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理论依据
本文根据范希尔几何思维水平理论作为依据，范希尔几何思维水平 祁明衡.范希尔理论下的初中生几何思维水平现状研究[D].首都师范大学硕士学位论文
应该包括以下六个阶段:
0-水平（前认知阶段Former Cognitive)：在这个阶段的学生只能识别一些常见的图形，能区别曲线和直线。例如：不能对正方形和园很好区别，其推理对象是具体的形象。
1-水平（视觉 Visually)：学生只能够从整体上对几何图形进行感性的认识,根据图形的形状来进行分类。对性质还不了解。
2-水平（分析Analysis)：处于2-水平的学生,能够认识到图形的特征,并能通过图形的性质来区分不同图形,例如,学生开始明白只要是四条边相等的图形就是菱形。开始能对图形的组成要素及特征进行分析,利用某一性质做图形分类,但不能够进行演绎推理。例如:知道三角形有三条边和三个角,但不能理解内角越大,则对边越长的性质。
3-水平（非形式化的演绎Informal Deduction)：这个阶段的学生能够理解图形特征与图形性质之间的关系,利用性质、公式和定理进行演绎推理，但是不能做多步的推理论证。例如,能够根据全等条件对三角形进行全等判定,但还分不清性质与定理的关系。
4-水平（形式化的演绎Formal deduction)：处于该水平的学生逻辑思维能力明显提高，对一道几何题能用不同的方式来解决，能对问题进行合理的猜测，然后正确证明。能写出一个定理的逆定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，逆定理是两边平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形。
5-水平（严密性Rigour)：处于这个层次的学生能够进行严格的几何推理,能够理解不同几何系统的差异。例如,能区别欧氏几何与非欧氏几何系统的差异。甚至可以自创一种几几何推理的层次划分 

上世纪50年代，荷兰的范希尔夫妇划分的几何思维理论对几何课程具有重要的指导意义，范希尔几何分类理论把几何思维分成以下几个水平[2]。 
水平0，视觉。这个阶段儿童能通过整体轮廓辨认图形，并能操作其几何构图元素（如边、角）；能画图或仿画图形，使用标准或不标准名称描述几何图形；能根据对形状的操作解决几何问题等。水平1，分析。该阶段儿童能分析图形的组成要素及特征，并依此建立图形的特性，利用这些特性解决几何问题，但无法解释性质间的关系，也无法了解图形的定义；能根据组成要素比较两个形体，利用某一性质做图形分类等。水平2，非形式化的演绎。该阶段儿童能建立图形及图形性质之间的关系，可以提出非形式化的推论，了解建构图形的要素，能进一步探求图形的内在属性和其包含关系，使用公式与定义及发现的性质做演绎推论。水平3，形式的演绎。该阶段学生可以了解到证明的重要性和了解“不定义元素”、“定理”和“公理”的意义，确信几何定理是需要形式逻辑推演才能建立的，理解解决几何问题必须具备充分或必要条件；能猜测并尝试用演绎方式证实其猜测，能够以逻辑推理解释几何学中的公理、定义、定理等。水平4，严密性。在这个层次能在不同的公理系统下严谨地建立定理以分析比较不同的几何系统，如欧氏几何与非欧氏几何系统的比较。何公设系统。一般人是很难达到这一水平的。
范希尔夫妇认为学生的几何思维主要有哪些发展阶段？

答：荷兰学者范希尔夫妇经过理论和实践两方面的长期探索，指出学生的几何思维存在5个水平：直观、分析、推理、演绎、严谨．这些不同的水平是不连续的，但却是顺次的．学生在进入某一水平学习之前，必须掌握之前水平的大部分内容.

