中学数学希解证题错误的探讨.doc

中学数学解（证）题错误的探讨
盐津县串丝中学 王云书
摘 要：在学生的解题或证题过程中，我们常见到一些错误的解法或证法。本文结合自己的教学实践，通过总结发现这些错误主要有审题不清、理解概念不透、不顾变形的等价性、忽视隐含条件、忽略命题真假的判断、循环论证等。本文对相应类型试举例子分析，并提出了相应的对策，与广大同仁进行探讨。

关键词：错解；错证；分析；对策

前 言：数学解题或证题以其严谨的逻辑性为特征，离开了严谨的逻辑推理，数学就失去光彩，失去魅力。一些数学命题的证明有时要经过几百年，甚至上千年才能完成，有些至今未解决，如歌德巴赫猜想[1]就还没有得到证明。在数学解题或证题过程中，我们常常见到一些错误的解法或证法。引发这些错误的原因是什么？应采取哪些措施减少或避免这些错误的发生？这是值得研究的一个问题。本文结合学生在解题或证题过程中的错误解法或证法，试举几例，分析其错因并提出相应的对策与广大教师进行探讨。

1. 审题不清使解题出错

这是很多学生引起解题错误的一个重要原因，试举两例。
例1：交5元钱可以参加一次摸奖，一袋中有同样大小的球10个，其中有8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任意摸取2个球，他所得奖励是所摸2个球上的钱数之和。求摸奖人获利的数学期望。
错解：设为抽到的2个球上的钱数之和，则的可能取值如下：
，抽到2个1元；抽到1个1元，1个5元；，抽到2个5元。
所以，由题意可得：

所以，
Ex=2×+6×+10×=
分析：引起本题错解的原因是解题者未弄透题意。本题是求抽奖人获利的数学期望，其值为，这里获利是指获得超过5元的钱，不是求钱数之和的数学期望[2]，在将实际问题转化为数学问题时要注意随机变量的实际意义。
对策：离散型随机变量的数学期望与方差是在概率分布列的基础上求得的，因此在随机变量的取值及求概率问题上容易出现错误，特别是在实际问题转化为数学问题的过程中容易出现错误。教学中，教师应引导学生认真审题，尽量防止上述错误的发生，逐步提高学生分析问题和解决问题的能力。
例2：已知x是实数，y是纯虚数，且满足求x，y。
错解：由得
2x-1=y x=25
3-y=-1 y=4
分析：此解法错误地把y当作实数，而在式中的并非是的虚部，右边的中也并非是实数，因为为纯虚数。
对策：未弄清题意是解此类题的易错点，错误地利用复数相等的条件求解，得出错误的结论。此类题的实质是在复数集中解方程，通常的方法是由复数相等的充要条件，将其转化为实数集上的方程组，进而求得原方程的解。
该题的正确解为：令是所求值，即有：
近而有：

即有
x=-
y=4i

2. 理解概念不透使解题出错

这是中学生出现解题错误的一个重要原因，试举三例，进行探讨。
例3：已知：，且是第二象限角，求。
错解：∵
∴
又∵ 是第二象限角
∴ ＜0
∴
分析：此解出现了明显的错误，其主要原因是混淆了平方根与算术平方根的概念。而最后一步所得结论，更反映了学生对概念理解不透。
对策：平方根和算术平方根这两个概念既有联系，又有区别。学生显然已学过这两个概念，但对其理解还是不够清楚。因此，在教学或辅导中，要对这两个概念进行复习。在具体求解平方根问题时，应当先求出两个平方根，然后再根据题目条件得出符合题意的结论。对于求算术平方根的问题，可分两步进行，先用公式=，然后再用绝对值的定义去掉绝对值符号。这样能使学生养成良好的解题习惯，大大减少错误的发生。
此错题只要将第二步的加上绝对值符号或将前添上正负号即为正确解答。
例4：解不等式||＞5
错解：原不等式等价于：＜ 且＞5

