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博弈论与非线性分析

俞建
贵州大学数学系
贵州省博弈、决策和控制理论重点实验室
2008年3月

（一）
我们知道，博弈论是由Von Neumann和Morgenstern在1944年合作的名著“博弈论与经济行为”[1]的出版而宣告诞生的. 在“序言”中，他们就提出“经济与社会问题可以从这个角度得到最好的解释”，在第1章中，他们又指出“博弈论是建立经济行为理论的最恰当的方法”.
[1]J.Von Neumann, O.Morgenstern, Theory of Games and Economic Behavior, 1944(有中译本，王文玉等译，2004).
[1]中深入研究了矩阵博弈：
局中人1，纯策略的集合，混合策略的集合.
局中人2，纯策略的集合，混合策略的集合.
如果局中人1选择，局中人2选择，则局中人2支付局中人1，所有构成一个矩阵. 这样，如果局中人1选择混合策略，局中人2选择混合策略，则局中人2支付局中人1的期望支付是.
Von Neumann证明了:
,使
换句话说，是此矩阵博弈的平衡点，或者有
.
以上结果称为最大最小定理(最好的愿望，最坏的准备).
年轻的Nash将Von Neumann的矩阵博弈的模型在两个方面作了推广：由2人→人，尤其是由零和→非零和, 这种博弈称为人有限非合作博弈.
以二人有限非合作博弈（双矩阵博弈）为例来说明：
如果局中人1选择纯策略, 局中人2选择纯策略，则局中人1得到支付, 局中人2得到支付, 未要求（），允许，双赢. 这样如果局中人1选择混合策略, 局中人2选择混合策略, 则局中人1和局中人2得到的期望支付分别是和.
1950和1951年，Nash[2][3]证明了：
,使

这样的之后称为Nash平衡点：谁都不能通过单独改变自己的策略而使自己获得更大的利益 .
Nash平衡点是非合作博弈中最重要、最核心的概念 .
[2]J.F.Nash, Proceedings of the National Academy of Sciences,USA,36(1950),48-49.
[3] J.F.Nash, Annals of Mathematics,54(1951),286-295.
Von Neumann 和Nash工作的两个理论前提：
⑴对每个局中人来说，所有信息都是公开的，完全的，对称的；
⑵每个局中人都是完全理性的，都能够在各自策略集中选择对自己最为有利的策略.
对应用来说，以上两个假设太理想了，太苛刻了，因为它要求每个局中人都是神——无所不知且无所不能. Harsanyi和Selten的工作分别在这两个方面提出了新的思想，大大扩展了博弈论的应用，正因为如此，他们才与Nash一起，在“博弈论与经济行为”一书出版整整50年后，共同获得了1994年的Nobel经济奖，也正是这次获奖，才确认了博弈论对经济理论的核心重要性.具体来说, Harsanyi在非对称信息条件下，提出了“类型”的概念，用Bayes方法对博弈论模型进行分析，为信息经济学奠定了基础. 而Selten将完全理性看作有限理性的极限，提出了Nash平衡点精练的概念.
Nobel经济奖中的博弈论工作
获奖年 份
获奖者
获奖原因

