双因素和多因素方差分析ppt课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第九章 双因素和多因素方差分析,1,学习目标,掌握：两因素交叉分组（有重复观察值、无重复观察值）资料的方差分析方法。,熟悉：多因素试验线性模型和不同变异来源期望均方构成。,了解：缺失数据的估计原理及方差分析方法。,2,讲授内容,第一节 双因素方差分析概述,第二节 不同实验类型的双因素方差分析,第三节 多因素试验的方差分析,第四节 缺失数据的估计,第五节 数据变换,3,第一节 双因素方差分析概述,一、双因素试验汇中的几个基本概念,1,、主效应（,main effect,）：各实验因素相对独立的效应，该效应水平的改变会造成因素效应的改变，如包装方式对果汁销售量的影响。,2,、互作效应（,interaction,）：两个或多个实验因素的相互作用而产生的效应。,4,3,、无交互作用的双因素方差分析或无重复双因素方差分析,(,Two-factor without replication,),：两个因素对试验结果。两个因素对试验数据的影响。,4,、有交互作用的双因素方差分析或可重复双因素方差分析,(,Two-factor with replication,),：如果两个因素对试验数据的单独影响外，两个因素的搭配还会对结果产生一种新的影响。,5,二、双因素交叉分组试验设计的描述,（一）双因素试验的数据描述,（二）观测值的描述,（三）平方和与自由度的分解,（四）平方和的简便计算公式,（五）各项均方的计算,6,（一）试验数据的描述,7,（二）观测值的描述,对于上表中的每一个观测值可用线性统计模型描述,8,（三）平方和与自由度的分解,1,、平方和的分解,总平方和,SS,T,被分解为,A,因素所引起的平方和,SS,A,、,B,因素所引起的平方和,SS,B,、,AB,交互作用所引起的平方和,SS,AB,、误差平方和,SS,e,9,A,因素误差平方和,B,因素误差平方和,AB,交互作用误差平方和,随机误差项平方和,10,2平方和的分解,与平方和相应的自由度分别为：,总自由度：,df,T,=abn-1,A,因素处理间自由度：,df,A,=a-1,B,因素处理间自由度：,df,B,=b-1,交互作用自由度：,df,AB,=(a-1)(b-1),处理内自由度：,dfe=ab(n-1),df,T,=df,A,+df,B,+df,AB,+dfe,11,（四）平方和的简便计算方式,12,（五）各项均方的计算,13,第二节 不同实验类型的双因素方差分析,一、固定模型,（一）重复试验时的双因素方差分析,1,、观察值的线性统计模型,2,、提出假设,14,3,、检验统计量的计算,在,F,检验时，,A,因素、,B,因素和互作效应的检验统计量均以,MSe,做分母：,F,A,=MS,A,/MSe F,B,=MS,B,/MSe F,AB,=MS,AB,/MSe,用,F,分布的上尾检验，拒绝域为,FF,4,、均方期望,15,（二）无重复实验时的双因素方差分析,1,、观测值的描述,2,、提出假设,16,3,、检验统计量的计算,在,F,检验时，,A,因素、,B,因素的检验统计量均以,MSe,做分母,F,A,=MS,A,/MSe F,B,=MS,B,/MSe,用,F,分布的上尾检验，拒绝域为,FF,17,（三）交互作用的判断,Tukey,提供的方法进行因素间是否存在交互作用的判断,P,150,18,二、随机模型,1,、观察值的线性统计模型,2,、提出假设,19,3,、检验统计量的计算,在,F,检验时，,A,因素、,B,因素主效应的检验统计量是以,MS,AB,做分母；互作效应的检验统计量以,MSe,做分母,F,A,=MS,A,/MS,AB,F,B,=MS,B,/M,AB,F,AB,=MS,AB,/MSe,用,F,分布的上尾检验，拒绝域为,FF,注意：检验统计量的分母与统计量的第二自由度与固定效应不同,20,4,、均方期望,21,三、混合模型（以,A,为固定因素、,B,为随机因素为例）,在混合模型中，,A,、,B,因素的效应为非可加性，,为固定效应，为随机效应,对,A,做检验时用随机模型，对,B,及,AB,交互效应做检验时用固定模型。,P,177,22,例,1,：随机选择,4,个小麦品种，施以三种肥料，小区产量列于下表，该问题属于哪种模型？从方差分析的结果可得出什么结论？,肥料种类,小麦品种,不同条件下小区产量,/kg,(NH,4,),2,SO,4,NH,4,NO,3,Ca(NO,3,),2,1,21.1,18.0,19.4,2,24.0,22.0,21.7,3,14.2,13.3,12.3,4,31.5,31.4,27.5,23,题解,解：本题影响产量的因素包括肥料种类和小麦品种。该问题属于混合模型中无重复的两因素分组交叉分析。