水平1：直观化。学生按照外观来识别和操作形状和另外一些几何图形。他们能在心理上把这些图形表示为直观图像。例如，学生说所给的图形是矩形，是因为它“看起来像门”。然而，他们不关心几何性质或所表示图形种类的特征化。也就是说，尽管图形的性质决定图形，而这个水平的学生装却未意识到图形的性质。在这个水平上，学生的推理为知觉所主宰。
水平2：描述/分析。到了第二个水平。学生通过图形的性质来识别图形并能确定图形的特征.例如，一个学生可能认为菱形是四条边相等的图形；因此，术语“菱形”指的是“他已经学过的所谓‘菱形’性质”的一个集合。通过观察、测量、画图和建模等手段经验地建立了性质。 水平3：抽象/关联。在水平3，学生能形成抽象的定义。区分要领的必要条件和充分条件；能理解几何领域的逻辑论证，有时甚至能提出这样的论证。他们能分层次将图形分类（通过排出图形性质的顺序）并给出判别它们类别的非形式化论证。例如，一个正方形被识别属菱形，因为可以将它考虑为一个“具有某些外部性质的菱形”，利用非形式化的推导，他们能发现图形分类的性质。例如，由于任何四边形可被重组成两个三角形，而每一个三角形的内角和是180度。他们推导任何四边形的内角和一定是360度，随着学生发现不同开头的性质，他们觉得有组织这些性质的需要。思想的这种逻辑组织是正确推理的首要表现形式。 水平4：形式推理。达到水平4时，学生在公理化系统中建立定理。他们识别未定义术语、定义、公理和定理之间的差异。他们能构造原始的证明；也就是说，他们可以作出系列陈述，对作为“已知条件”的结果的一个结论作逻辑判断。在这个水平，通过逻辑解释像公理、定义和定理的几何陈述。学生能进行形式推理，推理的对象是图形分类性质的关系，推量的产物是建立亚序关系——关系之间的关系——并在一个几何系统中用逻辑链来表述。 水平5：严密性/元数学。在第5水平，学生在数学系统中进行形式推理。即便没有参照模型，他们也能研究几何，而且还能通过形式化地操作如公理、定义、定理等几何陈述进行推理。推理的对象是形式化构造间的关系。他们推理的产物是几何公理系统的建立，及其详尽阐述与比较。
西方学者对儿童的几何思维进行了许多研究，其中以范.希尔夫妇在研究最著称。他们两提出了几何思维水平的分析。起先是5种水平，后来又改为3种水平。一般认为还是5种水平更细致、更确切。在范希尔提出水平1——5之后，其他研究者又补充了一个更低的水平：水平0，以下分别做一些介绍：

水平0：前认识水平。只能注意直观开头的某一些特征。例如可以区分正方形和圆，却不能区分正方形和三角形。在这个水平，学生推理的对象是具体的形象或者触觉的刺激。其结果是能够识别一些“相同的形状”。

水平1：直观化。学生按照外观来识别和操作形状和另外一些几何图形。他们能在心理上把这些图形表示为直观图像。例如，学生说所给的图形是矩形，是因为它看起来像门”。然而，他们不关心几何性质或所表示图形种类的特征化。也就是说，尽管图形的性质决定图形，而这个水平的学生装却未意识到图形的性质。在这个水平上，学生的推理为知觉所主宰。

他们尽管不能说出图形的简单性质，却也能把一个图形与另一个图形相区别；或者由于两个图形看起来相同。他们就判断这两个图形全等：“看起来就是如此，没有什么原因。”

在直观化水平，学生推理的对象是按直观上“形状相同”来确认图形分类的。例如，陈述“这个图形是菱形”时，这个学生的意思是“这个图形有我已学过的称作‘菱形’的形状”。

水平2：描述/分析。到了第二个水平。学生通过图形的性质来识别图形并能确定图形的特征例如，一个学生可能认为菱形是四条边相等的图形；因此，术语“菱形”指的是“他已经学过的所谓‘菱形’性质”的一个集合。通过观察、测量、画图和建模等手段经验地建立了性质。学生发现某些性质的组合标志着一类图形，而有些图形却不这样；因而播一了几何含意的种子。然而这个水平的学生装看不出两类图形之间的关系（例如，一个学生可能会满足于一个图形因为它是正方形所以不是长方形）。