1994
Harsanyi
Nash
Selten
在非合作博弈平衡分析的研究中，作出了开创性的贡献
2005
Aumann
Schelling
在冲突与合作问题的研究中，作出了开创性的贡献

获奖年份
获奖者
获奖原因

1996
Mirrless
Vickrey
在非对称信息条件激励理论的研究中，作出了开创性的贡献

2001
Akelof
Spence
Stiglitz
在非对称信息市场的研究中，作出了开创性的贡献

2007
Hurwicz
Maskin
Myerson
在机制设计理论的研究中，作出了开创性贡献
1996年、2001年和2007年的获奖工作属于信息经济学的领域，而从本质上讲，这些工作都是非合作博弈论在经济学中的重要应用，因此也都包含在20世纪90年代以来出版的任何一本博弈论的教科书中. Maskin和Myerson都是杰出的博弈论学者，Myerson还有名著“博弈论，矛盾冲突分析”出版. 此外，2002年Nobel经济奖的获得者是Kahneman和Smith，其中Kahneman是因把心理学研究融入经济学而获奖,他是行为经济学的倡导人; Smith是因在实验经济学作出了开创性贡献而获奖，而许多经济学实验也是从博弈论开始的.
博弈论的研究近些年来如此火热，主要原因还在于经济实践发展和与之相适应的经济理论发展的需要. 近些年来，经济全球化深入发展，生产规模扩大，垄断势力增强，人们要谈判，讨价还价，进行交易，所有这一切都建立在个人理性的基础上，建立在竞争的基础之上. 随着这种竞争和冲突的日益加剧，各种策略和利益的对抗、依存和制约的持续发展，使博弈论（主要是非合作博弈）的研究达到了全盛时期，由它的概念、内容、思想和方法出发，已经并将继续几乎全面地改写经济学，也并将得到更加广泛的应用.
博弈论与经济学的关系极为密切，这是可以理解的，但是博弈论与非线性分析的关系又如何呢？二者也是非常密切的.
首先，Von Neumann在[1]中的“技术说明”中就指出：“很难说当代数学中的哪一分支学科及其哪一部分是必需的.不过，要想比较透彻地了解本书所分析的问题，读者必须超越传统的数学推理方式，这些推理主要是数理逻辑、集合论和泛函分析的推理”.
在[1]中，Von Neumann是用凸集分离定理来证明矩阵博弈平衡点的存在性的，而在[4]中，他用的是以下引理：
Von Neumann引理
设是两个非空有界闭凸集，是两个非空闭集. 如果
1)是非空闭凸集2)是非空闭凸集，
则.
[4]J.Von Neumann, Ergebnisse eines Mathenmatischen Kolloquiums,8(1935-1936),73-83.
在[2]和[3]中，Nash是分别应用以下Brouwer不动点定理和Kakutani不动点定理来证明人有限非合作博弈平衡点的存在性的.
Brouwer不动点定理
设是非空有界闭凸集,映射连续,则,使.
Kakutani不动点定理
设是非空有界闭凸集,集值映射上半连续,且，是中的非空闭凸集,则，使.
我们知道, Kakutani不动点定理是应用Brouwer不动点定理来证明的,而它也是Brouwer不动点定理的推广,见[5]; 而Kakutani不动点定理与Von Neumann引理是等价的,见[6].
[5]J.Franklin,Methods of Mathematical Economics,1980(有中译本,俞建,顾悦译,1985).
[6]K.C.Border,Fixed Point Theorems with Applications and Game Theory,1985.
这样, 无论是Von Neumann还是Nash, 两位大师对博弈论研究的奠基之作就与凸分析、集值映射、不动点定理，与非线性分析紧密联系在一起了.

(二)
Von Neumann的矩阵博弈的概念很快就被推广到以下二人零和博弈:
设和分别是局中人1和局中人2的策略集, 当局中人1选择策略,局中人2选择策略, 则局中人1从局中人2获得的支付为（此时局中人2从局中人1获得的支付为，支付和为零，故称为二人零和博弈）. 如果存在,,使

