齐民友高数下册上课第10章04直角坐标系下三重积分的计算(1).doc

第1章 集 合
第4节　直角坐标系下三重积分的计算
我们直接给出三重积分
，
的计算方法．不追求它的严格证明，只要求同学们理解、记住、练熟下面的计算方法步骤。（参看图4.1）
(1) 将积分区域投影到面，得投影区域．
(2) 以的边界曲线为准线，作一个母线平行于轴的柱面．柱面与闭区域的边界曲面相交将分割为上、下两片曲面；，且．则
，
（二重积分里面套一个定积分。称为二套一方法。）只要你会做里面的定积分，再会做外面的二重积分，三重积分就算出来了。
（测）约定：。
做里层定积分的时候，视为常数，里层定积分的结果是的函数。里层积分的上下限总是外层变量的函数。
图4.1

（小边界）

（大边界）
（小边界）
（大边界）

（和的找法：，过点平行于轴的直线截得截线（图4.1）。）
利用图4.1的上区域，在轴上投影，的小边界大边界（此时积分区域表示为），我们可以进一步把外层的二重积分写成二次积分

这样，三重积分就变成了做三次定积分，称为三次积分。
约定：
。
上式是先对，后对，再对的三次积分．里层积分的上下限总是外层变量的函数。做里层积分时，外层变量固定为常数。
同理，如果积分区域表示为

将积分区域投影到面上得投影区域。，可类似地将三重积分化为

(4.2)
先对，后对（或），再对（或）的三次积分。其中，，的，。
若将区域投影到面得区域，可将三重积分化为
． (4.3)
其中，，的，。
上面并没有列举完三重积分化为三次积分的全部可能情形。
由此可看到，三重积分化为三次积分的关键也在于将积分区域用不等式组表示出来．
为了避免出错，希望同学们严格顺序：首先把三重积分变成二套一，再把二套一变成三次积分。
小技巧：如果你只熟悉“同理”前计算方法，在整个题中，改一下（比如说把改成把改成），就可变成“同理”前的计算方法。结果不变。（黑板解析）
思考题：
1．若穿过区域且平行于对应坐标轴的直线与的边界曲面的交点多于两个时，如何化三重积分为三次积分？（分割。）
【例4.1】　将三重积分化为三次积分，其中为由曲面，及三个坐标面所围成的位于第一卦限的部分．
解　画出两张曲面和，就得到积分区域（见图4.2）。将区域分别向三个坐标面投影，有三种不同的解法．
(1) 将区域向面投影，得
，
的小边界，大边界。区域的不等式组表示式为
，
在轴上的投影，

图4.2
的小边界大边界。所以
．
(2) 将区域向面投影，得。的小边界，大边界。在轴上的投影内，的小边界大边界。积分区域表示为

所以．
(3) 将区域向面投影，得。的小边界，大边界有两个表示式和（过内的任一点，作平行于轴的直线穿过内部，发现当点位于曲面的交线在面上的投影曲线的两侧时，过点的直线与区域的边界曲面的交点落在不同曲面上：当点时，直线上位于内部的点的坐标满足；当点时，直线上位于内部的点的坐标满足。）故此时应将划分成两部分，由上面的讨论知，这两部分的表示式分别为：
，
，
所以

由此题可看到，选择适当的投影面，可使积分计算简便．
【例4.2】　计算三重积分，其中由曲面，，所围成的闭区域．
解　如图4.3所示，画出就得到积分区域。将积分区域向面投影，得投影区域由曲线及围成．可求两曲线的交点为，．故可得
，
的小边界大过边界。积分区域表示为

图4.3
所以

．
思考题：
2．将上述积分区域分别向和面投影，并写出对应的三次积分的表示式．
下面介绍计算三重积分的另一方法。
（1）把往轴投影得；
（2）任意给定，用平面截得截面（与有关）；则

做里层二重积分时，把视为常数。此称一套二方法。
如果你会计算里层的二重积分，再会计算外层的定积分，三重积分就算出来了。
约定：。
类似地，
（1'）把往投影得；
（2'）任意给定，用平面截得截面（与有关）；则

（1"）把往投影得；
（2"）任意给定，用平面截得截面（与有关）；则

【例4.3】　计算，其中是由三个坐标面与平面围成的闭区域．
解1 将积分区域向面投影（图4.4），得
，
的小边界大过边界。区域可表示为，则有

．
解2　因为被积函数，只与变量有关，而表示区域的面积，所以，我们可以用一套二方法计算．
往轴投影得；任意给定，用平面截区域得三角形

（图4.5）。此三角形的面积为。故
．

图4.4

图4.5

方法总结：当被积函数与（或）无关时，用先往（或）轴投影的一套二方法计算特别简单。
一般情况用二套一方法计算三重积分，只是为了简便才用一套二方法。
【例4.4】　计算，其中由，围成的闭区域．
解　被积函数，只与变量无关，用先往轴投影的一套二方法计算。往轴投影得。任意给定，用平面截得半径为的圆（图4.6）

所以
．

图4.6

图4.7
【例4.5】　计算三重积分，其中由曲面，围成的闭区域．
解　求两曲面的交线的投影柱面．
，
交线的投影柱面的方程为：
，
如图4.7所示，将积分区域向面投影，得投影区域为椭圆

的小边界大边界（图4.7）。得
，

，
因为里层积分（固定为常数）的被积函数是的奇函数，而积分区间关于点对称，里层积分为0，可得．
事实上，在此题中，因积分区域关于面是对称的，而被积函数关于是奇函数，直接可得．
类似于二重积分中的关于对称性和函数的奇偶性的讨论，三重积分的对称性与函数的奇偶性有下面结论：
若积分区域关于面对称，被积函数关于是奇函数，则有
．
若积分区域关于面对称，被积函数关于是偶函数，则有
，
其中是区域位于面上方的部分区域．
其余的两种情形类似。
若积分区域关于面对称，被积函数关于是奇函数，则有
．
若积分区域关于面对称，被积函数关于是偶函数，则有
，
其中是区域位于面前方的部分区域．
若积分区域关于面对称，被积函数关于是奇函数，则有
．
若积分区域关于面对称，被积函数关于是偶函数，则有
，
其中是区域位于面右方的部分区域．

习题10－４
A类
1．化三重积分为三次积分．
*(1) 由，，，围成；
(2) 由，，围成；
(3) ，，围成；
(4) ，及所围成．
解 （2）往面投影得圆

的小边界大边界。所以

往或面投影很复杂，略。
2．计算，．
3．求，由，，，围成．
*4．求，由，，及围成．
5．求，由，，及围成．
6．求，由，，及围成．
7．求，由，，围成．
解 被积函数与无关，用先往轴投影的一套二方法简单。
往轴投影得。任意给定，用截得圆

*8．计算，由，，及围成．
9．计算，由，及围成．
10．利用三重积分计算曲面所围的立体的体积．
(1) ，，和；
(2) ，，及，．
B类
1．改变下列三次积分的积分次序．
*(1) ；
(2) ；
(3) ．
2．求，其中为
(1) 与围成的含点的部分；
*(2) 与围成的含点的部分．
3．计算．
4．证明．
证 ，

*5．设在上连续，证明：
．
6．(1) 将三重积分化为关于变量的单积分；
*(2) 将三重积分化为关于变量的单积分．
15