3晶格振动【固体物理】.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章 晶格振动和晶体的热学性质,在前两章的讨论中,把晶体中的原子视为,固定不动,.,实际晶体中的原子、分子都在其平衡位置做,微振动,0 K,下仍在振动 零点能,.,由于晶体原子间的相互作用,原子的振动不是孤立的,而是以波的形式在晶体中传播,形成所谓的,格波,晶体可视为一个相互耦合的振动系统，这种运动就称为,晶格振动,.,晶格振动是原子的,热运动,对晶体热学性能起主要贡献,比热、热膨胀和热传导等,晶格振动是个很复杂问题，任何一个原子的运动都会涉及到大量原子的运动,.,所以,在处理过程中只能采取一些近似模型先考虑一维情况，再推广到三维情况,-,简谐近似,3.1,一维单原子链,模型假设,考虑由,N,个相同的原子组成的一维晶格,原子间距,(,晶格常量,),为,a,，原子质量为,m,.,x,n,-2,x,n,-1,x,n,x,n,+1,x,n,+2,第,n,个原子,第,n,-2,个原子,第,n,-1,个原子,第,n,+1,个原子,a,第,n,+2,个原子,x,n,表示序号为,n,的原子在,t,时刻偏离平衡位置的位移,模型假设,x,n,-2,x,n,-1,x,n,x,n,+1,x,n,+2,第,n,个原子,第,n,-2,个原子,第,n,-1,个原子,第,n,+1,个原子,a,第,n,+2,个原子,表示在,t,时刻第,n,个和第,n,+1,个原子的相对位移,设平衡时,两个原子间的互作用势能为 ，,则产生相对位移 后,相互作用势能变成,将 在平衡位置作,泰勒级数,展开,上式,第一项,为常数，可取为能量零点,第,二,项,为零,(,f,=0),当 很小,即振动很微弱时,可保留到,第三项,-,简谐近似,（,1,）运动方程,则,恢复力常数,-,可见为,简谐振动,x,n,-2,x,n,-1,x,n,x,n,+1,x,n,+2,只考虑最近邻原子间的相互作用，且恢复力系数相等,第,n,个原子受到的力为,第,n,个原子的运动方程为,对于每个原子都有一个这样类似的方程,方程数目和原子数目相同,.,（,2,）格波频率与波矢的关系,以上方程组解的形式为,A,为振幅,为圆频率,q,为波矢,简谐振动方程的解,位相因子,方程数目和原子数目相同,N,如果第 个原子和第,n,个原子的位相差 为 的整数倍,即,s,为整数,这表明第 个原子和第,n,个原子的距离 为 的整数倍时,原子因振动产生的位移相等,.,晶格中原子振动是以角频率为 的平面波形式存在，,这种波称为,格波,.,格波的意义,连续介质中的机械波,格波方程,晶体中的格波,格波和连续介质波具有完全类似的形式,(3),晶格振动的色散关系,将 代入,得,几列波在媒质中传播，它们的频率不同，波长、波速亦不同。物理学中，把凡是与波长、波速有关的现象叫,色散,.,色散关系,由色散关系式可画图如下,:,0,m,q,光的色散,：复色光分解为单色光形成光谱的现象,0,m,q,(1),偶函数,(2),周期函数,注,:,(3),几个特殊点,常放在一个周期中研究,(4),波速,格波的,(,相,),速度,不再是常数,(,与机械波不同,),由于原子的不连续性,.,长波近似,频率与波矢为线性关系,.,常数,有连续介质中弹性波的特性,0,m,q,连续介质中,弹性波,的特性,在长波近似的情况下，晶体可视为连续介质,(),，,格波可视为弹性波。