则称为此二人零和博弈的平衡点，此时, 有, 即是在中的鞍点.
Nash的 人非合作有限博弈的概念很快就被推广到以下人非合作博弈:
设是局中人的集合, ,是第个局中人的策略集, 是第个局中人的支付函数. ,记.如果存在,使,有
,
则称为此博弈的Nash平衡点.
如果,则此博弈的Nash平衡点即为在中的鞍点.
1) 平衡点与不动点的关系:
,定义集值映射如下:
.
定义集值映射如下:
.
则是以上博弈的Nash平衡点当且仅当是集值映射的不动点.
2) Nash平衡点与Ky Fan点的关系:
Ky Fan点的概念是由我们[7]引入的:设函数,如果,使,有,则称为函数的Ky Fan点. 注意到[8]引入了平衡问题的概念:如果,使,有,则称为平衡问题的解.无论是[7]还是[8],都是建立在非线性分析中著名的Ky Fan不等式的基础之上的[9].
[7]K.K.Tan,J.Yu,X.Z.Yuan,Proc.Amer.Math.Soc,123(1995),1511-1519.
[8]E.Blum,W.Oettli,Math.Student,63(1994),123-145.
[9]Ky Fan,in Inequality Ⅲ(O.Shisha Eds),1972,103-113.
定义函数如下:
.
则是以上博弈的Nash平衡点当且仅当是函数的KyFan点.
以上人非合作博弈的概念很快又被推广到以下的广义博弈:
设,是第个局中人的可行策略映射.如果存在,使,有,且
,
则称为此广义博弈的平衡点.
如果,则此广义博弈的平衡点即为人非合作博弈Nash平衡点.
1) 平衡点与不动点的关系:
,定义集值映射如下:
.
定义集值映射如下:
.
则是以上广义博弈的平衡点当且仅当是集值映射的不动点.
2) 平衡点与拟变分不等式(QVI)解的关系:
定义函数如下:
.
定义集值映射如下:
.
则是以上广义博弈的平衡点当且仅当是拟变分不等式的解(即, 且,有).
1954年, Arrow和Debreu[10]正是应用广义博弈平衡点的存在性证明了数理经济学中一般均衡的存在性, Arrow和Debreu也主要是因为这项杰出的工作而分别在1972年和1983年获得Nobel经济奖. 更加详尽的研究见[11].
[10]K.J.Arrow,G.Debreu,Econometrica,22(1954),165-290.
[11]A.Mas-Colell,M.D.Whinston,J.R.Green,MicroeconomicTheoy,1995(有中译本，刘文忻，李绍荣主译2001) .
以下是著名的Fan-Glicksberg不动点定理, Fan－Browder不动点定理和Ky Fan不等式:
(1) Fan-Glicksberg不动点定理
设是Hausdorff局部凸空间中的非空凸紧集, 集值映射是上半连续的,且, 是中的非空凸紧集, 则, 使.
(2) Fan－Browder不动点定理
设是Hausdorff线性拓扑空间中的非空凸紧集, 集值映射满足
1), 是中的非空凸集,
2), 是中的开集,
则, 使.
(3) Ky Fan不等式
设是Hausdorff线性拓扑空间中的非空凸紧集, 满足
1）, 在上是下半连续的,
2）, 在上是拟凹的,
3）, ,
则, 使, 有.
应用以上三个结果,可以证明以下二人零和博弈平衡点存在性定理, 人非合作博弈Nash平衡点存在性定理和广义博弈的平衡点存在性定理.
(1)二人零和博弈鞍点存在性定理
设和分别是Hausdorff线性拓扑空间和中的非空凸紧集, 满足
1) , 是下半连续和拟凸的,
2）, 是上半连续和拟凹的,
则, 使, 有
.
(2) 人非合作博弈Nash平衡点存在性定理
设是局中人的集合,, 设是Hausdorff线性拓扑空间中的非空凸紧集, 连续, 且, 在上是拟凹的, 则, 使, 有
.
(3) 广义博弈的平衡点存在性定理
设是局中人的集合, , 设是Hausdorff局部凸空间中的非空凸紧集, 连续, 且, 在上是拟凹的,集值映射 连续, 且,是中的非空凸紧集, 则, 使, 有, 且
.
当然以上存在性定理都可以有不少推广,我们做过不少工作,例如见[12].
[12]K.K.Tan,J.Yu,X.Z.Yuan,Inter.J.Game Theory,24(1995),217-222.

