, 拉普拉斯方程或泊松方程即有唯一解。一般来说，边界条件有以下三种:
第一类边界条件:所求的位函数在区域边界的值为已知函数。
（4.1）
第二类边界条件:所求的位函数在边界区域上的法向方向导数为已知函数。
（4.2）
第三类边界条件:位函数及法向导数的线性组合已知。
（4.3）
所对应的泛函求解极值方程分别为:
（4.4）
（4.5）
这三种边界条件中第一、二类边值问题对应的的泛函方程为公式（4.4）,第三类边值问题对应的泛函方程为公式（4.5）。利用泛函求解极值的过程中, 第一类边界条件并不能自动满足,必须由人来手动解决, 称为强加边界条件, 而与之对应的称为条件变分问题。第二、三类条件则可以自动满足, 就又称为自然边界条件, 与之对应的则称为无条件变分问题。
1.2.3 有限元方程的求解
建立相应的泛函后,接下來要做的工作就是区域的剖分离散。
（4.6)
(4.7)
上式(4.6)和(4.7)就是经过泛函离散后获得的有限元方程组。直接法、迭代法以及优化算法都是目前求解的主要方法。
(1)直接法是最简单的方法,理论上有限次数的计算,便可得到问题的解,但考虑到计算机内存和字长的因素,结果不会很精确。与此同时,计算结果的准确度会明显降低随着有限元方程系数矩阵阶数的增加。因此,该方法适用于系数矩阵阶数较低时。
(2)迭代法，中心思想其实就是一种极限的思想, 就是使得方程近似于线性方程组,然后利用求解线性方程组的方法从而求得精确解。通过编写代码的方法可以实现迭代法,但与方法(1)存在类似的问题,当出现很多次迭代时,受计算机内存的影响,计算速度会很慢,相应时间变得很长。
(3)优化算法的第一步是设定初始值,然后在分析对象的求解范围内确定一个使得对象函数值不断减小的方向和步长,然后不断继续下去,直到满足预先设定的收敛误差为止。
1.2.4 有限元网格的划分
用有限元法进行分析的首要任务就是对分析对象进行逻辑分析,用数学语言进行描述,将需要描述的区域进行离散,剖分。网格形状划分的优劣,会对计算结果造成不同程度的影响。对求解区域进行快速有效的剖分这一问题,曾经是有限元法发展的一个关键。但随着科学技术的进步,在该方法的演进上,涌现出了很多分支方法,自适应网格剖分就是其中的代表。
进行求解剖分时,需要遵循以下规范:
(1)几何规范: 在形状多变的几何区域,需要对其进行较密的剖分。另外,对于边界区域,结点的设置应使得能够还原几何形状。网格形状尽量正常,避免奇形怪状的区域出现。
(2)技术规范: 在需要细致分析的部分，需要更细化的网格划分。
(3)物理规范: 区域剖分密度在场量变化较大的地方,应该适当高些。当得到了初始的网格后,一般来说，还需要对其进行加密细分，以期更适用于仿真情况。另外,网格形状的优劣,也会对计算结果造成影响,因此,常常还需要对生成的网格进行调整优化等。
1.2.5 有限元法的建模
利用有限元法的建模过程包括下面几个程序:
（1将整体区域进行离散化。这是重要的一步,因为区域离散质量的优劣,直接关系到计算数值结果的精确度和计算所需时间。
（2选择合适的插值函数。插值是离散函数逼近的途径,在离散区域内,通过结点值进行。
（3方程组的建立。首先利用变分的思想方法对麦克斯韦方程组进行考虑,以建立合适的误差泛函,其次,将子域内小的线性表达式写入全域矩阵,最后利用边界条件得到最终形式的方程。
（4方程组的求解。最终的方程组是两种形式:确定型和本征值型。其中,确定型方程组的解与福射杂散等确定性问题相关; 而本征值方程组与诸如波导中的波传输和腔体中的谐振等无源问题有关。