歆博教育教师授课教案 1.doc

课 题
授课教案
第一单元课题1 速算与巧算及自然数列
授课时间：2014.7.17
备课时间： 2014.7.16

教学目标

1． 了解与掌握速算与巧算的基本概念。
2． 了解与掌握自然数列方面的计数问题，解题的思维方法一般是运用枚举法及分类统计方法。
3． 了解与掌握找规律的基本方法。

重点、难点

1. 速算与巧算的基本概念与方法。
2. 自然数列的计算问题，枚举法与分类统计方法。

考点及考试要求

1． 能正确计算速算与巧算的习题。
2． 能掌握自然数列的计数问题，掌握枚举法与分类统计方法。
3． 能明确掌握找规律的基本方法。
教学内容
　速算与巧算
一、“凑整”先算
　　1.计算：（1）24+44+56
　　（2）53+36+47
　　解：（1）24+44+56=24+（44+56）
　　=24+100=124
　　这样想：因为44+56=100是个整百的数，所以先把它们的和算出来.
　　（2）53+36+47=53+47+36
　　=（53+47）+36=100+36=136
　　这样想：因为53+47=100是个整百的数，所以先把+47带着符号搬家，搬到+36前面；然后再把53+47的和算出来.
　　2.计算：（1）96+15
　　（2）52+69
　　解：（1）96+15=96+（4+11）
　　=（96+4）+11=100+11=111
　　这样想：把15分拆成15=4+11，这是因为96+4=100，可凑整先算.
　　（2）52+69=（21+31）+69
　　=21+（31+69）=21+100=121
　　这样想：因为69+31=100，所以把52分拆成21与31之和，再把31+69=100凑整先算.
　　3.计算：（1）63+18+19
　　（2）28+28+28
　　解：（1）63+18+19
　　=60+2+1+18+19
　　=60+（2+18）+（1+19）
　　=60+20+20=100
　　这样想：将63分拆成63=60+2+1就是因为2+18和1+19可以凑整先算.
　　（2）28+28+28
　　=（28+2）+（28+2）+（28+2）-6
　　=30+30+30-6=90-6=84
　　这样想：因为28+2=30可凑整，但最后要把多加的三个2减去.
　　二、改变运算顺序：在只有“+”、“-”号的混合算式中，运算顺序可改变
　　计算：（1）45-18+19
　　（2）45+18-19
　　解：（1）45-18+19=45+19-18
　　=45+（19-18）=45+1=46
　　这样想：把+19带着符号搬家，搬到-18的前面.然后先算19-18=1.
　　（2）45+18-19=45+（18-19）
　　=45-1=44
　　这样想：加18减19的结果就等于减1.
　　三、计算等差连续数的和
　　相邻的两个数的差都相等的一串数就叫等差连续数，又叫等差数列，如：
　　1，2，3，4，5，6，7，8，9
　　1，3，5，7，9
　　2，4，6，8，10
　　3，6，9，12，15
　　4，8，12，16，20等等都是等差连续数.
　　1. 等差连续数的个数是奇数时，它们的和等于中间数乘以个数，简记成：
　　（1）计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9
　　=5×9 中间数是5
　　=45 共9个数
　　（2）计算：1+3+5+7+9
　　=5×5 中间数是5
　　=25 共有5个数
　　（3）计算：2+4+6+8+10
　　=6×5 中间数是6
　　=30 共有5个数
　　（4）计算：3+6+9+12+15
　　=9×5 中间数是9
　　=45 共有5个数
　　（5）计算：4+8+12+16+20
　　=12×5 中间数是12
　　=60 共有5个数
　　2. 等差连续数的个数是偶数时，它们的和等于首数与末数之和乘以个数的一半，简记成：