即： ＜ 且 ＞
所以原不等式的解集为{|＜或＞7}
分析：引起本题解答错误的主要原因在于学生对逻辑联词“或”和“且”概念的混乱。上面错误的解答中，不等式＜与＞5之间本应该用逻辑联词“或”来联结，而学生却用了“且”最后的答案中联结词却又改成了“或”。从而可以看出学生对逻辑联结词“或”与“且”的意义是不清楚的。
对策：逻辑联结词“或”与“且”的正确运用是中学数学教学的一个难点。因此，在教学中要根据学生的实际认识水平，通过实际例子，逐步引导学生对概念进行深入理解，并且要求学生在平时解题中重视对逻辑联结词的正确运用，逐步提高对它们的正确运用水平。
例5：求°的值
错解：=。
分析：引起本题解答错误的主要原因是学生把错误地理解成乘以，从而误用了分配律。其实是一个完整的符号，它表示的余弦。此题说明学生对余弦符号表示的意义理解不够透彻。
对策：数学符号比文字语言更简洁、更概括，它的丰富内涵没有由符号本身明示，而要另用文字语言叙述。因此，教师要经常强调符号的两重意义，其一是符号与文字的互译，其二是说明新旧相关符号的关系，如指数符号与对数符号的关系等。以期达到旧符号的理解不对新符号的理解和使用带来干扰和迷惑，从而达到深入、透彻地理解概念。形式类比在概念掌握不太好时，特别容易导致中学生解题出错。教学中讲授的定义时，应把符号与单项式ab等进行比较，且告诉学生是一个特别规定的符号、是一个整体，不是字母与字母的乘法[3]。
本题的正确计算是用公式[1]来进行。

3. 不顾变形的等价性使解题出错

不顾变形的等价性是引起中学生解题出错的又一重要原因，试举两例。
例6：解不等式＞0
错解：不等式两边同时乘以，得：
＞0
即： ＞
所以原不等式的解集为{|＞}
分析不等式两边同时乘以一个代数式（值不等于0）时应考虑代数式值的符号，不然易导致非同解变形。引起此题解答错误的原因在于学生没有考虑代数式的值的符号，错误地认为是一个正数，从而使变形后的不等式与原不等式不是同解不等式。
对策：在解不等式教学中，教师要强调不等式两边同时乘以一个相同的代数式时，应首先判断代数式值的符号，符号为正时，得出的不等式与原不等式同向；符号为负时，得出的不等式与原不等式反向；符号无法确定时，不要随便在不等式两边乘代数式，应把不等式的一边化为零后，再采用符号讨论的办法或化为同解的整式不等式来求解。同样，解方程时不要随便在方程两边同时除以一个代数式，这样往往容易引起失根。一般运用移项后进行因式分解的方法来求解[3]。从而培养学生正确地解不等式的良好习惯。

4. 忽视隐含条件使解题出错

因忽视方程中的隐含条件使解题出错，在中学生的解题过程中经常发生，试举两例。
例7：已知函数的图像与x轴有两个不同的交点，求m的取值范围。
错解：依题意有

整理得：

解得：

分析：因为函数的图像与x轴有两个不同的交点，所以此函数必定是二次函数。使本题解答出错的主要原因是学生在审题中忽视了题目中的隐含m≠0。同时只有m≠0时，才有判别式的存在，故此题出了双重错误。
对策：在二次函数教学中，首先要强调二次函数的定义由两部分组成，①表达式为，②二次项系数a≠0其次要告诉学生在解形如的函数问题时，一定要分和a≠0两种情况来考虑。当，b≠0时，此函数为一次函数；当a≠0时此函数为二次函数。第三，在解题时要求学生仔细阅读题中文字，搞清题中是否有隐含条件。如函数是否可以是一次函数？是二次函数时开口是否确定？等等。从而可以逐步提高学生解题的正确率。
该题的正确答案为：｛m|-10,解得，因此，当时，是增函数,
令f’(x)<0，解得，因此，当时，是减函数。
分析：此题函数的定义域为(,+∞)U(-∞, )，而(-∞, )不在定义域内，而解题者忽略了大于0这个隐含条件，导致解题出错。
对策：利用导数法判断函数的单调性，常见的错误是忽略函数的定义域，导致单调区间不是定义域的子集。在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题时，应保证在定义域内进行讨论。

