向量法求空间角(高二数学,立体几何).doc

向量法求空间角
A
B
C
D
P
Q
1．（本小题满分10分）在如图所示的多面体中，四边形为正方形，四边形是直角梯形，，平面，．

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小．

2．（满分13分）如图所示，正四棱锥P－ABCD中，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为．

D
B
A
C

O
E
P

（1）求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；
（2）若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；
（3）问在棱AD上是否存在一点F，使EF⊥侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由．

3．（本小题只理科做，满分14分）如图,已知平面,,△是正三角形,,且是的中点.

（1）求证:平面;
（2）求证:平面平面;
（3）求平面与平面所成锐二面角的大小.

4．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中,底面,且底面为正方形,分别为的中点．

（1）求证:平面;
（2）求平面和平面的夹角.

5．如图，在直三棱柱中，平面 侧面且.

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若直线AC与平面所成的角为,求锐二面角的大小.

6．如图，四边形是正方形，平面，，，，， 分别为，，的中点．

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的大小.

试卷第3页，总3页

参考答案
1．（1）详见解析；（2）
【解析】
试题分析：（1）根据题中所给图形的特征，不难想到建立空间直角坐标，由已知，，，两两垂直，可以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．表示出图中各点的坐标：设，则，，，，则可表示出，，，根据数量积为零与垂直的充要条件进行证明，由，，故，，即可证明；（2）首先求出两个平面的法向量，其中由于平面，所以可取平面的一个法向量为；设平面的一个法向量为，则，，故即取，则，故，转化为两个法向量的夹角，设与的夹角为，则．即可求出平面与平面所成的锐二面角的大小.
试题解析：（1）由已知，，，两两垂直，可以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．
设，则，，，，
故，，，
因为，，故，，
即，， 又
所以，平面．
（2）因为平面，所以可取平面的一个法向量
为，
点的坐标为，则，，
设平面的一个法向量为，则，，
故即取，则，
故．
设与的夹角为，则．
所以，平面与平面所成的锐二面角的大小为
考点：1.空间向量的应用；2.二面角的计算；3.直线与平面的位置关系
2．（1）; （2）; （3）F是AD的4等分点，靠近A点的位置.
【解析】
试题分析：（1）取AD中点M，连接MO，PM，由正四棱锥的性质知∠PMO为所求二面角P－AD－O的平面角，∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角∴tan∠PAO＝，设AB＝a，则AO＝a，PO＝a，MO=, tan∠PMO＝,∠PMO＝60°; （2）依题意连结AE，OE，则OE∥PD ，故∠OEA为异面直线PD与AE所成的角，由正四棱锥的性质易证OA⊥平面POB,故为直角三角形，OE＝PD＝＝a ∴tan∠AEO＝＝；（3）延长MO交BC于N，取PN中点G，连BG，EG，MG，易得BC⊥平面PMN，故平面PMN⊥平面PBC，而△PMN为正三角形，易证MG⊥平面PBC，取MA的中点F,连EF,则四边形MFEG为平行四边形，从而MG//FE,EF⊥平面PBC, F是AD的4等分点，靠近A点的位置.
M
D
B
A
C
O
E
P

试题解析：（1）取AD中点M，连接MO，PM，依条件可知AD⊥MO，AD⊥PO，则∠PMO为所求二面角P－AD－O的平面角 （2分）
∵PO⊥面ABCD，
∴∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角．
∴tan∠PAO＝
设AB＝a，AO＝a，
∴ PO＝AO·tan∠POA＝a，
tan∠PMO＝＝．
∴∠PMO＝60°． （4分）
M
D
B
A
C
O
E
P

（2）连接AE，OE， ∵OE∥PD，
∴∠OEA为异面直线PD与AE所成的角． （6分）
∵AO⊥BD，AO⊥PO，∴AO⊥平面PBD．
又OE平面PBD， ∴ AO⊥OE．
∵OE＝PD＝＝a，
∴tan∠AEO＝＝． （8分）
（3）延长MO交BC于N，取PN中点G，连BG，EG，MG．
M
D
B
A
C
O
E
P

N
G
F

∵BC⊥MN，BC⊥PN，∴BC⊥平面PMN
∴平面PMN⊥平面PBC． （10分）
又PM＝PN，∠PMN＝60°，∴△PMN为正三角形．
∴MG⊥PN．又平面PMN ∩平面PBC＝PN，∴MG⊥平面PBC． （12分）
F是AD的4等分点，靠近A点的位置 （13分）
考点：立体几何的综合问题
3．（1）见解析；（2）见解析；（3）.
【解析】
试题分析：（1）取CE中点P，连接FP、BP，根据中位线定理可知FP||DE，且且FP=，而AB||DE，且AB=则ABPF为平行四边形，则AF||BP，AF平面BCE，BP⊂平面BCE，满足线面平行的判定定理，从而证得结论；
（2）根据AB平面ACD，DE||AB，则DE平面ACD，又AF⊂平面ACD，根据线面垂直的性质可知，满足线面垂直的判定定理，证得AF平面CDE，又BP||AF，则BP平面CDE，BP平面BCE，根据面面垂直的判定定理可证得结论；
（3）由（2），以F为坐标原点，FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系F﹣xyz．设AC=2，根据线面垂直求出平面BCE的法向量n，而m=（0，0，1）为平面ACD的法向量，设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为α，根据可求出所求．

