实数的计算专题训练(一).doc

实数的计算专题训练（一）
一．选择题（共11小题）
1．（2012•湘潭）文文设计了一个关于实数运算的程序，按此程序，输入一个数后，输出的数比输入的数的平方小1，若输入，则输出的结果为（　　）

A．
5
B．
6
C．
7
D．
8

2．（2012•菏泽）在算式（）□（）的□中填上运算符号，使结果最大，这个运算符号是（　　）

A．
加号
B．
减号
C．
乘号
D．
除号

3．（2010•枣庄）下列运算正确的是（　　）

A．
+=
B．
×=
C．
（﹣1）2=3﹣1
D．
=5﹣3

4．（2010•襄阳）计算×+的结果估计在（　　）

A．
6至7之间
B．
7至8之间
C．
8至9之间
D．
9至10之间

5．（2008•大连）若运算程序为：输出的数比该数的平方小1，则输入2后，输出的结果应为（　　）

A．
10
B．
11
C．
12
D．
13

6．（2007•泰安）下列运算正确的是（　　）

A．
=±2
B．

C．

D．
﹣|﹣2|=2

7．（2006•荆州）有一个数值转换器，原来如下：当输入的x为64时，输出的y是（　　）

A．
8
B．
2
C．
2
D．
3

8．下列运算正确的是（　　）

A．
=﹣13
B．
3﹣2=1
C．
﹣3+=﹣2
D．
=±6

9．如果，则（xy）3等于（　　）

A．
3
B．
﹣3
C．
1
D．
﹣1

10．两个无理数的和，差，积，商一定是（　　）

A．
无理数
B．
有理数
C．
0
D．
实数

11．下列叙述正确的是（　　）

A．
是无理数
B．
是有理数

C．
π的近似值3.14是无理数
D．
无理数有有限个

二．填空题（共9小题）
12．（2010•沈阳）计算：×﹣（）0=　_________　．

13．（2009•茂名）若实数x，y满足xy≠0，则的最大值是　_________　．

14．（2005•海淀区）用“”、“”定义新运算：对于任意实数a，b，都有ab=a和ab=b，例如32=3，32=2．则（20062005）（20042003）=　_________　．

15．某同学学习了编程后，写了一个关于实数运算的程序，当输入一个数值后，屏幕输出的结果总比该数的平方大1．若该同学按此程序输入后，把屏幕输出的结果再次输入，则最后屏幕输出的结果为　_________　．

16．（2009•德城区）根据下面的运算程序，若输入x=1﹣时，输出的结果y=　_________　

17．如图，在日历中成“十”字型的5个数之和是50，则a=　_________　，b=　_________　，c=　_________　，d=　_________　，e=　_________　．

18．若（x﹣15）2=169，（y﹣1）3=﹣0.125，则=　_________　．

19．已知：a和b都是无理数，且a≠b，下面提供的6个数a+b，a﹣b，ab，，ab+a﹣b，ab+a+b可能成为有理数的个数有　_________　个．

20．的平方根与﹣的立方根的积为　_________　．

三．解答填空题（共3小题）
21．计算：+|2﹣3|÷=　_________　．

22．用长3cm、宽2.5cm的邮票30枚不重不漏地拼成一个正方形，则这个正方形的边长是　_________　cm．

23．化简：=　_________　．

四．解答题（共7小题）
24．（2009•烟台）化简：

25．（2009•乌鲁木齐）计算：

26．（2008•长春）计算：

27．（2006•杭州）在下面两个集合中各有一些实数，请你分别从中选出2个有理数和2个无理数，再用“+，﹣，×，÷”中的3种符号将选出的4个数进行3次运算，使得运算的结果是一个正整数．

28．（2003•杭州）创新设计题：
如图所示的集合中有5个实数，请计算其中的有理数的和与无理数的积的差．

29．计算：．

30．观察：===，即=；===，即=；
猜想：等于什么，并通过计算验证你的猜想．

参考答案与试题解析

一．选择题（共11小题）
1．（2012•湘潭）文文设计了一个关于实数运算的程序，按此程序，输入一个数后，输出的数比输入的数的平方小1，若输入，则输出的结果为（　　）