(三)
目前博弈论的难题是一个博弈可能有多个平衡点而如何选取的问题.
对矩阵博弈,或者更广泛的二人零和博弈,这个难题不存在. 设和分别是局中人1和局中人2的策略集, 是局中人1的支付函数,记是在中的鞍点全体. 可以容易地证明,如果, , 则,, 且. 这说明即使在中的鞍点不唯一,也不存在如何合理选取的问题,因为局中人1选择策略或, 局中人2选择策略或,得到的都是鞍点,且无论在哪个鞍点处, 局中人1和局中人2得到的支付都是相等的.
以上结果对双矩阵博弈就不成立. Nash平衡点太多了,应当加以精练, Selten在1975年给出了以下完美平衡点的概念[13].
[13]R.Selten, Inter.J.Game Theory,4(1975),25-55.
以双矩阵博弈为例：
设局中人1和局中人2都不是完全理性的，而是有限理性的，是可能犯错误的，在他们作出决策时可能会发生某种“颤抖”. 设足够小（满足, ）, 而
是扰动博弈中局中人1的策略集,
是扰动博弈中局中人2的策略集.
扰动博弈必存在Nash平衡点.如果是当时的一个极限点, 即是当局中人1和局中人2犯错误的概率逐渐减小, “颤抖”逐渐消失时被扰动博弈平衡点的极限点, 则称是原博弈的一个完美平衡点. Selten证明了完美平衡点必存在. 这种经扰动而回复的平衡点, 当然具有一种稳定性. 用这种方法, Selten就删除了一些不稳定的平衡点, 使太多了的Nash平衡点得到了一种精炼.
实际上,中国数学家吴文俊和江加禾[14]早在1962年就给出了一个深刻的结果.为了研究Nash平衡点的稳定性, 他们对人有限非合作博弈引入了本质平衡点和本质博弈的概念, 并证明了任意有限非合作博弈都可以用一列本质博弈来任意逼近,而他们是应用[15]中关于本质不动点的结果而得到这一结果的.
[14]W.T.Wu,J.H.Jiang,Scientia Sinica,11(1962),1307-1322.
[15]M.K.Fort,Amer.J.of Math,72(1950),315-322.
以双矩阵博弈为例, ,定义映射如下:
, ；
, .
容易验证: ；,
. Nash早已证明, 是双矩阵博弈的平衡点当且仅当是连续映射在中的不动点. [14]证明了由双矩阵博弈(和确定)到连续映射的映射是连续的,于是由[15]中本质不动点的结果即可推得双矩阵博弈本质平衡点的结果.
一般情况下,我们可以考虑定义在线性赋范空间凸紧集上满足一定连续性和凸性条件的向量值函数的集合,在适当引进距离之后, 成为一个完备度量空间. 表示对应于博弈(分别表示个局中人的定义在上的支付函数)的所有Nash平衡点所成之集.我们要问:当变化很小时,集合是否变化也很小?这当然是稳定性问题的研究. 称为博弈的本质平衡点,是指当充分接近时,有也充分接近;称为本质博弈,是指所有都是博弈的本质平衡点.我们[16]证明了: 是本质博弈当且仅当集值映射在是连续的;应用Fort关于集值映射通有连续性(generic continuity)的结果[17],我们[16]还证明了:存在中一个稠密剩余集 (称为剩余集,是指包含一列在中稠密开集的交集),使,是本质博弈(因在中稠密,任一博弈当然可以用一列本质博弈来任意逼近),此时, ,其中是上的Hausdorff距离,博弈的Nash平衡点集是稳定的.更加深入的研究可见[18][19],其中[19]是关于空间类的讨论.
[16]俞建，应用数学学报，16（1993），153-157.
[17] M.K.Fort,Publ.Math.Debrecen,2(1951),100-102.
[18]J.Yu,J of Mathematical Economics,31(1999),361-372.
[19] J.Yu, X.Z.Yuan, Proc.Amer.Math.Soc,124(1996),3357-3359.
在Baire分类的意义下，稠密剩余集是第二类型的（第二纲的），即对大多数的博弈来说，它的Nash平衡点集都是稳定的.
应用类似的方法，我们[20]还证明了：设和分别是线性赋范空间和中的凸紧集，是满足一定连续性和凸性条件的函数的集合(在适当引进距离之后, 成为一个完备度量空间)，则存在中的一个稠密剩余集，使,在中的鞍点是唯一的，即在Baire分类的意义上，对绝大多数的函数，它的鞍点都是唯一的.
[20]K.K.Tan,J.Yu,X.Z.Yuan,Bull.Polish Acad. of Sci. Mathematics,43(1995),119-129.
关于有限理性与平衡的稳定性的关系，还可见[21][22].
[21]C.Yu,J.Yu,Nonlinear Analysis,Theroy,Method s and Applications,65(2006),583-592.
[22]C.Yu,J.Yu,Nonlinear Analysis,Theroy,Methods and Applications,
