1、《2.3.3 双曲线的参数方程》同步练习1
基础达标
1．若x2＋y2＝4，则x－y的最大值是 ( )
A．2 B.
C．1 D．2
答案：A
解析：x2＋y2＝4的参数方程为(θ为参数)，
∴x－y＝2cos θ－2sin θ＝2cos，∴最大值为2.
2．方程(t为参数)的图形是 ( )
A．双曲线左支 B．双曲线右支
C．双曲线上支 D．双曲线下支
答案：B
解析：x2－y2＝(et＋e－t)2－(et－e－t)2＝4.
又et＋e－t＝et＋≥2，
∴方程表示的图形是双曲线的右支．
3．曲线 (θ为参数)上的点到两坐标轴的距离之和
2、的最大值为( )
A. B.
C．1 D.
答案：D
解析：因为曲线表示单位圆，其圆心在原点，半径为1，所以曲线上的点到两坐标轴的距离之和不小于1，且不会恒等于1(这是因为直角三角形两直角边之和大于斜边的缘故)，故最大值必大于1，排除A，B，C，故选D.
4．双曲线(φ为参数)的渐近线方程为________．
答案：y＝－或y＝－＋
解析：将参数方程化为普通方程为y2－＝1，∴它的渐近线方程为y＝±.
5．点P(1,0)到曲线(其中参数t∈R)上的点的最短距离为________．
答案：1
解析：点P(1,0)到曲线上的点的距离设为d，
则d＝＝＝＝t2＋1
3、≥1.
6．已知点M(2,1)和双曲线x2－＝1，求以M为中点的双曲线右支的弦AB所在的直线l的方程．
解：设直线l的参数方程是(t为参数)，代入双曲线的方程可得关于t的二次方程(2＋tcos α)2－＝1，
即(2cos2α－sin2α)t2＋(8cos α－2sin α)t＋5＝0，
并设弦的两个端点A、B对应的参数分别为t1、t2.
由于M是中点，所以t1＋t2＝0，
即－＝0.
所以，tan α＝4，即直线的斜率是4.
所以，直线的方程是y－1＝4(x－2)．即4x－y－7＝0.
综合提高
7．设a，b ∈R，a2＋2b2＝6，则a＋b的最小值是 ( )
A．－
4、2 B．－
C．－3 D．－
答案：C
解析：不妨设(α为参数)，
则a＋b＝cos α＋sin α＝3sin(α＋φ0)，其中tan φ0＝，∴(a＋b)min＝－3.
8．已知双曲线C的参数方程为 (θ为参数)，在下列直线的参数方程中
① ② ③
④ ⑤ (以上方程中，t为参数)，可以作为双曲线C的渐近线方程的是 ( )
A．①③⑤ B．①⑤
C．①②④ D．②④⑤
答案：A
解析：由双曲线参数方程知，在双曲线中对应的a＝3，b＝4且双曲线的焦点在x轴上，因此其渐近线方程是y＝±x.检验所给直线的参数方程可知只有①③⑤适合条件．
9．圆锥
5、曲线(θ为参数)的准线方程是________．
答案：y＝±
解析：根据条件和三角函数的性质可知，对应的普通方程为－＝1，表示的曲线是焦点在y轴的双曲线．且对应的a＝3，b＝2，c＝，所以，准线方程是y＝±.
10．点(x，y)是曲线C：(θ为参数，0≤θ<π)上任意一点，则的取值范围是________．
答案：
解析：曲线的方程可化为(x＋2)2＋y2＝1，∵0≤θ<π，
∴cos θ∈(－1,1]，sin θ∈[0,1]，
即x∈(－3，－1)，y∈[0,1]，
如图是曲线C所对应的图象，
而表示曲线上的点与原点连线的斜率，可知max＝0，max＝－，
∴的取值范围
6、是.
11．过点B(0，－a)作双曲线x2－y2＝a2右支的割线BCD，又过右焦点F作平行于BD的直线，交双曲线于G，H两点．设M为弦CD的中点，S△MBF＝a2，求割线BD的倾斜角．
解：设直线BD的参数方程为(t为参数，α为倾斜角)．
将其代入双曲线的方程得t2cos2α＋2atsin α－2a2＝0，由直线BD与双曲线有两交点则A＝4a2sin2α＋8a2cos2α＞0，
所以sin α＜， ∴|tan α|＜.
由根与系数的关系可得t1＋t2＝－，
当a＞0时，显然1＜tan α＜，于是BM＝＝＝－＞0.设F到BD的距离为d，则
d＝＝，
∴·＝a2，
∴tan α＝
7、或tan α＝－(舍)．∴α＝arctan.
同理，当a＜0时，－＜tan α＜－1.
同理可求得tan α＝－，∴α＝π－arctan，
故BD的倾斜角为arctan或π－arctan.
12．(创新拓展)一炮弹在某处爆炸，在F1(－5 000,0)处听到爆炸声的时间比在F2(5 000,0)处晚秒，已知坐标轴的单位长度为1米，声速为340米/秒，爆炸点应在什么样的曲线上？并求爆炸点所在曲线的参数方程．
分析：本题与实际生活紧密相关，主要考查学生能否将所学数学知识应用于实际生活中来解决相关的问题，并注意曲线的普通方程与参数方程之间的关系．
解：由声速为340米/秒可知，F1，F2两处与爆炸点的距离差为340×＝6 000(米)．因此爆炸点在以F1，F2为焦点的双曲线上．因为爆炸点离F1处比F2处更远，所以爆炸点D应在靠近F2的一支上．
设爆炸点P的坐标为(x，y)，
则|PF1|－|PF2|＝6 000，即2a＝6 000，
从而a＝3 000，而c＝5 000，
∴b2＝5 0002－3 0002＝4 0002.
又|PF1|－|PF2|＝6 000>0，∴x>0.
∴所求的双曲线方程为－＝1 (x>0)．
故所求曲线的参数方程为
参数θ∈－，.
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