,Y,-,弹性模量,介质密度,其波速为声速,故单原子链中传播的长格波叫,声波,.,长波近似下,格波,机械振动在弹性介质中传播形成的波称为,弹性波,(4),周期边界条件,前面所得的运动方程只适用于无限长单原子链的情况,但实际上晶体是有限大的，边界上（两端）的原子所受到的作用与内部原子不同，其运动方程式应有不同，使问题变复杂,.,为解决这一问题，需要引入,玻恩,冯,.,卡门,边界条件,.,N,个原子头尾相接形成环链,这时每个原子都是等价的,.,所以,晶格振动波矢只能取分立的值,即是,量子化,的,.,为了保证,x,n,的单值性,限制,q,在一个周期内取值,(,共,N,个值,),波矢,q,也只能取,N,个不同的值,波矢的数目,=,晶体原胞的数目,即,N,个独立的,格波,，,或者,N,个独立的振动模式,(,简振模,),也即,N,个不同,频率,3.2,一维双原子链,（,1,）运动方程,大多数晶体的晶胞中都包含不止一种原子,这就是复式格子,.,最简单的复式格子为一维双原子链,.,考虑两种不同原子所构成的一维无限长原子链，原子质量为,m,和,M,，且,m,M,。相邻原子间距均为,a,，恢复力系数为,。,2,n,2,n,-1,2,n,+1,2,n,+2,2,n,-2,m,M,(,晶格常量为,2,a,),质量为,M,的原子编号为,2,n,-2,、,2,n,、,2,n,+2,、,质量为,m,的原子编号为,2,n,-1,、,2,n,+1,、,2,n,+3,、,x,2,n,x,2,n-,1,x,2,n,+1,x,2,n,+2,x,2,n-,2,类似与求解一维单原子链的运动方程,可得,即认为同种原子的振幅相同，只有位相上存在差别,(,2nq,),，不同原子的振幅可以不同,.,（,2,）色散关系,将解代入,上式看成是以,A,、,B,为未知数的线性齐次方程,欲使,A,，,B,有非零解,，其系数行列式应为零，即,:,推导略,-,光学支格波,-,声学支格波,(1),偶函数,(2),周期函数,注,:,在一个周期内,Acoustics,Optics,折合质量,在长波近似的情况下，声学支格波与,弹性波,的情况类似,所以我们称之为,声学波,.,声学波,当波矢 时,推导略,级数展开,相邻原子的振幅之比,对于声学支格波,:,由右图可知,所以,声学支格波，,相邻原子都是沿着同一方向振动的,.,当波矢 时,长声学波，相邻原子的位移相同，原胞内的不同原子以相,同的振幅和位相作整体运动,.,因此，可以说，长声学波代表了原胞质心的运动,.,当波矢 时,所以,光学支格波，,相邻原子振动方向是相反的,.,对于光学支格波,:,当波矢 时,长光学波，原胞的,质心保持不动,.,所以定性地说，长光学波代表,原胞中两个原子的相对振动,.,光学支格波，相邻原子振动方向是,相反的,.,声学支格波，相邻原子振动方向是,相同,的,.,为了保证,x,n,的单值性,限制,q,在一个周期内取值,(3),周期边界条件,由,玻恩,-,卡门,边界条件，设晶体有,N,个原胞，则有,(,共有,N,个值,),由,N,个原胞组成的一维双原子链，波矢的数目为,N,，频率的数目为,2,N,，格波振动模式数目为,2,N,一维双原子链，每个原胞有两个原子，晶体的,自由度数,是,2,N,.,晶格振动的波矢数,=,晶体的原胞数,晶体中格波的支数,=,原胞内的自由度数,晶格振动频率,(,振动模式,),数,=,晶体的自由度数,上述结论可以推广到,m,维,(,如二维或三维,),复式晶格情况,.,晶格振动的波矢数,=,晶体的原胞数,晶体中格波的支数,=,原胞内的自由度数,晶格振动频率,(,振动模式,),数,=,晶体的自由度数,如果一个,m,维复式晶格原胞数为,N,每个原胞含,p,个不等效的原子,则,:,晶格振动的波矢数,=,N,晶体中格波的支数,=,mp,，,m,(,声学支,),+m,(,p-,1,),(,光学支,),晶格振动频率,(,振动模式,),数,=,mpN,金刚石为例,3-,声学支格波；,3-,光学支格波,频率,100,和,111,方向上三支声学波中，一支是纵波，两支是横波，横波简并,光学波的频率随,q,变化很小，实际计算中视为常数,长声学波（当,q,很小）时，频率与波长近似成正比,2,n,2,n,-1,2,n,+1,2,n,+2,2,n,-2,1,m,M,两种不同原子所构成的一维无限长原子链，原子质量为,m,和,M,，且,m,M,。