数列放缩法1.doc

放缩法的注意问题以及解题策略
1、明确放缩的方向：即是放大还是缩小，看证明的结论，是小于某项，则放大，是大于某个项，则缩小。
2、放缩的项数：有时从第一项开始，有时从第三项，有时第三项，等等，即不一定是对全部项进行放缩。
3、放缩法的常见技巧及常见的放缩式：
（1）根式的放缩：；
（2）在分式中放大或缩小分子或分母：；
真分数分子分母同时减一个正数，则变大；，；
假分数分子分母同时减一个正数，则变小，如；
（3）应用基本不等式放缩：；
（4）二项式定理放缩：如；
（5）舍掉（或加进）一些项，如：。

（6）裂项放缩:(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)

(8)
(9)
(10) (11)
(11)
(12)

(13)
(14)
(15)

一、 放缩后转化为等比数列。
例1. 满足：
（1） 用数学归纳法证明：
（2） ，求证：
解：(1)略(2)
又 ，
迭乘得：

点评：把握“”这一特征对“”进行变形，然后去掉一个正项，这是不等式证明放缩的常用手法。这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法，似乎是不可能的,为什么？值得体味！
例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：；
（2）等比数列{an}中，，前n项的和为An，且A7，A9，A8成等差数列．设，数列{bn}前n项的和为Bn，证明：Bn＜．
解：（1）当n为奇数时，an≥a，于是，．
当n为偶数时，a－1≥1，且an≥a2，于是
．
（2）∵，，，∴公比．
∴． ．
∴．
3．放缩后为差比数列，再求和
例4．已知数列满足：，．求证：

证明：因为，所以与同号，又因为，所以，
即，即．所以数列为递增数列，所以，
即，累加得：．
令，所以，两式相减得：
，所以，所以，
故得．
1．放缩后成等差数列，再求和
例2．已知各项均为正数的数列的前项和为,且.
(1) 求证：；(2) 求证：
解：（1）在条件中，令，得， ，又由条件有，上述两式相减，注意到得
∴
所以， ，
所以
（2）因为，所以，所以

；
4、等比公式放缩法：先放缩构造成等比数列，再求和，最后二次放缩实现目标转化。
例5已知数列的各项均为正数，且满足记，数列的前项和为，且．
（I）数列和的通项公式；
（II）求证： ．
略解：（I） ，，。
证明：（II）．

∴．
反思：右边是，感觉是个的和，而中间刚好是项，所以利用；左边是不能用同样的方式来实现，想到，试着考虑将缩小成是等比数列），从而找到了此题的突破口。
二、放缩后裂项迭加
例2．数列，，其前项和为求证：
解：
令，的前项和为当时，

点评:本题是放缩后迭加。放缩的方法是加上或减去一个常数，也是常用的放缩手法。值得注意的是若从第二项开始放大，得不到证题结论，前三项不变，从第四项开始放大，命题才得证，这就需要尝试和创新的精神。
例3.已知函数的图象在处的切线方程为
（1）用表示出
（2）若在上恒成立，求的取值范围
（3）证明：
解：（1）（2）略（3）由（II）知：当
令且当
令
即
将上述n个不等式依次相加得
整理得
点评：本题是2010湖北高考理科第21题。近年，以函数为背景建立一个不等关系，然后对变量进行代换、变形，形成裂项迭加的样式，证明不等式这是一种趋势，应特别关注。当然，此题还可考虑用数学归纳法，但仍需用第二问的结论。
1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式问题。裂项放缩法主要有两种类型：
（1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。例1设数列的前项的和，。设，，证明：。
证明：易得，
=点评： 此题的关键是将裂项成，然后再求和，即可达到目标。
4．放缩后为裂项相消，再求和
例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m时Pi＞Pj（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为an，如排列21的逆序数，排列321的逆序数．（1）求a4、a5，并写出an的表达式；
（2）令，证明，n=1,2,….
解（1）由已知得，.
（2）因为，
所以.
又因为，
所以
=.综上，.
注：常用放缩的结论：（1）
（2）．

三、 放缩后迭乘
例4．.
（1） 求
（2） 令，求数列的通项公式
（3） 已知，求证：
解：（1）（2）略由（2）得

点评：裂项迭加，是项项相互抵消，而迭乘是项项约分，其原理是一样的，都似多米诺骨牌效应。只是求项和时用迭加，求项乘时用迭乘。
6固定一部分项，放缩另外的项；
例6、求证：
此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。
19.（本小题满分14分）已知正项数列的首项，前项和满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和为，求证：
19．【解题思路】（1）当时，，，
又，，．所以当时，．…………………7分
（2），
当时，………14分
19 .（本小题满分14分）
已知各项均为正数的数列的前项和为,且.
（1）求
(2) 求数列的通项；
(3) 若,，求证：＜
【答案解析】(I) (II) (III) ＜
解析：解：（1）令，得， ………2分
(2)又………①
有…………　②……………………3分
②-①得…………………4分

