估算(薛1).doc

估算（一）
估计与估算是一种十分重要的算法，在生活实践和数学解题中有广泛的应用，其表现形式通常有以下两种：
（1）省略尾数取近似值，即观其“大概”；
（2）用放大或缩小的方法来确定某个数或整个算式的取值范围，即估计范围。
例１、求算式0.1234……5051÷0.5150……4321的小数点后前三位数字是多少？

分析与解：真正计算出这个算式，再取近似值，几乎是不可能的。因为题目要求精确到小数点后三位数，所以只要能大概知道小数点后四位数的情况就可以了。
　　若分子缩小、分母扩大，则分数变小；若分子扩大、分母缩小，则分数变大。利用这一点，使用放缩法就能估计算式的值的范围。分子、分母各取两位小数，有

　　…由0.2037… ＜原式＜0.2549…，无法确定原式小数点后三位的近似值。缩放的范围太大，应使范围缩小些。
　　分子、分母各取三位小数，有

　　仍然无法确定，还应使范围缩小。
　　分子、分母各取四位小数，有

　　由 0.2395…＜原式＜0.2398…知，原式小数点后三位肯定是“239”，第四位在5和8之间。按四舍五入法则，精确到小数点后三位数的近似值是0.240。
　　由例2进一步看出“放缩”适度的重要性。取的位数少了，范围太大，无法确定；取的位数多了，例如取十位小数，计算量太大，繁琐且没有必要。
练一练：
1、 A=12345678910111213÷31211101987654321，求 A的小数点后前3位数字。
　　解：A＞1234÷3122=0.3952…
　　　　A＜1235÷3121＝0.3957…
　　所以0.3952＜A＜0.3957，A的小数点后前3位数是395。
　　说明：上述解法是采用放缩法估计范围解答的，本题还可采用取近似值的办法求解。解法如下：
　　将被除数、除数同时舍去13位，各保留4位，则有
1234÷3121≈0.3953≈0.395。
2、计算下式的精确到小数点后三位数的近似值：1357902468÷8642097531。
3、计算5.43826÷2.01202商保留两位小数。
4、135791113151719212325÷523212917151311197531，求商的小数点后前三位数字。
【解答】设题中所述式子为A÷B，由于题中所涉及的数太大，不大可能通过直接来确定前五位数（否则计算量太大）下面利用估值算法来求。
因为A÷B＜14÷52＜0.3，A÷B＞13÷53＞0.2，所以次数的第一位数字为2。
又因为A÷B＜135.8÷523＜0.2597，A÷B＞1357÷5233＞0.259，所以次数的第一、二、三位数字为2，5，9。
又因为A÷B＜135792÷523212＜0.25954，A÷B＞135791÷523213＞0.25953，所以此五位数字是2，5，9，5，3。
例2、求下式的整数部分：
1.22×8.03+1.23×8.02+1.24×8.01。
分析与解：在1.22×8.03， 1.23×8.02与1.24×8.01中，各式的两个因数之和都相等。当两个数的和一定时，这两个数越接近，这两个数的乘积越大，于是得到
1.22×8.03＜1.23×8.02＜1.24×8.01。
因为1.22×8.03＞1.22×8，所以 原式＞1.22×8×3=29.28；
因为 1.24×8.01＜1.25×8，所以 原式＜1.25×8×3=30。
由29.28＜原式＜30知，原式的整数部分是29。
前面讲过，四舍五入的方法是取近似值最常用的方法。但在实际问题中，一定要注意灵活运用，特别要注意有些问题不宜使用四舍五入的原则。
练一练：求下式的整数部分：
2. 45×4.05＋2.46×4.04＋2.47×4.03＋2. 48×4.02＋2.49×4.01
例3、，的整数部分的多少？
【解答】步骤一：原式＞9/10＋9/10＋……＋9/10 = 9（10个9/10的和）。
步骤二：原式＜1＋1＋……＋1 = 10（10个1的和）。
所以原式的和的整数部分是9。
练一练：
A = 1，则A的整数部分是多少？
例4、求下式的整数部分：
分析与解：对分母使用放缩法，有

　　　　所以199.1＜原式＜200，原式整数部分是199。
练一练：
1、数的整数部分是几?
【分析与解】 我们可以先算出连10个分数的值，然后用所得的结果去除l，所得的商的整数部分即为所求．
现在问题在于如何在我们所需的精度内简单的求出的值．
因为＜
即＞
即的值在～l，那么它的倒数在l～之间，显然所求的数的整数部分为1．

评注：本题中的放(扩大)缩(缩小)幅度不易确定，可多次尝试修正使得放缩的结果满足要求．
2、S = ，那么S的整数部分是多少？
3、S=，求S的整数部分。

4、求下式中S的整数部分：

5、设，求的整数部分。
6、求A=1÷（）的整数部分。

例5、老师在黑板上写了十三个自然数，让小明计算平均数（保留两位小数），小明计算出的答数是12.43。老师说最后一位数字错了，其它的数字都对。正确的答案应是什么？
分析：小明的答案仅仅是最后一位数字错了，那么正确答案应该在12.40与12.50之间。原来13个数的总和最小应该是12.40×13=161.2，最大应该是12.50×13=162.5之间，从而可求出这 13个自然数的总和162，从而知道正确答案12.46
练一练：
1、小华在计算一道求七个自然数平均数（得数保留两位小数）的题目时，将得数最后一位算错了。他的错误答案是21.83，正确答案应是多少？

2、老师在黑板上写了14个自然数，让小明计算平均数（保留三位小数），小明计算出的答案是16.387。老师说小数点后第二位错了，其他的数字都对。正确答案应该是多少？
例6、有13个自然数，它们的平均值精确到小数点后一位数是26.9。那么，精确到小数点后两位数是多少？
分析与解：13个自然数之和必然是整数，因为此和不是13的整数倍，所以平均值是小数。由题意知，26.85≤平均值＜26.95，所以13个数之和必然不小于26.85的13倍，而小于26.95的13倍。
　　26.85×13＝349.05，
　　26.95×13＝350.35
　　因为在349.05与350.35之间只有一个整数350，所以13个数之和是350。
　　350÷13＝26.923…
　　当精确到小数点后两位数时，是26.92。
例1中所用的方法可称为“放缩法”。对于一个数，如例1中13个数的平均数，如果不知道它的确切数值，那么可以根据题设条件，适当地将它放大或缩小，再进一步确定它的具体数值。当然，这里的“放大”与“缩小”都要适当，如果放得过大或缩得过小，则可能无法确定正确值，这时“放缩”就失败了。
练一练：
1、有17个自然数，它们的平均值精确到小数点后一位数是21.3，那么精确到小数点后三位数是多少？
2、有24个偶数的平均数,如果保留一位小数的得数是15.9,那么保留两位小数的得数是多少？