2011模拟圆锥曲线.doc

2011石景山一模理19）．（本小题满分13分）
已知椭圆经过点，离心率为，动点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）求以OM为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程；
（Ⅲ）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，
证明线段ON的长为定值，并求出这个定值.
解：（Ⅰ）由题意得①
因为椭圆经过点，所以 ②
又 ③
由①②③ 解得 ，.
所以椭圆方程为. …………3分
（Ⅱ）以OM为直径的圆的圆心为,半径，
方程为 ……………5分
因为以OM为直径的圆被直线截得的弦长为2，
所以圆心到直线的距离 . …………7分
所以，解得.
所求圆的方程为. ………9分
（Ⅲ）方法一：过点F作OM的垂线，垂足设为K，由平几知：.
则直线OM：，直线FN： …………11分
由得.
∴ .
所以线段ON的长为定值. …………13分
方法二：设，则 ，，
，.
∵ ，∴ .∴ . ……………11分
又∵ ，∴ ，
∴ .
∴ 为定值. ……………13分
(2011丰台一模理19).（本小题共14分）
已知点，，动点P满足，记动点P的轨迹为W．
（Ⅰ）求W的方程；
（Ⅱ）直线与曲线W交于不同的两点C，D，若存在点，使得成立，求实数m的取值范围．
解：
（Ⅰ）由椭圆的定义可知动点P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为的椭圆．…2分
∴，，． ……3分
W的方程是． …………4分
（Ⅱ）设C，D两点坐标分别为、，C，D中点为．
由 得 ． ……6分
所以 …………7分
∴， 从而．
∴斜率． ………9分
又∵， ∴，
∴ 即 …10分
当时，； ……11分
当时，． ……13分
故所求的取范围是． ……14分
（2011朝阳一模理19）．（本小题满分14分）
已知，为椭圆的左、右顶点，为其右焦点，是椭圆上异于，的动点，且面积的最大值为．
（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；
（Ⅱ）直线与椭圆在点处的切线交于点，当直线绕点转动时，试判断以
为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明．
解：（Ⅰ）由题意可设椭圆的方程为，．
由题意知解得，．
故椭圆的方程为，离心率为．……6分
（Ⅱ）以为直径的圆与直线相切．
证明如下：由题意可设直线的方程为.
则点坐标为，中点的坐标为．
由得．
设点的坐标为，则．
所以，． …………………………10分
因为点坐标为，
当时，点的坐标为，点的坐标为.
直线轴，此时以为直径的圆与直线相切．
当时，则直线的斜率.
所以直线的方程为．
点到直线的距离．
又因为 ，所以．
故以为直径的圆与直线相切．
综上得，当直线绕点转动时，以为直径的圆与直线相切．………14分
(2011海淀一模理19). （本小题共14分）
已知椭圆 经过点其离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
(Ⅱ)设直线与椭圆相交于A、B两点，以线段为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆上，为坐标原点.求的取值范围.
解：（Ⅰ）由已知可得，所以 ① ……………1分
又点在椭圆上，所以 ② ……………2分
由①②解之，得.
故椭圆的方程为. ……………5分
(Ⅱ) 由
消化简整理得：，
③ ………8分
设点的坐标分别为，则
. ………9分
由于点在椭圆上，所以 . ……………10分
从而，化简得，经检验满足③式.……11分
又