A．
5
B．
6
C．
7
D．
8

考点：
实数的运算。1729765
分析：
根据运算程序得出输出数的式子，再根据实数的运算计算出此数即可．
解答：
解：∵输入一个数后，输出的数比输入的数的平方小1，
∴输入，则输出的结果为（）2﹣1=7﹣1=6．
故选B．
点评：
本题考查的是实数的运算，根据题意得出输出数的式子是解答此题的关键．

2．（2012•菏泽）在算式（）□（）的□中填上运算符号，使结果最大，这个运算符号是（　　）

A．
加号
B．
减号
C．
乘号
D．
除号

考点：
实数的运算；实数大小比较。1729765
专题：
计算题。
分析：
分别把加、减、乘、除四个符号填入括号，计算出结果即可．
解答：
解：当填入加号时：（）+（）=﹣；
当填入减号时：（）﹣（）=0；
当填入乘号时：（）×（）=；
当填入除号时：（）÷（）=1．
∵1＞＞0＞﹣，
∴这个运算符号是除号．
故选D．
点评：
本题考查的是实数的运算及实数的大小比较，根据题意得出填入加、减、乘、除四个符号的得数是解答此题的关键．

3．（2010•枣庄）下列运算正确的是（　　）

A．
+=
B．
×=
C．
（﹣1）2=3﹣1
D．
=5﹣3

考点：
实数的运算。1729765
分析：
A、B、C、D利用根式的运算顺序及运算法则、公式等计算即可求解．
解答：
解：A、不是同类二次根式，不能合并，故选项错误；
B、×=，故选项正确；
C、是完全平方公式，应等于4﹣2，故选项错误；
D、应该等于，故选项错误；
故选B．
点评：
本题考查的是二次根式的运算能力．注意：要正确掌握运算顺序及运算法则、公式等．

4．（2010•襄阳）计算×+的结果估计在（　　）

A．
6至7之间
B．
7至8之间
C．
8至9之间
D．
9至10之间

考点：
实数的运算；估算无理数的大小。1729765
分析：
首先把二次根式的化简，然后估算无理数的大小即可解决问题．
解答：
解：原式=4×+=4+．
∵9＜10＜16，
∴＜＜，
∴3＜＜4，
∴7＜4+＜8．
故选B．
点评：
此题主要考查了实数的计算，解决此题的关键是会灵活计算二次根式之间的运算和估算无理数的方法．

5．（2008•大连）若运算程序为：输出的数比该数的平方小1，则输入2后，输出的结果应为（　　）

A．
10
B．
11
C．
12
D．
13

考点：
实数的运算。1729765
分析：
由于题目中“输出的数比该数的平方小1”，可表示为y=x2﹣1，把2代入求值即可．
解答：
解：当x=2时，得y=（2）2﹣1=11．故选B．
点评：
此题主要考查了实数的运算，解答本题的关键就是弄清楚题目给出的计算程序．

6．（2007•泰安）下列运算正确的是（　　）

A．
=±2
B．

C．

D．
﹣|﹣2|=2

考点：
实数的运算。1729765
分析：
A、根据算术平方根的定义即可判定；
B、根据负整数指数幂的法则即可判定；
C、根据立方根的定义即可判定；
D、根据绝对值的定义即可判定．
解答：
解：A、=2，故选项错误；
B、=4，故选项错误；
C、，故选项正确；
D、﹣|﹣2|=﹣2，故选项错误．
故选C．
点评：
此题主要考查了实数的运算．无理数的运算法则与有理数的运算法则是一样的．去绝对值符号时要先判断绝对值符号中代数式的正负，再利用绝对值的性质去掉绝对值符号．在进行根式的运算时要先化简再计算可使计算简便．

7．（2006•荆州）有一个数值转换器，原来如下：当输入的x为64时，输出的y是（　　）

A．
8
B．
2
C．
2
D．
3

考点：
实数的运算。1729765
专题：
图表型。
分析：
按照图中的方法计算，当将64输入，由于其平方根是8，为有理数，故要重新计算，直至为无理数．
解答：
解：将64输入，由于其平方根是8，
为有理数，需要再次输入，
得到，为2．
故选B．
点评：
本题考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．要注意当得到的数是有理数时，要再次输入，直到出现无理数为止．