设晶格常数为,a,相邻两个原子之间的距离为,b,恢复力系数为交替等于,1,和,2,.,试找出色散关系,.,a,b,思考题,:,2,2,n,2,n,-1,2,n,+1,2,n,+2,2,n,-2,1,m,M,a,b,作业（,1,）,:,2,整理得,欲使,A,，,B,有非零解,，其系数行列式应为零，即,:,解得,3.3,晶格振动的量子化和声子,在简谐近似下，晶体中存在,3,pN,个独立的简谐格波，晶体中任一原子的实际振动状态由这,3pN,个简谐格波共同决定,.,晶格振动的系统能量是否可表示成,3pN,个独立谐振子能量之和？,前面我们从经典力学出发，用,简谐近似,和,最近邻作用近似,研究了一维晶格振动的动力学问题。,首先以单原子为例波矢为,q,的格波引起的第,n,个原子的位移为,格波不同引起的原子位移一般也不同,第,n,个原子的总位移应为所有格波引起位移的迭加,将 和,A,q,写在同一表达式 中,其中,按经典力学,，系统的总能量为动能和势能之和,包含交叉项,这对建立物理模型和数学处理都带来困难,.,用,坐标变换,的方法消去交叉项,即将本来存在,相互耦合,的原子振动转换成在另一坐标体系中,相互独立的谐振子,.,简正变换,:,上式实际上是代表 在,q,空间的傅里叶变换,.,推导略,式中 称为简正坐标,广义动量,经典谐振子能量,由,N,个原子组成的一维晶体，其晶格振动能量,可看成,N,个独立谐振子的能量之和,.,广义坐标,推广到三维,按照量子力学，独立的简谐振子的能量,所以三维晶格振动的总能量,晶格振动的能量是量子化的，能量的增减以 计量,.,当,n,=0,时,-,零点能,(1),格波的量子理论,（,2,）声子,光子,1905,年爱因斯坦在研究光电效应时提出,光子,的概念,光是运动着的粒子流光子,每个光子的能量为,对照光子,的概念,我们将格波的能量量子,称为,声子,.,注,:,(1),声子是,准粒子,.,光子是真实粒子,可在真空中存在,.,声子是人们为了更好理解和处理晶格集体振动而设想的一种粒子,不能游离于固体之外,.,各种微观粒子,(,电子、光子等,),与晶格的相互作用,可以看成这些粒子与能量为,动量为 的粒子相互作用,.,服从能量守恒和动量守恒,热传导,-,声子的扩散,实例,:,热阻,-,声子被散射,推导,(2),声子自身不携带动量,具有,准动量,.,一维单原子链为例,:,(3),声子具有,等价性,.,当,q,增加一个周期时,不变,即具有相同的性质,.,(4),声子是,玻色子,.,各个格波可能具有不同的声子数，在一定温度的热平衡态，频率为 的格波的平均声子数服从玻色,爱因斯坦统计,推导略,对于频率为 的格波，忽略零点能情况下，其能量为,其能量恰为,n,i,个声子所携带,3.4,晶格的比热,固体的定容热容,E,固体的平均内能,按照经典理论,每个自由度的平均能量,-,能均定理,N,个原子，晶体总能量,热容是一个与,温度和材料无关,的常数,.,-,杜隆珀替定律,实验表明在低温时热容量随温度迅速趋于零,!,(1),比热的量子理论,根据量子理论,在简谐近似下,晶体的能量为,一般情况固体的内能包括晶格振动的能量和电子运动的能量,当温度不太低时，电子对比热贡献很小，可以忽略，本章只考虑晶格振动对比热的贡献,热容与晶格振动频率和温度都有关,高温极限,忽略,与杜隆 珀替定律相符,低温极限,与实验结果相符,频率的计算（,色散关系,）比较复杂,在一般讨论中，常用,爱因斯坦模型,和,德拜模型,.,关键,一般情况,色散关系,（,2,）爱因斯坦模型,1907,年爱因斯坦采用了非常简单的假设：,假设晶体中的原子振动是相互独立的，所有原子都具有同一频率,0,.,-,爱因斯坦热容函数,令,-,爱因斯坦温度,温度较高时,与杜隆,珀替定律相符,温度较低时,按温度的指数形式降低,金刚石的热容,这是经典理论所不能得到的结果，解决了长期以来困扰物理学的一个疑难问题,.,实验表明,:,温度很低时,原因,：爱因斯坦模型过于简单,忽略了各格波之间的频率差别,.,红外光频率,晶体热容主要由频率较低的,声学支格波,决定,温度较低时,而爱因斯坦模型只考虑了,光学支格波,对热容的贡献,.,声学支格波的声子数较多，对热容贡献较大,温度低时更明显,(3),德拜模型,德拜于,1912,年提出了另一个简化模型,考虑了,格波频率分布,.,(1),把晶体视为连续介质,即把格波看作是,弹性波,.