1、方程思想（2）
一、概述与要点
方程思想在解题中的运用非常广泛，常见的类型可分为代数中的方程思想，几何问题中的方程思想及解决实际问题时的方程思想.在解决有关开放性的问题时，常常可利用方程思想解决有关存在性问题.
二、例题选讲
例1. 如图2－1，AD∥BC,∠D=90°,DC=7,AD=2,BC=3.若在边DC上在点P使与相似,则这样的点P有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3 D. 4个.
解：如图2－2，设
（1）若∽，则，即 ，解之得：
（2）若∽，则，即
2、 ，解之得：
综上所述，存在三个点P，使与相似. 答：选 C.
例2 如图，有甲、乙两楼，甲楼高AD是23米，现在想测量乙楼CB的高度.某人在甲楼的楼底A和楼顶D，分别测得乙楼的楼顶B的仰角为65°13′和45°，利用这些数据求乙楼的高度（结果精确到0.01米）.
注：以下数据供计算中选用
65°13′＝0.9078, 65°13′＝0.4192, tg65°13′＝2.1659.
解：如图2－4，过D作DE⊥BC于点E，设CB＝，
据矩形ADEC得，DE＝AC，CE＝AD＝23，
在 中，
∵∠BD
3、E＝45°，∴DE＝BE＝，
又在中， tg65°13′＝，
∴ [（tg65°13′）－1] =23×tg65°13′
解得，米.
答：乙楼BC的高为42.73米.
例3.在矩形ABCD中，AB＝20ｃｍ，BC＝4ｃｍ，点P从A开始沿折线A－B－C－D以4ｃｍ/s的速度移动，点Q从C开始沿CD边以1ｃｍ/s的速度移动，若点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s）.（1）当t为何值时,四边形APQD为矩形?（2）如图2,如果⊙P和⊙Q的半径都是2cm,那么t为何值时,⊙P和⊙Q外切?
4、
图 2－3. 图 2－4.
解：（1）据题意，当AP＝DQ时，由AP∥DQ，∠A＝90°，得四边形APQD为矩形.
这时， ，解得.∴时，四边形APQD为矩形.
（2）若⊙P和⊙Q外切，则PQ＝4.
这里分4种情况讨论如下：
①当P在AB上运动时，只有当四边形APQD为矩形时满足要求，.∴.
②当P在BC上运动时，则，这时两圆外离.
③当P在CD上运动，且点P在点Q的右边时，则，.∴解得
④当P在CD上运动，且点P在点Q的左边时，，∴
解得
∵点P从A到D要11点Q从C到D要20
5、
∴当为时，均有⊙P和⊙Q外切.
例4 （2004吉林）如图，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点D（0,8），直线DC平行于轴，交抛物线于另一点C.动点P以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿C→D运动.同时，点Q以每秒1个单位长度 图 2－5
的速度从点A出发，沿A→B运动.连接PQ、CB.设点P的运动时间为秒.（1）求的值；（2）当为何值时，PQ平行于ｙ轴；（3）当四边形PQBC的面积等于14时，求的值.
解：（1）∵D（0，8）在抛物线上，∴∴
（2） 时，
当时，∴∴C点坐标为（6,8）.
当时，
∴A点坐标为（2,0），B点坐标为（4,0
6、
∵以CP＝AQ＝
∴点P坐标为（点Q坐标为（
由得即当秒时，PQ平行于ｙ轴.
（3）
由得即当秒时，四边形PQBC的面积等于14.
三、习题精练
1.在一次数学实践活动中，为了测量河对岸大楼AB的高度，某同学从与大楼底部B在同一水平直线上的C、D两处，用测角仪测得楼顶A的仰角分别为25°和33°，已知测角仪的高D1D＝C1C＝1.52米，CD＝20米，求楼高（精确到0.01米）.
（参考数据：
图 2－6
2.如图2－7，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3ｃｍ，BC＝7ｃｍ，∠B＝60°，P为下底
7、BC上一点（不与B、C重合），连接AP，过P点作PE交DC于E，使得∠APE＝∠B.（1）求证：∽；（2）求等腰梯形的腰AB的长；（3）在底边BC上是否存在一点P，使得DE∶EC＝5∶3，如果存在，求BP长，如果不存在，请说明理由.
图 2－7 图 2－8
3.如图2－8，在中，圆A的半径为1，若点O在BC上移动（与点B、C不重合），设的面积为，
（1）求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；
（2）以点为圆心，长为半径作圆，求当圆与圆相切时，的面积.
4.已知抛物线与轴交于两点，且抛物线与轴交于
8、点C，OB＝2OA.
（1）求抛物线的解析式；
（2）在轴上，点A的左侧，求一点E，使与相似，并说明直线EC经过（1）中抛物线的顶点D；
5.如图,2－9，正方形ABCD的边长为10，E、F是BC和CD上的点，为正三角形，求的面积.
图2－9
习题答案
1. 34.60（米）.
2. （2）AB＝4,（3）
3. （1）；（2）当圆与圆外切时，；（3）当圆与圆 内切时，
4. （1）（2）E（－8,0）.直线EC解析式为：抛物线的顶点为，∴D在直线EC上.
5.
4
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