………………………12分
因为，得，有，故.
即所求的取值范围是. …………14分
(Ⅱ)另解：设点的坐标分别为，
由在椭圆上，可得 ……………6分
①—②整理得 …………7分
由已知可得，所以 …………8分
由已知当 ,即 ⑥ ………………9分
把④⑤⑥代入③整理得 …………………10分
与联立消整理得 ……11分
由得，
所以 …………12分
因为，得，有，
故. ………………13分
所求的取值范围是. ………………14分
(2011东城一模理19) （本小题共13分）
已知椭圆的离心率为，且两个焦点和短轴的一个端点是一个等腰三角形的顶点．斜率为的直线过椭圆的上焦点且与椭圆相交于，两点，线段的垂直平分线与轴相交于点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求的取值范围；
（Ⅲ）试用表示△的面积，并求面积的最大值．
解：（Ⅰ）依题意可得，，，又，可得．
所以椭圆方程为．
（Ⅱ）设直线的方程为，
由可得．
设，则，．
可得．
设线段中点为，则点的坐标为，
由题意有，可得．
可得，又，所以．
（Ⅲ）设椭圆上焦点为，
则.
，
由，可得．
所以．
又，所以.
所以△的面积为（）．
设，则．
可知在区间单调递增，在区间单调递减．
所以，当时，有最大值．
所以，当时，△的面积有最大值．
西城二模19.（本小题满分14分）
已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为．
（Ⅰ）求椭圆的方程
（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，
求面积的最大值．
解：（Ⅰ）因为椭圆上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为，
所以， ……………1分
又椭圆的离心率为，即，所以， ………………2分
所以，. ………………4分
所以，椭圆的方程为. ………………5分
（Ⅱ）方法一：不妨设的方程，则的方程为.
由得， ………………6分
设，，
因为，所以， ………………7分
同理可得， ………………8分
所以，， ………………10分
， ………………12分
设，
则， ………………13分
当且仅当时取等号，所以面积的最大值为. ……………14分
方法二：不妨设直线的方程.
由 消去得， ………………6分
设，，
则有，. ① ………………7分
因为以为直径的圆过点，所以 .
由 ，
得 . ………………8分
将代入上式，
得 .
将 ① 代入上式，解得 或（舍）. ………………10分
所以（此时直线经过定点，与椭圆有两个交点），
所以
. ……………12分
设，
则.
所以当时，取得最大值. ……………14分
顺义二模19. （本小题满分14分）
已知椭圆C的左，右焦点坐标分别为,离心率是。椭圆C的左，右顶点分别记为A,B。点S是椭圆C上位于轴上方的动点，直线AS,BS与直线分别交于M,N两点。
（1） 求椭圆C的方程；
（2） 求线段MN长度的最小值；
（3） 当线段MN的长度最小时，在椭圆C上的T满足：的面积为。试确定点T的个数。
解（1）因为，且，所以
所以椭圆C的方程为 …………….3分
(2 ) 易知椭圆C的左，右顶点坐标为,直线AS的斜率显然存在，且
故可设直线AS的方程为，从而
由得
设，则，得
从而，即
又,故直线BS的方程为
由得，所以, 故
又，所以
当且仅当时，即时等号成立
所以时，线段MN的长度取最小值 …………..9分
（3）由（2）知，当线段MN的长度取最小值时，
此时AS的方程为，,
_
D
_
x
_
y
_
N
_
S
_
A
_
B
_
M
_
O
所以,要使的面积为，
只需点T到直线AS的距离等于，
所以点T在平行于AS且与AS距离等于的直线上
设，则由，解得
① 当时，由得
由于，故直线与椭圆C有两个不同交点
②时，由得
由于，故直线与椭圆C没有交点
综上所求点T的个数是2. ………………………..14分

昌平二模18. (本小题满分14分)
已知椭圆C：，左焦点，且离心率
(Ⅰ）求椭圆C的方程；
(Ⅱ)若直线与椭圆C交于不同的两点（不是左、右顶点），且以为直径的圆经过椭圆C的右顶点A. 求证：直线过定点,并求出定点的坐标.
解：（Ⅰ）由题意可知： ……1分
解得 ………2分
所以椭圆的方程为： ……3分
（II）证明：由方程组 ….4分

整理得 ………..5分
设
则 …….6分
由已知，且椭圆的右顶点为 ………7分
……… 8分

即
也即 …… 10分
整理得： ……11分
解得均满足 ……12分
当时，直线的方程为，过定点（2，0）与题意矛盾舍去……13分
当时，直线的方程为,过定点
故直线过定点，且定点的坐标为
(2011门头沟一模理2,4,6
19)．（本小题满分13分）
如图：平行四边形的周长为8，点的坐标分别为．
O
x
y
A
M
N
B
（Ⅰ）求点所在的曲线方程；
（Ⅱ）过点的直线与(Ⅰ)中曲线交于点，与Y
轴交于点，且//，
求证：为定值．

解：（Ⅰ）因为四边形是平行四边形,周长为8
所以两点到的距离之和均为4,可知所求曲线为椭圆 ……1分
由椭圆定义可知，，
所求曲线方程为 …………4分
（Ⅱ）由已知可知直线的斜率存在，又直线过点
设直线的方程为： ………5分
代入曲线方程，并整理得
点在曲线上,所以(,) ……8分
,, ……9分
因为//,
所以设的方程为 ………10分
代入曲线方程，并整理得
所以 ……………11分

