一数学归纳法.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,数学归纳法,一、归纳法,由某类事物的一些特殊情况（,或其全部可能情况,），推出该类事物的一般性结论的推理方法,.,归纳法,不完全归纳法,完全归纳法,由特殊 一般,特点,:,a,2,=a,1,+d,a,3,=a,1,+2d,a,4,=a,1,+3d,a,n,=a,1,+(n-1)d,如何证明？,a,n,=a,1,+(n-1)d (n,N*),阅读教材,P,46,48,二、数学归纳法,(1),验证,当,n,取第一个值,n,0,(,例如,n,0,=1),时,命题,P(n,0,),成立；,(2),假设,当,n=k(k,N,*,，,kn,0,),时,命题,P(k),成立,并由此,证明,当,n=k+1,时，命题,P(k+1),也成立,.,完成这两步，就可以断定这个命题对从,n,0,开始的所有正整数,n,都成立,.,这种证明方法叫做,数学归纳法,.,在证明某些与自然数有关的,数学命题,P(n),时,可用下述方法,来证明它们的正确性,:,【,思考,】,你能证明上述结论吗？,提示：可考虑用,“,反证法,”,证明,二、数学归纳法,验证,n=n,0,时命题,P(n,0,),成立,假设,当,n=k(,kn,0,),时命题,P(k),成立,证明,当,n=k+1,时命题,P(k+1),也成立,下结论：,命题,P(n),对从,n,0,开始的所有正整数,n,都成立,.,例,1,用数学归纳法证明：首项为,a,1,公差为,d,的等差数列,a,n,的通项公式是,a,n,=,a,1,+(n-,1,)d,证明：,（,1,）当,n=1,时，,a,1,=a,1,+(1-1)d,，命题成立；,（,2,）假设,n=k,时命题成立，即,a,k,=a,1,+(k-1)d,则当,n=k+1,时，,a,k+1,=,a,k,+d,=,a,1,+(k-1)d,+d,=,a,1,+(k+1)-1)d,命题也成立,.,根据（,1,）、,(2),可知：公式对任意正整数,n,都成立,.,证明：,设,n=k,时，命题成立，即,k=k+1,;,则当,nk+1,时，有,k,+1=(,k+1,)+1,命题也成立,.,故命题对任意,n,N,*,都成立,.,【,探究,1,】,下述用数学归纳法的证题过程有错误，试找出错在哪儿，并予以更正,.,1.,证明,“,任意相邻两个自然数都相等,”,即,“,n=n+1,n,N,*,”,的过程如下：,证明,（,1,）,当,n=1,时，左边,=1,，右边,=1,，等式成立,.,（,2,）假设,n=k(kN,k1),时等式成立,即,1+3+5+,+(2k-1)=k,2,，,则当,n=k+1,时：,1+3+5+,+(2k-1)+2(k+1)-1,=1+3+5+,+(2k-1)+(2k+1)=,=(k+1),2,即当,nk+1,时，等式也成立,.,根据,(1),(2),可知，对,nN,等式都成立,.,2.,用数学归纳法证明,：,1+3+5+,+(2n-1)=n,2,（,nN,）,的过程如下：,【,探究,2,】,下述用数学归纳法的证题过程有错误，试找出错在哪儿，并予以更正,.,1.,用数学归纳法证题时,要分两个步骤,这两个步骤是一个有机整体，缺一不可,.,注意,!,2.,步骤（,1,）,“,归纳奠基,检验,P(n,0,),成立,”,不可或缺，且须确保其真实性（,找准,n,o,）,.,否则，步骤（,2,）的,“,归纳假设,”,就没有了基础，化为子虚乌有！,当完成了步骤（,1,）后,，步骤（,2,）中的,“,归纳假设,”,就有了基础，变得真实可靠；而,步骤（,2,）的完成,，则使这种真实性得以传递，,这样一来便实现了从有限到无限的跨越,.,3.,在步骤（,2,）中，,归纳假设,(,即,“,命题,P(k),成立,”,),这一条件必须使用,，否则，就没有对,“,承前启后,即传递性,”,进行实质性的证明，从而出现,走过场,的现象！,例,2,求证,:,(,n+1)(n+2),(n+n)=2,n,1,3,(2n-1),证明：,(1),当,n=1,时：,左边,=1+1=2,，右边,=2,1,1=2,，,左边,=,右边，等 式成立,.,(2),假设,当,n=k(k N,）时等式成立，即：,(k+1)(k+2),(k+k)=2,k,1,3,(2n-1),则当,n=k+1,时：,左边,=(k+2)(k+3),(k+k)(k+k+1)(k+k+2),=,(k+1)(k+2)(k+3),(k+k),=,2,k,1,3,(2k-1),(2k+1,),2,=2,k+1,1,3,(2k-1),2(k+1)-1=,右边，,即当,n=k+1,时等式也成立,.,根据,(1),、,(2),可知，,对一切,nN,等式都成立,.,（,2k+1)(2k+2),k+1,练习,证明：,(nN,）,