线性代数课程学习必备的教材PPT课件.ppt

线性代数专题课1 1.一、重点和难点一、重点和难点1.行列式的性质及其计算2.矩阵的运算、可逆矩阵、分块矩阵、初等变换与初等矩阵、矩阵的秩、方阵的特征值与特征向量、矩阵相似对角化3.n维向量的线性运算、向量组的线性相关性、向量组的极大线性无关组4.齐次、非齐次线性方程组解的结构5.用正交变换化二次型为标准型2 2.二、行列式二、行列式1 1 1 1n n n n阶行列式的定义阶行列式的定义或其中 为排列 的逆序数.3 3.2 2 2 2n n n n阶行列式的性质阶行列式的性质性质性质1 1 1 1 行列式与它的转置行列式相等.即 .性质性质2 2 2 2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.推论 如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式为零.性质性质3 3 3 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式.推论2 2行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零性质性质4 4 4 4若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,则这个行列式等于两个行列式之和.性质性质5 5 5 5把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变4 4.3 3 3 3 行列式按行和列展开行列式按行和列展开余子式与代数余子式记作 .划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式，在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列叫做元素 的代数余子式记关于代数余子式的重要性质当当当当当当5 5.4 Cramer 4 Cramer 4 Cramer 4 Cramer 法则法则在线性方程组中 若常数项 不全为零，则称此方程组为非齐次线性方程组；若常数项 全为零，则称此方程组为齐次线性方程组.如果线性方程组的系数行列式 则线性方程组一定有解,且解是唯一的 .如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.6 6.5 5 行列式的求法行列式的求法1 1）、定义法2 2）、展开法7 7.3 3）、加边法4 4）、拆分法8 8.5 5）、递推法9 9.6 6）、三角法7 7）、LaplaceLaplace展开定理1010.9 9）、综合法8 8）、Vander mondeVander monde行列式1010）、降阶法 （略）1111.1111）、定义证明证明1212.1212）、数学归纳法1313.三、矩阵三、矩阵1 1 1 1、矩阵的定义、矩阵的定义定义）排成的 行 列的矩形数表，称为数域由数域中的个数（记作：中的一个矩阵.F注：注：实矩阵、复矩阵、行矩阵、列矩阵、阶方阵、方阵的行列式、两矩阵同型、两矩阵相等.2 2 2 2、几种特殊的矩阵、几种特殊的矩阵零矩阵、对角矩阵、单位矩阵、数量矩阵、三角矩阵、负矩阵、对合矩阵、正交矩阵、幂等矩阵、阶梯形、行最简形矩阵、标准形1414.3 3 3 3、矩阵的运算矩阵的运算1 1）、加法注意:只有同型矩阵才能进行加法运算.若规定2 2）、数乘 若规定3 3）、乘法 若规定其中1515.4 4）、幂规定若注：注：1 1、一般矩阵的幂无意义，除了方阵.2 2、只能是正整数.把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作 .5 5）、转置设为阶方阵，若 ，即 ，那么称为对称矩阵.设为阶方阵，若 ，即 ，那么称为反对称矩阵.1616.行列式 的各个元素的代数余子式所构成矩阵的转置.）、伴随矩阵记作)、共轭矩阵当 为复矩阵时，用 表示 的共轭复数，记，称为 的共轭矩阵.6 6）、方阵的行列式行列式（各元素的位置不变）叫做方阵的行列式.记作由阶方阵的元素所构成的1717.4 4 4 4、逆矩阵的概念和性质、逆矩阵的概念和性质使得的逆矩阵记作1)1)、定义对于 阶矩阵 ，如果有一个 阶矩阵 ，则称矩阵 是可逆的，并把矩阵 称为 的逆矩阵.定理1 1若矩阵 可逆，则定理2 2矩阵 可逆的充要条件是 ，且其中为矩阵的伴随矩阵.2)2)2)2)、性质1818.5 5 5 5、矩阵的分块、矩阵的分块及运算规则及运算规则对于行数和列数较高的矩阵，为了简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算.具体做法是：将矩阵用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.分块矩阵的运算规律与普通矩阵规律运算相类似.