8．下列运算正确的是（　　）

A．
=﹣13
B．
3﹣2=1
C．
﹣3+=﹣2
D．
=±6

考点：
实数的运算。1729765
分析：
A、根据二次根式的性质计算即可判定；
B、根据合并同类二次根式的法则计算即可判定；
C、根据合并同类二次根式的法则计算即可判定；
D、根据算术平方根的定义即可判定．
解答：
解：A、=13，故选项错误；
B、3﹣2=，故选项错误；
C、﹣3+=﹣2，故选项正确；
D、=6，故选项错误．
故选C．
点评：
此题主要考查了实数的运算．无理数的运算法则与有理数的运算法则是一样的．注意：表示a的算术平方根．在进行根式的运算时要先化简再计算可使计算简便．

9．如果，则（xy）3等于（　　）

A．
3
B．
﹣3
C．
1
D．
﹣1

考点：
实数的运算；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方。1729765
分析：
首先根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
解答：
解：由题意得：，解得，
∴（xy）3=（﹣×）3=（﹣1）3=﹣1．
故选D．
点评：
本题考查了实数的运算和非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．

10．两个无理数的和，差，积商一定是（　　）

A．
无理数
B．
有理数
C．
0
D．
实数

考点：
实数的运算。1729765
分析：
根据无理数的加减乘除运算的法则和无理数的定义即可判定．
解答：
解：因为+（﹣）=0，+=2，所以其和可以为有理数，也可为无理数；
因为﹣=0，﹣2=﹣，所以其差可以为有理数，也可为无理数；
因为=2，=，所以其积可以为有理数，也可为无理数；
因为=1，=，所以其商可以为有理数，也可为无理数．
所以两个无理数的和，差，积，商一定是实数．
故选D．
点评：
此题主要考查了实数的运算及无理数的定义，也考查了学生的综合应用能力，要注意举实例的方法．

11．下列叙述正确的是（　　）

A．
是无理数
B．
是有理数

C．
π的近似值3.14是无理数
D．
无理数有有限个

考点：
无理数；实数的运算。1729765
专题：
计算题。
分析：
将每个选项中的式子运算后利用无理数的定义判断即可．
解答：
解：A、﹣=﹣，是有理数，故本选项错误；
B、原式=0，是有理数，故本选项正确；
C、3.14是有限小数，故本选项错误；
D、无理数有无限个，故本选项错误．
故选B．
点评：
本题考查了无理数的定义及实数的运算，解题的关键是对算式正确的运算．

二．填空题（共9小题）
12．（2010•沈阳）计算：×﹣（）0=　　．

考点：
实数的运算。1729765
专题：
计算题。
分析：
本题涉及零指数幂、二次根式化简2个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答：
解：原式=2﹣1=﹣1．
点评：
本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、二次根式考点的运算．

13．（2009•茂名）若实数x，y满足xy≠0，则的最大值是　2　．

考点：
实数的运算。1729765
分析：
首先根据绝对值的定义去掉绝对值符号，然后注意讨论结果有正负之分．
解答：
解：因为x，y满足xy≠0，
所以，
所以的最大值是m=1+1=2．
故答案为：2．
点评：
本题主要考查了实数的运算和绝对值的定义，也同时考查分类讨论思想．

14．（2005•海淀区）用“”、“”定义新运算：对于任意实数a，b，都有ab=a和ab=b，例如32=3，32=2．则（20062005）（20042003）=　2006　．

考点：
实数的运算。1729765
专题：
阅读型；新定义。
分析：
关键是仔细读题，从题中找出新的运算规则，然后依规则计算．
解答：
解：根据题意可知：（20062005）（20042003）=20062003=2006．
故答案为：2006．
点评：
此题主要考查了实数的运算，是典型的定义新运算题，将诶此类题目的关键是分析题中所给的运算方法，严格按照运算方法代数计算．

15．某同学学习了编程后，写了一个关于实数运算的程序，当输入一个数值后，屏幕输出的结果总比该数的平方大1．若该同学按此程序输入后，把屏幕输出的结果再次输入，则最后屏幕输出的结果为　65　．

考点：
实数的运算。1729765
分析：
该题的法则是结果等于x2+1，把x=代入计算第一次输出结果，再代入计算第二次输出结果即可．
解答：
解：设输入的数是x，则输出的数是x2+1，那么
第一次：输入，输出x2+1=8；
第二次：输入8，输出x2+1=65．
故答案为：65．
点评：
此题主要考查了实数的运算及新定义的运算．此类题型是今年来的热点，主要方法是根据新定义的运算法则进行计算．