5. 忽略判断命题的真假性使命题的证明出

这往往由于不成立的命题要我们去证明，很多老师都有这方面的经验。试举一例，与老师们共同探讨，如何引导判断一个命题是否成立。
例9：一个三角形的两边和其中一边上的高，同另一个三角形的两边

º
和其中一边上的高对应相等，则这两个三角形全等。
图1
错证：如图1，设AB=A′B′，BC=B′C′，高AD=A′D′，则在两个直角三角形和A′B′D′中，，B′D′=，从而有BD=B′D′由（定理）知∠B=∠B′。因此△和△A′B′C′有两边及其夹角分别对应相等，故全等。
分析：此命题本身是一个错误命题，其证明出错的主要原因是忽略了这两个三角形一锐一钝的情形，请看图2，即可真假分明。
图2

对策：在教科书中我们会发现一些不成立的命题。故在证明命题之先，必须判断命题是否成立[4]。此时，我们总是设法找到一个具体例子来破坏这个命题，它满足命题的前提，但不满足命题的结论。因此在教学中，不仅要引导学生学会正面证明命题，还要学会以反例来否定一个错误的命题。如要否定“若四边形四边相等，则为正方形”，我们只须举菱形为例即可；要否定“若两多边形的对应边成比例，则必相似”，只要举一个正方形和一个菱形即可；要否定“若两多边形的对应角相等，则必相似”，只要举一个正方形和一个长方形即可。

6.不分条件与结论，证明过程循环往复，使证明出错

初学证明的学生易犯这类错误，即使不是初学者，也偶尔会犯这类错误。试举一例，供探讨。
例10：求证为增函数。
错证： x1,x2≥0设，由初中算术根的知识可得：
，从而y为增函数。
分析：上述证明犯了循环论证错误，因为学生在用算术根知识时就已默认了结论为增函数。
正确证明应为：x1,x2≥0对有：即，故
为增函数。
对策：虽然循环论证错误不是经常发生，但在证明定理时，出现循环论证错误的学生较多，如证明勾股弦定理等。因此，教师在教学中要培养学生深入思考，严谨地进行逻辑推理，近而培养学生良好的思维方式。为了让学生深刻地理解上述错误，教师可以通过“甲向乙问路”的例子[5]进行比喻：
甲：请问张三住在什么地方？
乙：（热情地）张三住在李四隔壁。
甲：（迷惑地）那李四住在哪儿？
乙：（认真地）住在张三的隔壁呀！
通过这种类似的比喻，就能增进学生对抽象内容的理解。
上面的几例，仅是中学数学教学中常见的一些错解或错证，这些例子告诫我们，一个正确的题解或证明必须遵守规则，违反这些规则，就会产生错误。总之，只要教师热爱教学工作，不断发现学生的解题和证题错误，并分析其原因，提出相应的对策，就能不断提高教学质量。

参考文献
[1] 王林全，中学数学思想方法概论[M]，暨南大学出版社，2000年8月第1版，第98页。
[2] 刘增利，教材知识详解[M]（高三数学），北京教育出版社，2007年元月第4版，第90页。
[3] 王青春，尖子生学案[M]（我学习 我设计丛书），（高一数学下），吉林人民出版社，2006年10月第2版，第45页，第62页。
[4] 朱德祥，初等几何研究[M]，高等教育出版社，1985年2月第1版，第15页。
[5] 燕琼芝，数学教育学教程[M]，云南民族出版社，1995年3月第1版，第51页。

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