,肥料种类,小麦品种,不同条件下小区产量,/kg,(NH,4,),2,SO,4,NH,4,NO,3,Ca(NO,3,),2,1,21.1,18.0,19.4,19.5,2,24.0,22.0,21.7,22.57,3,14.2,13.3,12.3,13.27,4,31.5,31.4,27.5,30.13,22.7,21.18,20.23,24,变差来源,平方和,自由度,均方,统计量,F,小麦品种,442.17,3,147.39,115.02*,肥料种类,12.47,2,6.24,4.87,误差,7.69,6,1.28,总和,462.33,11,小麦品种间差异极显著，肥料间无显著差异。,25,例,2,：用两种不同的饲料添加剂,A,和,B,，以不同比例搭配饲养大白鼠，每一种饲料添加剂取,4,个水平，每一处理设两个重复。大白鼠增重结果列于下表。请进行统计分析，并回答下列问题。,添加剂,B,添加剂,A,不同条件下大白鼠增量,/g,1,2,3,4,1,32,，,36,28,，,22,18,，,16,23,，,21,2,26,，,24,29,，,33,27,，,23,17,，,19,3,33,，,39,30,，,24,33,，,37,23,，,27,4,39,，,43,31,，,35,28,，,32,36,，,34,26,该实验有可能属于哪几种模型？前提是什么？,如果认为是随机模型，设置重复与不设重复对分析结果有无影响？,若实验本身是固定模型，但分析时误认为随机模型，对结论有何影响？若不设重复，又有何影响？,27,题解：（,1,）该实验可能属于固定模型、随机模型、混合模型。取决于添加剂本身的性质，即添加剂的效果能否严格重复。,（,2,）分析：固定模型下：,aj,ai,B,1,2,3,4,1,34,25,17,22,24.5,2,25,31,25,18,24.75,3,36,27,35,25,30.75,4,41,33,30,35,34.75,34,29,26.75,25,28.69,28,变差来源,平方和,自由度,均方,统计量,F,A,592.375,3,197.458,24.68*,B,365.375,3,121.792,15.22*,AB,425.125,947.236,5.904*,误差,128,16,8,总和,1510.875,31,查,F,分布表：,所以,F,A,、,F,B,、,F,C,均达极显著，所以大白鼠增重与添加剂,A,、,B,及其交互作用都有显著关系。,29,随机模型下：,查,F,分布表：,F,A,显著但未达极显著，,F,B,不显著，,F,AB,极显著。,所以大白鼠增重与,A,、,AB,的交互作用有显著关系。,综合上面可知，随机模型和固定模型对主效应的认识不同；若不设重复，对固定模型，统计检验无法进行。,30,第三节 多因素试验的方差分析,一、观测值的描述,假设在一个试验中，,A,因素有,a,个水平，,B,因素有,b,个水平，,C因素有,c,个水平，每个因素有,n,次重复，那么观测值的线性统计模型为,31,A1,A2,A3,B1,B2,B3,A1,A2,A3,B2,B3,B1,(a),无交互效应,(b),有交互效应,图中每条曲线代表,B,因素的一个水平。若各曲线平行或近似平行，可认为无交互效应，否则为有交互效应。以上只是一种直观的判断，在多因素方差分析的过程中，我们对交互作用的有无也可进行统计检验。,交互效应,32,H,01,:,i,=0,i=1,2,a,H,02,:,j,=0,j=1,2,b,H,03,:(,),ij,=0,i=1,2,a,j=1,2,b,备择假设为,:,H,A,:,上述各参数中至少有一个不为,0,这实际上是三个备择假设。,),零假设,33,方差分析的基本思想仍是总变差分解：,即：,SS,T,=SS,A,+SS,B,+SS,AB,+SS,e,自由度：,abn-1 a-1 b-1 (a-1)(b-1)ab(n-1),总变差分解,34,均方数学期望,35,检验两个主效应及一个交互效应的下述三个统计量中，分母全部采用,MS,e,即可。,检验,H,01,，,H,02,，,H,03,的统计量分别为：,检验,H,01,，,H,02,，,H,03,的统计量,从前述的各均方期望可知，只有当各,H,0,成立时，上述三个分子才是,2,的无偏估计量，此时各统计量均服从,F,分布；若某个,H,0,不成立则相应的分子将有偏大的趋势，从而使对应的统计量也有偏大的趋势，因此可用,F,分布上单尾分位数进行检验。,36,各效应的估计值,其中,i=1,2 a,j=1,2,b,。,37,计算公式,38,计算排列如下表：,表中最下一行是各列的平均，最右一列是各行的平均,计算步骤,39,变差来源,平方和,自由度,均方,统计量,F,主效应,A,主效应,B,交互效应,AB,误差,总和,方差分析表,40,把计算所得结果填入上表后，再根据各,F,统计量的自由度查出其,F,0.95,及,F,0.99,分位数，并将,F,计算值与相应分位数相比，大于,F,0.95,则在统计量,F,右上角标一个,“*”,号；大于,F,0.99,则再加一个,“*”,号。