16．（2009•德城区）根据下面的运算程序，若输入x=1﹣时，输出的结果y=　﹣1﹣　．

考点：
实数的运算。1729765
专题：
图表型。
分析：
首先根据图表，确定1﹣的范围，选择合适的程序来计算即可解决问题．
解答：
解：∵1﹣＜0，
∴将其代入y=x﹣2（x＜0）计算，
∴y=1﹣﹣2=﹣1﹣．
故答案为：﹣1﹣．
点评：
此题主要考查了实数的运算，解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序．

17．如图，在日历中成“十”字型的5个数之和是50，则a=　3　，b=　9　，c=　10　，d=　11　，e=　17　．

考点：
实数的运算。1729765
分析：
首先要弄清日历上这五个数的排布规律，然后根据这个规律和已知列出方程计算即可解决问题．
解答：
解：根据日历的排列规律，a=c﹣7，e=c+7，b=c﹣1，d=c+1，
根据题意得c+c﹣7+c+7+c﹣1+c+1=50，
即5c=50，c=10，
于是a=3，b=9，c=10，d=11，e=17．
点评：
此题主要考查了实数的运算在实际问题中的应用，根据日历的排列特点，找到五个数字的排列规律，根据题意列式解答．

18．若（x﹣15）2=169，（y﹣1）3=﹣0.125，则=　1或3　．

考点：
实数的运算。1729765
分析：
先根据平方根、立方根的定义解已知的两个方程求出x、y的值，然后再代值求解．
解答：
解：方程（x﹣15）2=169两边开平方得
x﹣15=±13，解得：x1=28，x2=2，
方程（y﹣1）3=﹣0.125两边开立方得
y﹣1=﹣0.5，解得y=0.5，
当x=28，y=0.5时，=3；
当x=2，y=0.5时，=1．
故答案为：1或3．
点评：
本题主要考查了直接开平方法，直接开立方法的运用，也考查了实数的运算，注意两种开方的结果的不同．

19．已知：a和b都是无理数，且a≠b，下面提供的6个数a+b，a﹣b，ab，，ab+a﹣b，ab+a+b可能成为有理数的个数有　6　个．

考点：
实数的运算。1729765
分析：
由于a和b都是无理数，且a≠b，可以由此取具体数值，然后根据实数的运算顺序进行计算即可判定．
解答：
解：当a=，b=﹣，时，a+b=0，ab=﹣2，ab+a+b=﹣2，=﹣1，
当a=+1，b=﹣1时，a﹣b=+1﹣+1=2，ab+a﹣b=3+2=5．
故可能成为有理数的个数有6个．
点评：
此题主要考查了实数的运算．解题关键注意无理数的运算法则与有理数的运算法则是一样的．

20．的平方根与﹣的立方根的积为　﹣1或1　．

考点：
实数的运算。1729765
专题：
计算题。
分析：
先求出，再根据平方根的定义求解，然后根据立方根的定义求出﹣的立方根，最后讨论求解即可．
解答：
解：∵=4，
∴的平方根是±2，
∵（﹣）3=﹣，
∴﹣的立方根为﹣，
∵2×（﹣）=﹣1，﹣2×（﹣）=1，
∴的平方根与﹣的立方根的积为﹣1或1．
故答案为：﹣1或1．
点评：
本题主要考查了平方根与立方根的定义，注意先求出的值，这也是本题容易出错的地方．

三．解答填空题（共3小题）
21．计算：+|2﹣3|÷=　　．

考点：
实数的运算。1729765
分析：
注意：，∵2=，3=，∴2﹣3＜0，根据负数的绝对值是它的相反数去掉绝对值，然后除以．
解答：
解：原式=2+=2+=2+=．
点评：
能够正确判断两个无理数的大小，从而正确去掉绝对值．特别注意运算顺序．

22．用长3cm、宽2.5cm的邮票30枚不重不漏地拼成一个正方形，则这个正方形的边长是　15　cm．

考点：
实数的运算。1729765
分析：
用长3cm、宽2.5cm的邮票30枚不重不漏地拼成一个正方形，先求出这两个数的最小公倍数再动手操作拼一下试试．
解答：
解：用长3cm、宽2.5cm的邮票30枚不重不漏地拼成一个正方形，
∵3×5=15，2.5×6=15，
所以拼法就是把邮票按以下方法放，
正方形的一边放邮票长3cm的那一边，放5个，
正方形的那个邻边就放邮票的2.5cm的那一边放6个，
所以一共是30枚，边长就是15cm．
点评：
本题实质上是一个关于3和2.5的数的计算题．

