利用割补法解几何题[1].doc

利用割补法巧解几何题
温州实验中学：江瑛
割补法在初中数学竞赛中经常用到，实际上它也广泛应用于一般几何证明题中。下面我就从四个方面来说明割补法在几何证明中的重要性：
一． 利用垂直与特殊角割补成特殊三角形
例1：四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，
∠A=135°，AD=2，BC=6 H
求四边形ABCD面积
解：由题意知：∵∠C=45°，利用∠B=90° D
∠C=45°，延长BA、CD交于H，将
图形割补成特殊△HBC（等腰Rt三角形） A
易求：HD=AD=2 HB=BC=6 ，

∴S四边形ABCD=1/2·6·6—1/2·2·2=16
B C

例2：四边形ABCD中，AB=8，BC=1，∠DAB H
=30°，∠ABC=60°，四边形ABCD
面积为5√3， D
求AD长 C
解：由题意知：∠A=30°，∠B=60°利用
已知延长AD、BC交于H，将图形割
补成特殊三角形。 B
∵∠A=30°，AB=8
∴BH=4，AH=4√3，CH=3 A
∴S△ABH=8√3，S△HDC=3√3=1/2HC·DH
∴DH=2√3 AD=2√3
D
思考题：
1． 已知：四边形ABCD中，AB=2，CD=1， C
∠A=60°，∠B=∠D=90°
求四边形ABCD面积

A B

2．四边形ABCD中，∠ABC =135°， D
∠BCD=120°，AB=2√6 ，
BC=5√3 ，CD=6
求AD长 A

C B
二．利用角平分线与垂直割补全等
例1：△ABC是等腰Rt三角形，∠A=90°，AB=AC， F
BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD延长线于E
求证：BD=2CE
解：∵BD平分∠ABC，且CE⊥BE， A
∴延长BA、CE交于F，将图形割补成 E
轴对称图形△BCF
即：△FBE≌△CBE， D
易证：△ABD≌△ACF
∴BD=CF=2CE B C

思考题：
1． 已知：AB=3AC，AD平分∠BAC，
BD⊥AD，AD交于BC于O C D
求证：OA=OD O

A B

2． 已知：锐角△ABC中，∠B=2∠C A
∠B的平分线与AD垂直
求证：AC=2BD

D

B C

三．利用互补割补全等

例1：五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED C D
=90°AB=CD=AE=BC+DE=1
求五边形ABCDE面积 B
解：延长CB到F，使BF=DE连
AD、AF、AC E
易证：△AED≌△ABF， F
△ADC≌△AFC，
∴五边形ABCDE面积为△ACF
面积的2倍，即等于1 A

例2：在四边形ABCD中，已知：AB= A E
AD,∠BAD=∠BCD=90°，AH⊥
BC，且 AH=1
求四边形ABCD面积 D
解：过A作AE⊥AH交CD延长线于E
易证：△ABH≌△ADE
∴AH=AE=1
∴四边形ABCD面积为正方形
AHCE面积等于1 B H C

思考题：
1．五边形ABCDE中，AB=AE， A
BC+DE=CD，∠ABC+∠AED
=180°，连AD E
求证：AD平分∠CDE

D
B

C

2△ABC为边长是1的正三角形，△BDC是顶角 A
∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点，
作一个60°两边分别交AB于M、
交AC于N，连MN。
求△AMN周长

M N

B C

D

四：利用特殊角割补成规则图形 H
例1：一个六边形六内角都是120°，连续
四边长分别为1、3、3、2。
求该六边形面积和周长 E D
解：利用每个内角为120°，延长不相邻边
EF、AB、CD，两两相交于M、
N、H，
∴得到正三角形HMN
利用等边△性质，得到MA=MF=AF F C
=4，EF=2
∴易求六边形的面积为=8.75√3
周长为=1+3+3+2+2+4=15
M A B N

例2：△ABC中，∠BAC=45°， A
AD⊥BC于D，BD=2，DC=3
求S△ABC
解：利用∠BAD与∠CAD之和为45°，
将△ABD和△ACD分别以边AB、
AC为边向外翻折成△ABE，
△ACG，延长EB、GC，将图 E
形割补成正方形AEFG。 G
设AD=AE=AG=EF=FG=X，
则BF=X—2， FC=X—3 B D C
∴BC2=BF2+FC2， 52=(X—2) 2+（X—3）2
∴X=6
∴S△ABC=1/2·5·6=15 F

思考题：
1． 凸无边形ABCDE中，∠A=∠B=120°， C
EA=AB=BC=2，CD=DE=4，
求五边形ABCDE面积 B

D
A

E

2． 六边形ABCDEF中，∠A=∠B=
∠C=∠D=∠E=∠F=120°， A F
求证：AB+BC=EF+ED

B E

C D

同学们：如果你有空跟着我们看看练练，就一定能提高做题感觉，再次遇到这类题型时，相信你一定能“下笔如有神！”试试吧！