所以： 为定值 ……13分
海淀二模19．(本小题共13分）
在平面直角坐标系中，设点，以线段为直径的圆经过原点.
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过点的直线与轨迹交于两点，点关于轴的对称点为，试判断直线是否恒过一定点，并证明你的结论.
解：（I）由题意可得， ……………………2分
所以，即 …………………4分
即，即动点的轨迹的方程为 ……………5分
（II）设直线的方程为,，则.
由消整理得， ……………6分
则，即. …………………7分
. …………………9分
直线
………………12分
即
所以，直线恒过定点. …………13分
朝阳二模(19)（本小题满分14分）
已知椭圆经过点，离心率为．过点的直线与椭圆交于不同的两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求的取值范围；
（Ⅲ）设直线和直线的斜率分别为和，求证:为定值．
解：（Ⅰ）由题意得 解得，．
故椭圆的方程为． ………………………4分
（Ⅱ）由题意显然直线的斜率存在，设直线方程为，
由得. …………………5分
因为直线与椭圆交于不同的两点，，
所以，解得. ……6分
设，的坐标分别为，，
则，，，．… 7分
所以 ……………………………………8分
． …9分
因为，所以．
故的取值范围为． ……………………………………10分
（Ⅲ）由（Ⅱ）得 ……………………………………11分

．
所以为定值． ……………………………………14分
东城二模（19）（本小题共13分）
在平面直角坐标系中，动点到定点的距离比点到轴的距离大，设动点的轨迹为曲线，直线交曲线于两点，是线段的中点，过点作轴的垂线交曲线于点．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）证明：曲线在点处的切线与平行；
Ⅲ）若曲线上存在关于直线对称的两点，求的取值范围．
（Ⅰ）解：由已知，动点到定点的距离与动点到直线的距离相等．
由抛物线定义可知，动点的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线．
所以曲线的方程为． ………………3分
（Ⅱ）证明：设，．
由得．
所以，． 设，则．
因为轴， 所以点的横坐标为．
由，可得, 所以当时，．
所以曲线在点处的切线斜率为，与直线平行．………………8分
（Ⅲ）解：由已知，． 设直线的垂线为：．
代入，可得 （*）
若存在两点关于直线对称，
则，
又在上，
所以， ．
由方程（*）有两个不等实根
所以，即
所以，解得或． ………………13分
丰台二模19.（本小题共14分）
已知抛物线P：x2=2py (p>0)．
（Ⅰ）若抛物线上点到焦点F的距离为．
（ⅰ）求抛物线的方程；
（ⅱ）设抛物线的准线与y轴的交点为E，过E作抛物线的切线，求此切线方程；
（Ⅱ）设过焦点F的动直线l交抛物线于A，B两点，连接，并延长分别交抛物线的准线于C，D两点，求证：以CD为直径的圆过焦点F．
解：（Ⅰ）
（ⅰ）由抛物线定义可知，抛物线上点到焦点F的距离与到准线距离相等，
即到的距离为3； ∴ ，解得．
∴ 抛物线的方程为． …………4分
（ⅱ）抛物线焦点，抛物线准线与y轴交点为，
显然过点的抛物线的切线斜率存在，设为，切线方程为．
由， 消y得， …………6分
，解得． …………7分
∴切线方程为． ……………8分
（Ⅱ）直线的斜率显然存在，设：，
设，，
由 消y得 ． 且．
∴ ，；
∵ ， ∴ 直线：，
与联立可得， 同理得． ………10分
∵ 焦点，∴ ，， ……12分
∴

∴ 以为直径的圆过焦点． ………………14分
（2011西城一模理19）. （本小题满分14分）
已知抛物线的焦点为，过的直线交轴正半轴于点，交抛物线于两点，其中点在第一象限.
（Ⅰ）求证：以线段为直径的圆与轴相切；
（Ⅱ）若,,，求的取值范围.
解：（Ⅰ）由已知,设，则，
圆心坐标为，圆心到轴的距离为， …………………2分
圆的半径为， …………………4分
所以，以线段为直径的圆与轴相切. …………………5分
（Ⅱ）解法一：设，由,,得
，，…………………6分
所以，
， …………………8分由，得.又，，所以 . ………10分
代入，得，，
整理得， ……………12分
代入，得，所以，………13分
因为，所以的取值范围是. ………………14分
解法二：设，，
将代入，得，
所以（*）， ………………6分
由，，得
，， ……………7分
所以，，，……8分
将代入（*）式，得， ……………10分
所以，. ………………12分
代入，得. …………13分
因为，所以的取值范围是. ……………14分
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