　　（1）计算：
　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
　　=（1+10）×5=11×5=55
　　共10个数，个数的一半是5，首数是1，末数是10.
　　（2）计算：
　　3+5+7+9+11+13+15+17
　　=（3+17）×4=20×4=80
　　共8个数，个数的一半是4，首数是3，末数是17.
　　（3）计算：
　　2+4+6+8+10+12+14+16+18+20
　　=（2+20）×5=110
　　共10个数，个数的一半是5，首数是2，末数是20.
　　四、基准数法
　　（1）计算：23+20+19+22+18+21
　　解：仔细观察，各个加数的大小都接近20，所以可以把每个加数先按20相加，然后再把少算的加上，把多算的减去.
　　23+20+19+22+18+21
　　=20×6+3+0-1+2-2+1
　　=120+3=123
　　6个加数都按20相加，其和=20×6=120.23按20计算就少加了“3”，所以再加上“3”；19按20计算多加了“1”，所以再减去“1”，以此类推.
　　（2）计算：102+100+99+101+98
　　解：方法1：仔细观察，可知各个加数都接近100，所以选100为基准数，采用基准数法进行巧算.
　　102+100+99+101+98
　　=100×5+2+0-1+1-2=500
　　方法2：仔细观察，可将5个数重新排列如下：（实际上就是把有的加数带有符号搬家）
　　102+100+99+101+98
　　=98+99+100+101+102
　　=100×5=500
　　可发现这是一个等差连续数的求和问题，中间数是100，个数是5.
自然数列
　例1小明从1写到100，他共写了多少个数字“1”？
　　解：分类计算：
　　“1”出现在个位上的数有：
　　1，11，21，31，41，51，61，71，81，91共10个；
　　“1”出现在十位上的数有：
　　10，11，12，13，14，15，16，17，18，19共10个；
　　“1”出现在百位上的数有：100共1个；
　　共计10+10+1=21个。
　　例2一本小人书共100页，排版时一个铅字只能排一位数字，请你算一下，排这本书的页码共用了多少个铅字？
　　解：分类计算：
　　从第1页到第9页，共9页，每页用1个铅字，共用1×9=9（个）；
　　从第10页到第99页，共90页，每页用2个铅字，共用2×90=180（个）；
　　第100页，只1页共用3个铅字，所以排100页书的页码共用铅字的总数是：
　　9+180+3=192（个）。
例3把1到100的一百个自然数全部写出来，用到的所有数字的和是多少？

解：（见图5—1）先按题要求，把1到100的一百个自然数全部写出来，再分类进行计算：
　　如图5—1所示，宽竖条带中都是个位数字，共有10条，数字之和是：
　　（1+2+3+4+5+6+7+8+9）×10
　　=45×10
　　=450。
　　窄竖条带中，每条都包含有一种十位数字，共有9条，数字之和是：
　　1×10+2×10+3×10+4×10+5×10+6×10+7×10
　　+8×10+9×10
　　=（1+2+3+4+5+6+7+8+9）×10
　　=45×10
　　＝450。
　　另外100这个数的数字和是1+0+0=1。
　　所以，这一百个自然数的数字总和是：
　　450+450+1=901。
　　顺便提请同学们注意的是：一道数学题的解法往往不只一种，谁能寻找并发现出更简洁的解法来，往往标志着谁有更强的数学能力。比如说这道题就还有更简洁的解法，试试看，你能不能找出来？

找规律

　例1观察下面由点组成的图形（点群），请回答：
　　（1）方框内的点群包含多少个点？
　　（2）第（10）个点群中包含多少个点？
　　（3）前十个点群中，所有点的总数是多少？

解：数一数可知：前四个点群中包含的点数分别是：
　　1，4，7，10。
　　可见，这是一个等差数列，在每相邻的两个数中，后一个数都比前一个数大3（即公差是3）。
　　（1）因为方框内应是第（5）个点群，它的点数应该是10+3=13（个）。
　　（2）列表，依次写出各点群的点数，
　　可知第（10）个点群包含有28个点。

（3）前十个点群，所有点的总数是：
　　1+4+7+10+13+16+19+22+25+28=145（个）

例2图6—2表示“宝塔”，它们的层数不同，但都是由一样大的小三角形摆成的。仔细观察后，请你回答：
　　（1）五层的“宝塔”的最下层包含多少个小三角形？
　　（2）整个五层“宝塔”一共包含多少个小三角形？
　　（3）从第（1）到第（10）的十个“宝塔”，共包含多少个小三角形？

解：（1）数一数“宝塔”每层包含的小三角形数：

可见1，3，5，7是个奇数列，所以由这个规律猜出第五层应包含的小三角形是9个。
　　（2）整个五层塔共包含的小三角形个数是：
　　1+3+5+7+9=25（个）。
　　（3）每个“宝塔”所包含的小三角形数可列表如下：

由此发现从第（1）到第（10）共十个“宝塔”所包含的小三角形数是从1开始的自然数平方数列前十项之和：

例3下面的图形表示由一些方砖堆起来的“宝塔”。仔细观察后，请你回答：

（1）从上往下数，第五层包含几块砖？
　　（2）整个五层的“宝塔”共包含多少块砖？
　　（3）若另有一座这样的十层宝塔，共包含多少块砖？
　　解：（1）数一数，“宝塔”每层包含的方砖块数：

可见各层的方砖块数组成自然数平方数列，按此规律，第五层应包含的方砖块数是：
　　5×5=25（块）。
　　（2）整个五层“宝塔”共包含的方砖块数应是从1开始的前五个自然数的平方数相加之和，即：
　　1+4+9+16+25=55（块）。
　　（3）根据上面得到的规律，可求出十层宝塔所包含的方砖的块数：

教务签字

日期

作业完成情况
好
一般
差

8