试题解析：（1）解:取CE中点P,连结FP、BP,
∵F为CD的中点,∴FP||DE,且FP=
又AB||DE,且AB=∴AB||FP,且AB=FP,
∴ABPF为平行四边形,∴AF||BP
又∵平面BCE,BP平面BCE,
∴AF||平面BCE
（2）∵△ACD为正三角形,∴.
∵AB平面ACD,DE||AB,
∴DE平面ACD,又AF平面ACD,
∴DEAF.又AFCD,CD∩DE=D,
∴AF平面CDE
又BP||AF,∴BP平面CDE.又∵BP平面BCE,
∴平面BCE⊥平面CDE
（3）法一、由（2）,以F为坐标原点,
FA,FD,FP所在的直线分别为x,y,z轴（如图）,

建立空间直角坐标系F—xyz.设AC=2,
则C（0,—1,0）,
设为平面BCE的法向量，
，令n=1,则
显然,为平面ACD的法向量.
设面BCE与面ACD所成锐二面角为
则.
即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为
法二、延长EB、DA,设EB、DA交于一点O,连结CO.
则面面.
由AB是的中位线,则.
在中, .
,又.
面而CE面ECD,

在中，
即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为.
考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．
4．证明见解析
【解析】
试题分析：：（1）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.（2）证明线面平行，需证线线平行，只需要证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；（3）把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;（4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.
试题解析：（1）如图，以为原点,以为方向向量
建立空间直角坐标系
则.
.
设平面的法向量为
即 令
则.

又平面平面
（2）底面是正方形,又平面
又,平面
向量是平面的一个法向量,又由（1）知平面的法向量.

二面角的平面角为.
考点：（1）证明直线与平面平行；（2）利用空间向量解决二面角问题.
5．（Ⅰ）详见解析;（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）取 的中点D，连接AD，由已知条件推导出AD⊥平面，从而，由线面垂直得．由此能证明．（Ⅱ）方法一：连接CD，由已知条件得即为直线与平面所成的角，即为二面角的一个平面角，由此能求出二面角的大小．解法二（向量法）：由（1）知且，所以以点为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，， ，求出平面的一个法向量，设直线与平面所成的角为，则得，解得，即，求出平面的一个法向量为，设锐二面角的大小为，则，且， 即可求出锐二面角的大小.
试题解析：解（1）证明：如图，

取的中点，连接，因，则
由平面侧面，且平面侧面，
得，又平面， 所以.
因为三棱柱是直三棱柱，则，所以.
又，从而侧面 ，又侧面，故. -------6分
解法一：连接，由（1）可知，则是在内的射影
∴ 即为直线与所成的角，则 在等腰直角中，，且点是中点，∴ ，且，
∴
过点A作于点，连，由（1）知则，且
∴ 即为二面角的一个平面角且直角中：，又， ∴ ，
且二面角为锐二面角 ∴ ，即二面角的大小为 ----12分
解法二（向量法）：由（1）知且，所以以点为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，且设，则，，，，，，，
设平面的一个法向量，由， 得：
令 ，得 ，则
设直线与所成的角为，则
得，解得，即
又设平面的一个法向量为，同理可得，设锐二面角的大小为，则
，且，得
∴ 锐二面角的大小为.
考点：1.用空间向量求平面间的夹角；2.空间中直线与直线之间的位置关系．
6．（1）证明见解析；（2）
【解析】
试题分析：（1）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.（2）证明证线线垂直，只需要证明直线的方向向量垂直；（3）把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;（4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.
试题解析：（1）证明：,分别为，的中点，
.
又平面，平面，
平面.
（2）解:平面，，平面
平面，.
四边形是正方形
以为原点,分别以直线为轴, 轴,轴
建立如图所示的空间直角坐标系，设
,
，，，，，,
,.
，， 分别为，，的中点，
，，,,

（解法一）设为平面的一个法向量，则,
即，令，得.
设为平面的一个法向量,则,
即，令，得.
所以==.
所以平面与平面所成锐二面角的大小为（或）
（解法二），,
是平面一个法向量.
，,
是平面平面一个法向量.

平面与平面所成锐二面角的大小为（或）.
（解法三）延长到使得连

，，
四边形是平行四边形，
四边形是正方形，
，分别为，的中点，
平面，平面， 平面.
平面平面平面
故平面与平面所成锐二面角与二面角相等.
平面平面
平面是二面角的平面角.

平面与平面所成锐二面角的大小为（或）.
考点：1、直线与平面平行的判定；2、平面与平面所成的角.
答案第11页，总11页