毛毛虫模型.doc

毛 毛 虫 模 型
1.光滑地面上放着两钢球A和B，且mA＜mB,B上固定着一轻弹簧，如图所示，现在A以速率v0碰撞静止的B球，有：
A．当弹簧压缩量最大时，A、B两球的速率都最小；
B．当弹簧恢复原长时，A球速率为零；
C．当A球速率为零时，B球速率最大；
D．当B球速率最大时，弹簧的势能为零；

2.如图所示，在足够长的光滑水平轨道上静止三个小木块A、B、C，质量分别为mA=1kg，
mB=1kg，mC=2kg，其中B与C用一个轻弹簧固定连接，开始时整个装置处于静止状态；A和B之间有少许塑胶炸药，A的左边有一个弹性挡板（小木块和弹性挡板碰撞过程没有能量损失）．现在引爆塑胶炸药，若炸药爆炸产生的能量有E=9J转化为A和B沿轨道方向的动能，A和B分开后，A恰好在B、C之间的弹簧第一次恢复到原长时追上B，并且与B发生碰撞后粘在一起．求：
A
B
C
（1）在A追上B之前弹簧弹性势能的最大值；
（2）A与B相碰以后弹簧弹性势能的最大值．
【解析】（1）塑胶炸药爆炸瞬间取A和B为研究对象，假设爆炸后瞬间A、B的速度大小分别为vA、vB，取向右为正方向
由动量守恒：－mAvA+mBvB=0
爆炸产生的热量由9J转化为A、B的动能
代入数据解得vA =vB =3m/s
由于A在炸药爆炸后再次追上B的时候弹簧恰好第一次恢复到原长，则在A追上B之前弹簧已经有一次被压缩到最短（即弹性势能最大），爆炸后取B、C和弹簧为研究系统，当弹簧第一次被压缩到最短时B、C达到共速vBC，此时弹簧的弹性势能最大，设为Ep1．
由动量守恒，得mBvB=（mB+mC）vBC
由机械能守恒，得
代入数据得EP1=3J
（2）设B、C之间的弹簧第一次恢复到原长时B、C的速度大小分别为vB1和vC1，则由动量守恒和能量守恒：mBvB=mBvB1+mCvC1
代入数据解得：vB1=－1m/s，vC1=2m/s （vB1 =3m/s，vC1=0m/s不合题意，舍去．）
A爆炸后先向左匀速运动，与弹性挡板碰撞以后速度大小不变，反向弹回．当A追上B，发生碰撞瞬间达到共速vAB
由动量守恒，得mAvA+mBvB1=（mA+mB）vAB 解得vAB =1m/s
当A、B、C三者达到共同速度vABC时，弹簧的弹性势能最大为EP2
由动量守恒，得（mA+mB）vAB+mCvC1=（mA+mB+mC）vABC
由能量守恒，得
代入数据得EP2 =0.5J
3、 如图示，在光滑的水平面上，质量为m的小球B连接着轻质弹簧，处于静止状态，质量为2m的小球A以初速度v0向右运动，接着逐渐压缩弹簧并使B运动，过了一段时间A与弹簧分离.
（1）当弹簧被压缩到最短时，弹簧的弹性势能EP多大？

B
A
v0
（2）若开始时在B球的右侧某位置固定一块挡板，在A球与弹簧未分离前使B球与挡板发生碰撞，并在碰后立即将挡板撤走，设B球与挡板的碰撞时间极短，碰后B球的速度大小不变但方向相反，欲使此后弹簧被压缩到最短时，
弹性势能达到第（1）问中EP的2.5倍，必须使B球
在速度多大时与挡板发生碰撞？
解： （1）当弹簧被压缩到最短时，AB两球的速度相等设为v，