23．化简：=　　．

考点：
实数的运算。1729765
专题：
计算题。
分析：
化简时有一个技巧，可将根号里的分数的分子与分母同乘以一个能使分母为完全平方数的一个数最好．
解答：
解：

=
=
=
=．
点评：
二次根式的加减实质上是合并同类二次根式．
合并同类二次根式的步骤：
1、把各个二次根式化成最简二次根式；
2、把同类二次根式的系数相加减．

四．解答题（共7小题）
24．（2009•烟台）化简：

考点：
实数的运算。1729765
分析：
先化简再计算．
（1）化简时，往往需要把被开方数分解因数或分解因式；
（2）当一个式子的分母中含有二次根式时，一般应把它化简成分母中不含二次根式的式子，也就是把它的分母有理化．
解答：
解：原式=
=
=．
点评：
此题主要考查了实数的运算．无理数的运算法则与有理数的运算法则是一样的．在进行根式的运算时要先化简再计算可使计算简便．

25．（2009•乌鲁木齐）计算：

考点：
实数的运算。1729765
分析：
首先要对括号中的每一个数先化成最简形式，再进行合并，最后除以即可求解．
解答：
解：原式==．
点评：
此题主要考查了实数的运算．无理数的运算法则与有理数的运算法则是一样的．在进行根式的运算时要先化简再计算可使计算简便．

26．（2008•长春）计算：

考点：
实数的运算。1729765
分析：
本题涉及实数运算、二次根式化简等多个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答：
解：原式=（4﹣4•+6）÷2=（4+4）=2+2．
点评：
本题主要考查了实数的运算能力，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．注意：负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1；绝对值的化简；二次根式的化简是根号下不能含有分母和能开方的数．

27．（2006•杭州）在下面两个集合中各有一些实数，请你分别从中选出2个有理数和2个无理数，再用“+，﹣，×，÷”中的3种符号将选出的4个数进行3次运算，使得运算的结果是一个正整数．

考点：
实数的运算。1729765
专题：
开放型；图表型。
分析：
首先根据有理数、无理数的定义准确的选出无理数和有理数，然后再根据法则计算即可．答案不唯一．
解答：
解：（﹣6）÷×（﹣）+3=15，
或（﹣6）÷×（﹣）﹣3=9等等．
点评：
此题主要考查了实数的分类和实数的运算，掌握分类方法和运算法则是解题的关键．

28．（2003•杭州）创新设计题：
如图所示的集合中有5个实数，请计算其中的有理数的和与无理数的积的差．

考点：
实数的运算。1729765
分析：
首先要弄清有理数和无理数的概念：有理数包括整数和分数；无理数指的是无限不循环小数．
正确找到有理数和无理数后，再进行计算即可．
解答：
解：有理数是32，﹣23，它们的和为32+（﹣23）=9﹣8=1；
无理数是，π，，它们的积为•π•=2π．
所以有理数的和与无理数的积的差等于1﹣2π．
点评：
此题主要考查了有理数、无理数的定义及实数的运算，解题关键是一定要理解有理数和无理数的概念．

29．计算：．

考点：
实数的运算。1729765
分析：
本题涉及二次根式的化简，包括了二次根式的除法运算，仿造完全平方公式的运算，在计算时，需要针对每个部分分别进行计算，然后根据二次根式的加减运算法则求得计算结果．
解答：
解：原式=9×+2﹣2+1
=9×+3﹣2
=+3﹣2．
点评：
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是先对二次根式进行乘除运算，再合并同类二次根式．

30．观察：===，即=；===，即=；
猜想：等于什么，并通过计算验证你的猜想．

考点：
实数的运算。1729765
专题：
规律型。
分析：
注意观察所给例子中的最后结果和第一个被开方数之间的关系：根号外的是被减数，根号内的是减数．
解答：
解：=，验证如下：
左边====5=右边．

故猜想正确．
点评：
此题主要考查了实数的运算，解题关键是要求学生既会根据例子观察猜想，还要会进一步从理论上进行验证．

13