(,长声学波,),(2),假定横波和纵波的,波速相等,.,低温时，只有长声学波被激发，对热容产生影响，所以实际上，德拜模型考虑的正是长声学波对比热的影响,.,基本思想,:,色散关系,q,空间,(,倒空间,),一维单原子链,平均每个点子占据的,q,分布密度,a,o,推广到三维情况,另推：,V,是一个宏观的体积，允许的,q,值在,q,空间十分密集，可以看作是准连续的,在厚度为,d,q,的体积元中的,q,数目,q,空间,(,倒空间,),根据,色散关系,，可求出在厚度为,d,q,的体积元中的,振动频率,（,振动模式,）,的数目,例,在体积元,d,q,中的振动数目,德拜模型中色散关系,考虑到三维情况下有,三支,声学支格波,状态密度,(,频谱密度,),-,频率在 到 间隔内的振动模式数目,.,状态密度,(,频谱密度,),-,频率在 附近单位频率间隔内的振动模式数,德拜于,1912,年提出了另一个简化模型,考虑了,格波频率分布,.,状态密度,(,频谱密度,),由于晶胞中原胞数目,N,很大，波矢,q,是准连续的，频率也是准连续的。,求和变成积分,为最大截至频率,代入热容公式,最大截至频率的计算,可得,令,-,德拜温度,-,德拜热容函数,在高温极限下,与杜隆珀替定律一致,低温极限,推导略,T,3,成正比,铜热容的热容的实验数据和德拜理论值的比较,的测定方法,:,(a),实验测定声速,(b),实验测定比热,由比热公式反代出,.,德拜模型的缺陷,（,2,）德拜温度随温度稍有变化,（,1,）实验和理论不一致,原因：,（,1,）忽略了晶体的各向异性,（,2,）忽略了光学波和高频声学波对热容的贡献,需采用真实的态密度函数,思考题,:,求由,N,个相同原子组成的一维单原子晶格格波的频谱分布函数,.,o,q,的分布密度,解,:,那么在,d,q,间隔内可以有 不同的,q,值,即有 不同的振动状态,.,q,对应 ，取值相同,间隔内的状态数目为,根据频谱密度的定义,:,由一维单原子链的色散关系,因为,作业,(2):,设三维晶格一支光学波在,q,=0,附近,色散关系为,试求长光学波的频谱密度,设有一长度为,L,的一价正负离子构成的一维晶格,正负离子间距,为,a,正负离子的质量分别为,m,+,和,m,_,近邻两离子的相互作用势为,式中,e,为电子电荷,b,和,n,为参量常数,求,(1),参数,b,与,e,n,与,a,为关系,(2),恢复力系数,(3),q,=0,时的光学波的频率,(4),长声学波的速度,v,A,(5),假设光学支格波的频率为一常数,即,对光学支格波采用爱因斯坦近似,对声学支格波采用德拜近似,求晶格热容,.,思考题,:,解,:,(1),若只计其近邻离子的相互作用,平衡时,(2),恢复力系数为,(3),光学支格波的一般表达式为,(P64 3.20),当,q,=0,时,(4),声学支格波的一般表达式为,(P64 3.20),当波矢 时,(5),按照爱因斯坦模型,光学波的能量为,令,按照德拜模型,在体积元,d,q,中的振动数目,在体积元 中的振动数目,由色散关系,声学波的模式密度为,声学波的能量为,令,可得,所以晶格热容为,3.5,确定晶格振动谱的实验方法,晶格振动谱,色散关系,晶格振动谱可以利用中子、可见光光子或,X,光光子受晶格的,非弹性散射,来测定。,中子（或光子）与晶格的相互作用即中子（或光子）与晶体中声子的相互作用。中子（或光子）受声子的,非弹性散射,表现为中子吸收或发射声子的过程。