B
A
v0
甲
由动量守恒定律2mv0=3mv
由机械能守恒定律

B
A
v1
v2
乙
EP=1/2×2mv02 -1/2×3mv2 = mv02 / 3
（2）画出碰撞前后的几个过程图

B
A
v1
v2
丙
由甲乙图 2mv0=2mv1 +mv2

A
V
丁
B
由丙丁图 2mv1- mv2 =3mV
由甲丁图,机械能守恒定律（碰撞过程不做功）
1/2×2mv02 =1/2×3mV2 +2.5EP
解得v1=0.75v0 v2=0.5v0 V=v0/3
4、（2000年14分）在原子核物理中，研究核子与核关联的最有效途径是“双电荷交换反应”.这类反应的前半部分过程和下述力学模型类似.两个小球A和B用轻质弹簧相连，在光滑的水平直轨道上处于静止状态.在它们左边有一垂直于轨道的固定挡板P，右边有一小球C沿轨道以速度射向B球，如图所示.C与B发生碰撞并立即结成一个整体D.在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定，不再改变.然后，A球与挡板P发生碰撞，碰后A、D都静止不动，A与P接触而不粘连.过一段时间，突然解除锁定（锁定及解除定均无机械能损失）.已知A、B、C三球的质量均为m.
　　（1）求弹簧长度刚被锁定后A球的速度.
　　（2）求在A球离开挡板P之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能.
分析：小球C与小球B作用的过程中两个小球组成的系统动量守恒.B与C结合成D与小球A弹簧组成的系统，当A、D速度相同的时候弹簧的压缩量最大，这个过程中系统动量守恒，两个小球减少的动能转化为弹簧的弹性势能.在A球没有离开P以前弹簧的弹性势能转化为小球D的动能，当弹簧恢复到原长时D小球的动能最大然后在弹簧被拉长的过程中小球D减速运动，小球A加速运动，当他们的速度相同的时候弹簧的伸长量最大.从A离开P到A、D共速的过程中系统动量守恒，系统减少的动能转化为弹簧的弹性势能.
解：（1）设C球与B球粘结成D时，D的速度为，由动量守恒，有
　　 ①
　　当弹簧压至最短时，D与A的速度相等，设此速度为，由动量守恒，有
　　 ②
　　由①、②两式得A的速度
　　 ③
　　（2）设弹簧长度被锁定后，贮存在弹簧中的势能为，由能量守恒，有
　　 ④
　　撞击P后，A与D的动能都为零，解除锁定后，当弹簧刚恢复到自然长度时，势能全部转变成D的动能，设D的速度为，则有
　　 ⑤
　　当弹簧伸长，A球离开挡板P，并获得速度.当A、D的速度相等时，弹簧伸至最长.设此时的速度为，由动量守恒，有
　　 ⑥
　　当弹簧伸到最长时，其势能最大，设此势能为，由能量守恒，有
　　 ⑦
　　解以上各式得
　　 ⑧
5. 在原子物理中，研究核子与核子关联的最有效途经是“双电荷交换反应”。这类反应的前半部分过程和下面力学模型类似。两个小球A和B用轻质弹簧相连，在光滑的水平直轨道上处于静止状态。在它们左边有一垂直轨道的固定档板P，右边有一小球C沿轨道以速度v0射向B球，如图所示，C与B发生碰撞并立即结成一个整体D。在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定，不再改变。然后，A球与档板P发生碰撞，碰后A、D静止不动，A与P接触而不粘连。过一段时间，突然解除销定（锁定及解除锁定均无机械能损失），已知A、B、C三球的质量均为m。
P
m
m
m
A
B
V0
C
（1）求弹簧长度刚被锁定后A球的速度。
（2）求在A球离开档板P之后的运动过程中，
弹簧的最大弹性势能。
解：整个过程可分为四个阶段来处理．
（1）设Ｃ球与Ｂ球粘结成Ｄ时，D的速度为ｖ1，由动量守恒定律，得 mv0=2mv1　①
当弹簧压至最短时，Ｄ与Ａ的速度相等，设此速度为v2，
由动量守恒定律，得 2mv1＝3ｍv2　 ②
联立①、②式得 v2＝v0／3　 ③
也可直接用动量守恒一次求出（从接触到相对静止）
mv0=3mv2，v2=(1/3)v0．
（2）设弹簧长度被锁定后，贮存在弹簧中的势能为EP，由能量守恒定律，得
　　1/2（2ｍ）v12＝1/2（3ｍ）v22＋EP　 ④
撞击Ｐ后，Ａ与Ｄ的动能都为零，解除锁定后，当弹簧刚恢复到自然长度时，弹性势能全部转变成Ｄ的动能，设Ｄ的速度为v3，有　　EP＝1/2（2ｍ）v32　 ⑤
以后弹簧伸长，Ａ球离开挡板Ｐ，并获得速度．设此时的速度为v4，
由动量守恒定律，得　2ｍv3＝3ｍv4　 ⑥
当弹簧伸到最长时，其弹性势能最大，设此势能为EP′，由能量守恒定律，得
1/2（2ｍ）v32＝1/2（3ｍ）v42＋EP′ ⑦
联立③─⑦式得 ⑧
6.⑴如图1，在光滑水平长直轨道上，放着一个静止的弹簧振子，它由一轻弹簧两端各联结一个小球构成，两小球质量相等。现突然给左端小球一个向右的速度u0，求弹簧第一次恢复到自然长度时，每个小球的速度。
⑵如图2，将N个这样的振子放在该轨道上。最左边的振子1被压缩至弹簧为某一长度后锁定，静止在适当位置上，这时它的弹性势能为E0。其余各振子间都有一定的距离。现解除对振子1的锁定，任其自由运动，当它第一次恢复到自然长度时，刚好与振子2碰撞，此后，继续发生一系列碰撞，每个振子被碰后刚好都是在弹簧第一次恢复到自然长度时与下一个振子相碰。求所有可能的碰撞都发生后，每个振子弹性势能的最大值。已知本题中两球发生碰撞时，速度交换，即一球碰后的速度等于另一球碰前的速度。