在这个水平，学生推理的对象是图形的分类，用那些与自己相一致的图形性质在思考，这种推理的产物是建立起图形间关系、图形性质的顺序和图形的分类。

水平3：抽象/关联。在水平3，学生能形成抽象的定义。区分要领的必要条件和充分条件；能理解几何领域的逻辑论证，有时甚至能提出这样的论证。他们能分层次将图形分类（通过排出图形性质的顺序）并给出判别它们类别的非形式化论证。例如，一个正方形被识别属菱形，因为可以将它考虑为一个“具有某些外部性质的菱形”，利用非形式化的推导，他们能发现图形分类的性质。例如，由于任何四边形可被重组成两个三角形，而每一个三角形的内角和是180度。他们推导任何四边形的内角和一定是360度，随着学生发现不同开头的性质，他们觉得有组织这些性质的需要。思想的这种逻辑组织是正确推理的首要表现形式。然而，学生装仍不理解逻辑推理是建立几何真理的方法。

在这个水平，学生推理的对象是图形分类性质。“整理图形性质，假如图形满足四条边相等的四边形将知道这个图形是菱形。”这种推理的产物是通过图形性质的交互联系，获得的思想进行了重组。

水平4：形式推理。达到水平4时，学生在公理化系统中建立定理。他们识别未定义术语、定义、公理和定理之间的差异。他们能构造原始的证明；也就是说，他们可以作出系列陈述，对作为“已知条件”的结果的一个结论作逻辑判断。在这个水平，通过逻辑解释像公理、定义和定理的几何陈述。学生能进行形式推理，推理的对象是图形分类性质的关系，推量的产物是建立亚序关系——关系之间的关系——并在一个几何系统中用逻辑链来表述。

水平5：严密性/元数学。在第5水平，学生在数学系统中进行形式推理。即便没有参照模型，他们也能研究几何，而且还能通过形式化地操作如公理、定义、定理等几何陈述进行推理。推理的对象是形式化构造间的关系。他们推理的产物是几何公理系统的建立，及其详尽阐述与比较。

范希尔夫妇经过理论和实践两方面的长期探索，指出学生的几何思维存在5个水平：直观、分析、推理、演绎、严谨这些不同的水平是不连续的，但却是顺次的．学生在进入某一水平学习之前，必须掌握之前水平的大部分内容.
1.层次0:(直观)儿童能通过整体轮廓辨认图形，并能操作其几何构图元素(如边、角);能画图或仿画图形，使用不标准名称描述几何图形;能根据对形状的操作解决几何问题，但无法使用图形的特征或要素名称分析图形，也无法对图形做概括的论述.例如:儿童可能会说某个图形是长方形，因为有了视觉观念.
2.层次l:(分析)儿童能分析图形的组成要素及特征，并依此建立图形的特性，利用这些特性解决几何问题，但无法解释性质，也无法了解图形的定义;能根据组成要素比较两个形体，利用某一性质做图形分类，但无法解释图形某些性质之间的关联，也无法导出公式和使用正式的定义.例如:儿童会知道长方形有四条边和四个直角，但不能理解面积，周长的含义。.
3.层次2:(推理)儿童能建立图形及图形性质之间的关系，可以提出非形式化的推论，了解建构图形的要素，能进一步探求图形的内在属性和其包含关系，使用公式与定义及发现的性质做演绎推论.但不能了解证明与定理的重要性，不能由不熟悉的前提去建立证明，证明结果的成立，也不能建立定理网络之间的内在关系.例如:学生了解了长方形的性质后，他们会推出正方形是特殊的一种，学生能作一些非正式的说明但还不能作系统性的证明.

4.层次3:(演绎)学生可以了解到证明的重要性和了解“不定义元素”、“定理”和“公理”的意义，确信几何定理是需要形式逻辑推演才一能建立的，理解解决几何问题必须具备充分或充要条件;能猜测并尝试用演绎方式证实其猜测，能够以逻辑推理解释几何学中的公理、定义、定理等。

5.严谨数学概念、公式，定理还需完整的认知并上升为理论。