67(2007),930-937.
在Selten之后, 考虑到各种形式的颤抖和扰动, 又有恰当平衡点[23]、序列平衡点[24]等精炼概念.
[23]R.B.Myerson, Inter.J.Game Theory,7(1978),73-80.
[24]D.Kreps,R.Wilson,Econometrica,50(1982),863-894
1986年, 为了更加全面地研究Nash平衡点的稳定性, Kohlberg和Mertens[25]提出了这样的问题: 一个稳定的Nash平衡点应该满足哪些必要的条件? 这是公理化的方法, 他们希望用这种方法对平衡点进行精炼. 通过细致的论证, 他们得出结论: 一般还不能将它精炼成单点集, 它只能是集值的，是所谓平衡点集的本质连通区. 因为在人有限非合作博弈中，每个局中人的策略集均为单纯形, 支付函数也均为多项式, 其Nash平衡点集就必是等式和不等式的有限系统的解集,称为半代数集(semi-algebraic set). 他们首先应用代数几何的方法证明了: 任一人有限非合作博弈，其平衡点集的连通区必为有限个, 然后证明了至少有一个是本质的. 这一工作影响很大, 而他们的工作又被[26]等改进和推广. 更加深入的研究可见[27][28].
[25]E.Kohlberg,J.F.Mertens,Econometrica,54(1986),1003-1037.
[26]J.Hillas,Econometrica,58(1990),1365-1390.
[27]J.Hillas,M.Jensen,J.Potters,D.Vermeulen,Mathematics of Operations Research,26(2001),611-636.
[28]S.Govindan,RWilson,Proc.Nat.Acad.Sci.,102(2005),15706-15711.
实际上,江加禾早在1963年就证明了: 任一人有限非合作博弈的Nash平衡点集的连通区中,至少有一个是本质的[29](他未对Nash平衡的稳定性给出深入的背景分析,也未能证明任一人有限非合作博弈的Nash平衡点集的连通区必为有限个),他是受[30]中关于不动点集本质连通区存在性结果的影响而得到这一结果的.
[29]J.H.Jiang, Scientia Sinica,12(1963),951-964.
[30]S.Kinoshita,Osaka J.Math.,4(1952),19-22
一般情况下,我们可以考虑定义在线性赋范空间凸紧集上满足一定连续性和凸性条件的向量值函数的集合,在适当引进距离之后, 成为一个距离空间. 表示对应于博弈(分别表示个局中人的定义在上的支付函数)的所有Nash平衡点所成之集.将作以下分解:
,
其中是的一个连通区(分支,component), ，是一个指标集.
本质连通区定义:
如果对中任意开集,当充分接近时,有,则称是的一个本质连通区(分支).此时当充分接近时,有也充分接近.
我们希望对以上情况给出本质连通区的存在性结论,但由于局中人策略集和支付函数的一般性,已不能再应用代数几何的方法.
我们应用非线性分析的方法[31],对一般情况证明了至少有一个连通区是本质的.这不仅推广了[25]中的主要结论,而且还给出了它的一个新的证明.
[31]J.Yu,S.W.Xiang,Nonlinear Analysis,Theroy,Methods and Applications,38(1999),259-264.
关于广义博弈、多目标博弈和连续博弈平衡点集本质连通区的存在性还可见以下[32][33][34].
[32] J.Yu,Q.Luo,J.Math.Anal.Appl.,230(1999),303-310.
[33]H.Yang,J.Yu,Appl.Math.Lett.,15(2002),553-560.
[34]Y.H.Zhou,J.Yu,S.W.Xiang,Inter.J.Game Theory,35(2007),493-503.
[35]和[36]还利用集值映射给出了统一的本质连通区存在性和稳定性定理.
[35] 俞建，陈国强，向淑文，杨辉，应用数学学报，27（2004），201-209.
[36] J.Yu, H.Yang, S.W.Xiang, Nonlinear Analysis,Theroy,Methods and Applications,63(2005),e2415-2425.
最后,对博弈论与非线性分析研究的初步总结,可见综述[37],尤其可见专著[38].
[37]俞建，系统科学与数学，22（2002），296-311.
[38]俞建,博弈论与非线性分析,科学出版社,2008.
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