1 2 3 4 N
……
左
左
右
右
图1
图2

⑴设每个小球质量为m，以u1、u2分别表示弹簧恢复到自然长度时左右两端小球的速度，由动量守恒和能量守恒定律有mu1+ mu2= mu0， 1/2mu12+1/2mu22= 1/2 mu02，
解得u1= u0，u2=0， 或者u1=0，u2= u0。
由于振子从初始状态到弹簧恢复到自然长度过程中，右端小球一直加速，因此实际解为u1=0，u2= u0。
⑵以v1、v1/分别表示振子1解除锁定后弹簧恢复到自然长度时，左右两小球的速度，规定向右为速度的正方向，由动量守恒和能量守恒定律，
mv1+ mv1/=0， 1/2mv12+ 1/2 mv1/2= E0，
解得 或。
由于该过程中左右小球分别向左右加速，故应取第2组解。振子1与振子2碰撞后，由于交换速度，振子1右端小球速度变为0，左端小球速度仍为v1，此后两小球都向左运动，当它们速度相同时，弹簧弹性势能最大，设此速度为v10，则2mv10=mv1，用E1表示最大弹性势能，则 1/2mv102+ 1/2 mv102+ E1=1/2mv12 ，解得E1= E0/4。
同理可推出，每个振子弹性势能最大的最大值都是E0/4
v
m2

m1
A
B
(a)
7 如图(a)示,轻弹簧的两端与质量分别为m1和m2的两物块A、B连接,并静止在光滑水平面上,现使A瞬时获得水平向右的速度3m/s,以此刻为计时起点,两物块的速度随时间变化的规律如图(b)示,从图象信息可得 （ C D ）
A. 在t1、t3时刻两物块达到共同速度1m/s，且弹簧
t/s
v/ms-1
0
t1 t2 t 3 t4
1
2
3
-1
(b)
A
B
都是处于压缩状态
B. 从t3到t4时刻弹簧由压缩状态恢复原长
C. 两物块的质量之比为 m1 : m2 =1: 2
D. 在t2时刻A与B的动能之比为 EK1 : EK2 =1: 8

小结：
常见情景:在水平面内，两物体之间夹一弹簧：
临界状态:⑴弹簧压缩到最短（最长）时，⑵弹簧恢复到原长时
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