最后用一句话对上述方差分析的结果加以总结，即哪些主效应或交互效应达到显著或极显著水平，哪些不显著,F,测验,41,如果,MS,AB,小于或约等于,MS,e,，即,F,AB,小于或约等于,1,，,说明此时交互作用不存在,，在这种情况下也可把,MS,AB,和,MS,e,合并在一起,(,即把平方和和自由度都合并,),作为,2,的估计量，这样可以提高检验的精确度。具体计算公式如下,交互作用不存在,然后可用作统计量,F,A,和,F,B,的分母，对两个主效应进行统计检验。注意查表时分母自由度要相应改变。,42,原料,种类,(A),温 度（,B,）,30,35,40,1,41,49,23,25,11,13,25,24,6,22,26,18,2,47,59,50,40,43,38,33,36,8,22,14,18,3,35,53,50,43,38,47,44,55,33,26,29,30,例,3,选择最适发酵条件,43,本题中显然温度是一个因素，原料种类是另一个因素。这两个因素各有三个水平。由于它们的影响都是可控制、可重复的，因此都是,固定因素。,在同样温度、原料下所做的几次实验应视为,重复,，它们之间的差异是由随机误差所造成的,。,固定因素,44,j,i,1,2,3,1,34.5,18.25,18,23.58,2,49,37.5,15.5,34,3,45.25,4627,39.42,42.92,33.92,20.12,各处理平均数,45,发酵实验方差分析表,变差来源,平方和,自由度,均方,F,原料,A,温度,B,AB,误差,1554.18,3150.50,808.82,1656.50,2,2,4,27,777.09,1575.25,202.21,61.35,12.67,*,25.68,*,3.30,*,总和,7170.00,35,46,查,F,分布表，得：,F,0.95,(2,27)F,0.95,(2,30)=3.316,F,0.99,(2,27)F,0.99,(2,30)=5.390,F,0.95,(4,27)F,0.95,(4,30)=2.690,F,0.99,(4,27)F,0.99,(4,30)=4.018,F,A,F,B,均达极显著，标上,“,*,”,，,F,AB,只达显著，标上,“,*,”,。因此酒精产量不仅与原料和温度的关系极显著，与它们的交互作用也有显著关系。即对不同原料应选用不同的发酵温度。,F,测验,47,在固定效应模型中，若各,F,统计量有达到显著或极显著水平时，常常还需要在各处理间进行多重比较，以选出所需要的条件组合。,各处理间进行多重比较,如果有交互作用存在，则一般需要把所有,ab,个水平组合放在一起比。比较的方法仍与单因素方差分析相同，最常用,Duncan,法。,48,当交互作用存在时，对固定模型若不设置重复，则无法把,SS,AB,与,SS,e,分开，这样将无法进行任何统计检验。因此在固定模型中有交互作用时，不设置重复的试验是无意义时。,对固定模型来说，结论只能适用于参加实验的几个水平，不能任意推广到其他水平上去。,几点注意事项：,49,二、平方和与自由度的分解（,P,179,）,三、检验统计量的计算,在各种模型中，要特别注意统计量,F,的计算一定要根据因素的性质来决定。,对于,固定因素,主效应做检验时用,随机模型,，对,随机因素,主效应做检验时用,固定模型,。,四、各均方的数学期望,50,由于,F,AB,F,0.99,(2,22),F,B,=,14.21 F,0.99,(2,22),因此两因素（饮料与窝别）的主效应均达极显著水平。交互效应显然不显著。,52,四、方差分析的规律总结,一、假设,(1),对于固定效应,A,的假设：,(2),对于随机效应,B,的假设：,二、平方和与自由度的分解,平方和的分解根据线性统计模型计算,自由度的分解规律如下：每一组因素主效应的自由度为该因素的水平减,1,，每一交互作用的自由度是产生交互作用各因素的自由度的乘积，误差自由度是各因素水平与重复数减,1,的乘积,53,三、均方期望的推演方法,（一）对均方期望做规律性规定,方差分析中均方数学期望的推导是选择合适检验统计量的前提。以多因素实验为例，均方期望的规律性做如下规定：,54,1,、下标：中的下标写为 ，括号中的,ijk,为不同处理水平组合的下标，称为“活下标”；括号外的,l,和其他方差分量中的下标均称为“活下标”。,2,、固定模型中各因素的效应分别改模型分量的平方和除以自由度表示，如,A,因素的效用 表示，,55,3,、随机模型中各因素的效应分别以希腊字母为下标的方差表示，如,A,因素的效应记为 ；,B,因素的效应记为 ，,AB,交互作用的效应记为 ，以上各量分别称为各因素的方差分量。,4,、混合模型中，交互作用的两个因素只要有一个是随机的，则交互作用即被认为是随机的，两因素的交互效应记为,5,、不论哪一种模型，误差的方差均记为,56,四、检验统计量的计算,检验统计量,F,要根据各均方期望的构成来决定，它的规律是为了得到检验的某个效应的统计量。,在计算,F,时，分子均方的组成比分母均方的组成多出了欲检验的效应（固定因素）或方差（随机因素）分量，除此之外，其他成分完全相同。,对固定因素主效应做检验时用随机模型，对随机因素主效应做检验时用固定模型,57,