,(1),可见光的非弹性散射,能量守恒和准动量守恒：,和,1,：入射光的波矢与频率,和,2,：散射光的波矢与频率,和,：声子的波矢与频率,声子的能量,远小于,光子的能量,光子,Brillouin,散射（声学支格波）：,频移,2,1,介于,10,7,310,10,Hz,Raman,散射,（光学支格波）,：,频移,2,1,介于,310,10,310,13,Hz,可见光的波矢,k,10,5,cm,1,即,布里渊区中心,附近很小一部分区域内的声子,局限性：用可见光散射方法只能测定原点附近的很小一 部分长波声子的振动谱，而不能测定整个晶格 振动谱,此相互作用的声子的波矢,q,10,5,cm,1,1928,年由印度物理学家拉曼发现，指,光波在被,散射,后频率发生变化的现象。,1930,年,诺贝尔物理学奖,授予当时正在印度加尔各答大学工作的拉曼。,拉曼,散射,测定,分子振动、转动方面,信息，并应用于,分子结构,研究,(2),中子的非弹性散射,慢中子的能量：,0.02,0.04 eV,，与声子的能量同数量级,中子的波长：,2 3,10,10,m,（,2 3,），与晶格常数同数量级，可直接准确地给出晶格振动谱的信息。,中子的非弹性散射被广泛地用于研究晶格振动谱。,局限性：不适用于原子核对中子有强俘获能力的情况,X,光光子的波长,10,8,cm,的数量级，其波矢与整个布里渊区的范围相当，原则上说，用,X,光的非弹性散射可以研究整个晶格振动谱。,缺点：一个典型,X,光光子的能量为,10,4,eV,，一个典型声子的能量为,10,2,eV,。一个,X,光光子吸收（或发射）一个声子而发生非弹性散射时，,X,光光子能量的相对变化为,10,6,，在实验上,要分辨这么小的能量改变是非常困难的,。,(3)X,光的非弹性散射,3.6,晶体的非谐效应、热传导、热膨胀,(1),非谐效应,回顾简谐近似,简谐近似下，不出现,热传导,现象。,3pN,个独立谐振子，声子之间不会发生碰撞而交换能量,简谐近似下，不出现,热膨胀,现象。,温度升高，虽然两原子相对振幅增大，但平衡位置间距离不变，不会出现热膨胀,(2),晶体热传导,晶格原子振动存在非谐振动，振动模式不完全独立，而是存在相互作用（,耦合,）和能量交换,其等效声子之间存在,碰撞（散射），,在外界作用下，声子可以发生定向移动。,热传导系数,将晶格看成是声子气体系统，得到与气体分子系统类似的热传导系数：,平均自由程,热传导系数随温度的关系,(2),晶体热膨胀,平衡位置右边平缓，左边陡峭，,平均位置右移,，形成热膨胀。,热膨胀系数,采用热力学与统计物理的方法推导：,本 章 完,如果 在点,x,0,的某邻域内具有各阶导数,泰勒级数,则,令,该方程有形如下式的解,也可表示为：,为初位相,欧拉公式,简谐振动方程的解,双原子链色散关系,余弦函数级数展开,利用,当,当,简正坐标变换,所以,当,因为,相互独立的变量称为广义坐标,广义坐标,光子动量,光子能量,根据相对论质能关系,则光子质量,光子的动量,玻色子和费米子,满足,玻色-爱因斯坦统计,，,自旋,为整数的粒子,.,波耳兹曼分布,玻色-爱因斯坦,分布,费米狄拉克分布,依随,费米,-,狄拉克统计,、,自旋量子数,为半奇数的粒子,.,玻色子和费米子,玻色子不遵守泡利不相容原理，在低温时可以发生,玻色,-,爱因斯坦凝聚,费米子遵从,泡利不相容原理,超流体,基本粒子中所有的物质粒子都是费米子，是构成物质的原材料,(,如轻子中的电子、组成质子和中子的,夸克,、,中微子,),传递,作用力,的粒子,(,光子、介子、胶子、,W,和,Z,玻色子,),都是玻色子,光子,-,电磁相互作用,的媒介粒子，自旋为,1.,玻色子包括：,胶子,-,强相互作用,的媒介粒子，自旋为,1.,W,及,Z,玻色子,-,弱相互作用,的媒介粒子，自旋为,1.,引力子,-,引力相互作用,的媒介粒子，自旋为,2,尚未被发现,.,希格斯玻色子,-,尚未被发现,.,平均声子数,根据玻尔兹曼分布规律：,温度,T,时平均能量：,令,德拜公式推导,