∴ ……………………6分
∴ …………………………8分
(3)n=1时=1＜符合………………………9分
时，因为,…………………………11分
所以
………….13分
∴＜…………………………14分
19．（本题满分分）
设数列的前项和为，已知，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：对一切正整数，有.
解：本题考查数列的通项与前n项和的关系等差数列的通项公式、裂项求和、放缩法等基础知识和基本方法，考查化归与转化思想、分类与整合思想，考查考生的运算求解能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问题能力．
（1）（解法一）
依题意，又，所以 ………（2分）
当，
，
两式相减得

整理得 ，即， ………（6分）
又，故数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以所以 ………（8分）
（解法二）
， ，得， .......（2分）
猜想 .......3分）
下面用数学归纳法证明：
（1）当时，猜想成立；
（2）假设当时，猜想也成立，即 .............（4分）
当时，
=
，........（5分）

时，猜想也成立 ............（6分）
由（1），（2）知，对于，猜想成立。
，当，也满足此式，故 .........（8分）
（2）证明：当； ………（9分）
当； ………（10分）
当， ………（12分）
此时

综上，对一切正整数n，有 ……………（14分）
19.(本小题满分14分)数列的首项且满足.
(1)证明数列是等差数列;(2)求数列的前项和.[来源:www.shulih
例1、若是自然数，求证
证明：

= =
注意：实际上，我们在证明的过程中，已经得到一个更强的结论，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。
例2、求证：
证明：由（是大于2的自然数）
得
[
4、把握放缩的尺度：如何确定放缩的尺度，不能过当，是应用放缩法证明中最关键、最难把握的问题。这需要勤于观察和思考，抓住欲证命题的特点，只有这样，才能使问题迎刃而解。
再看例2，若构造函数，
则

前后不等号不一致，不能确定的单调性，此时放缩过当，此题不适宜用单调函数放缩法。若要证明，则

，所以，从而递增，，所以成立，此时用单调函数放缩法可行。同样的题干，稍有调整，我们所用的方法便有不同。
5、放缩法的策略以及精度的控制
例10已知数列的前项和为，且满足。
（I）数列是否为等差数列？并证明你的结论； （II）求和；
（III）求证：。
简解：（1）（2）
（3）证法一：当时，成立；当，
=
综上所述，。
证法二：
。
点评：两种证法的不同在于策略的选择不同。方法一是将放大成，需从第二项起，要分类讨论；而方法二是将放大成。明显比大很多，比更接近。从中可以发现放缩后的式子越接近放缩前的式子，即放缩程度越小，精确程度越高，保留的项就越少，运算就越简单。因此，在放缩时，要尽量缩小放缩度，提高放缩精度，避免运算上的麻烦。
本文选取的例题都是高考或模拟考中的压轴题，有一定难度，从中我们可以发现放缩法是证明数列型不等式的压轴题的最重要的方法。对于某个题目可能用到单一的放缩法，也可能用到复合型的放缩法，在平时或考试中遇到数列型不等式的证明问题，我们不能望题兴叹，也不能轻言放弃，更不能盲目瞎撞。多想几个为什么：用放缩法能否解决，是哪种类型的放缩法，要注意什么问题等等。只有正确把握了放缩法的方法思路和规律特征，我们在证明数列型不等式的压轴题时，就会豁然开朗，快速找到突破口，成为解决此类题的高手。
一．先求和后放缩
例1．正数数列的前项的和，满足，试求：
（1）数列的通项公式；
（2）设，数列的前项的和为，求证：
解：（1）由已知得，时，，作差得：，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以
（2），所以

注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列满足条件）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和．
2设数列{}满足求{}的通项公式；
（1） 若
求证：数列{}的前n项和
分析：（1）此时我们不妨设
即与已知条件式比较系数得
又是首项为2，公比为2的等比数列。.
（2） 由（1）知. 当时,

当n=1时，=1也适合上式，所以，故
方法一：，(这步难度较大,也较关键,后一式缩至常数不易想到.必须要有执果索因的分析才可推测出.)
.
方法二 :在数列中,简单尝试的方法也相当重要.很多学生做此题时想用裂项相消法但是发现此种处理达不到目的.但是当n3时,我们看:

易验证当n=1，2时 . 综上
4求证：
证明：

此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。
15