分块对角矩阵分块对角矩阵都是方阵.1919.1 1 1 1）2 2 2 2）3 3 3 3）若则有若 ，则有分块对角矩阵的性质：分块对角矩阵的性质：2020.4 4 4 4）若则均为可逆方阵.5 5 5 5）若则2121.6 6 6 6、矩阵的初等变换、矩阵的初等变换（Elementary TransformationElementary TransformationElementary TransformationElementary Transformation）1 1）、定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换.（1 1）互换两行：（2 2）数乘某行：（3 3）倍加某行：同理把 换成 可定义矩阵的初等列变换.ERTERTERTERTECTECTECTECT定义 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为矩阵的初等变换ETETETET定义经过有限次初等变换变成矩阵 ，如果矩阵就称矩阵，记作等价关系的性质：反身性、对称性、传递性.2222.2 2）、初等矩阵的概念相应的，三种初等变换对应着三种初等方阵.定义就称为初等矩阵.、对调、对调2323.、数乘、数乘、倍加、倍加2424.7 7 7 7、矩阵的秩、矩阵的秩定义定义（1 1）（2 2）则 称为矩阵 的最高阶非零子式.记为 或 .最高阶非零子式的阶数称为矩阵的秩，则称 定义定义阶方阵 ，为满秩阵.定义定义，则称 为行满秩阵则称 为列满秩阵；，则称 为降秩阵.定义定义所有与等价的矩阵的集合称为一个等价类.2525.8 8 8 8、初等矩阵的应用、初等矩阵的应用1 1）、求逆2 2）、求方程2626.矩阵方程解2727.9 9 9 9、方阵的特征值与特征向量、方阵的特征值与特征向量定义定义为阶方阵，为数，为维非零向量，若则称为的特征值，称为的特征向量（）注注并不一定唯一；阶方阵的特征值，就是使齐次线性方程组特征向量 ，特征值问题只针对于方阵；有非零解的值，即满足的都是方阵的特征值定义定义称以为未知数的一元次方程为的特征方程2828.定义定义称以为变量的一元次多项式为的特征多项式定理定理设阶方阵的特征值为则的特征值与特征向量的求法(1)由特征方程求出矩阵的全部特征值 1,2,n，其中r重根对应的r个数值相同的特征根。(2)把特征值代入(I-)X=0，求其特征向量。2929.101010101010、矩阵相似对角化、矩阵相似对角化、矩阵相似对角化1 1）定义 设、都是阶矩阵，若有可逆矩阵，使得则称是的相似矩阵，或者说矩阵与相似称为对进行相似变换，对进行运算可逆矩阵称为把变成的相似变换矩阵记作：2 2 2 2）矩阵相似对角化矩阵相似对角化若能寻得相似变换矩阵使对阶方阵，称之为把方阵对角化的主对角线上的元素就是的全部特征值；是的个线性无关的特征向量。3030.四、维向量空间四、维向量空间）、定义 个数组成的有序数组称为一个维向量，其中称为第个分量（坐标）.记作维向量写成一行称为行向量，记作维向量写成一列称为列向量，）、几种特殊向量实向量，复向量，零向量，单位向量，向量同型，向量相等.注意什么是向量的个数、什么是向量的维数，二者必须分清.）、矩阵与向量的关系、维向量3131.若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组）、向量组）、向量空间设为维非空向量组，且满足对加法封闭对数乘封闭那么就称集合为向量空间.）、向量的运算向量的运算采用与矩阵相同的运算规律.3232.2 2 2 2、向量的线性相关性、向量的线性相关性1 1）、基本概念定义给定向量组，对于任何一组数，称向量为向量组的一个线性组合（Linear CombinationLinear Combination）.为组合的组合系数(Combination Coefficient).(Combination Coefficient).定义设向量组及向量有关系则称为向量组的一个线性组合，或称可由向量组线性表示（Linear ExpressionLinear Expression）.称为在该线性组合下的组合系数.3333.定义设两向量组若向量组中每一个向量皆可由向量组线性表示，则称向量组可以由向量组线性表示.若两个向量组可以互相线性表示，则称这两向量组等价.向量组之间的等价关系具有反身性、对称性、传递性.定义设维向量组为零的数，使得则称向量组，如果存在不全线性相关(Linear Dependent).Linear Dependent).反之，若当且仅当，才有则称向量组线性无关(Linear Independent).Linear Independent).即存在矩阵3434.3 3 3 3、向量组的秩、向量组的秩)、极大线性无关组线性相关.若满足：设是一个向量组，它的某一个部分组)、向量组的秩向量组的极大无关组所含向量个数称为向量组的秩记作：()或线性无关；则称为的一个极大线性无关组.3535.)、向量组的秩与矩阵的秩的关系、向量组的秩与矩阵的秩的关系定义矩阵的列向量组的秩称为列秩，记为：的行向量组的秩称为行秩，记为：定理结论，则所在行（列）向量组线性无关.，则的任行（列）向量组线性相关.，且含有的，则.3636.定理有相同的线性关系.相同的线性关系是指：已知维列向量组若对施行初等行变换把化为则向量组线性表示，且表达式的系数对应相同.线性表示，对应的极大无关组相对应.3737.4 4 4 4、向量空间、向量空间1)1)1)1)定义定义线性相关.若满足：设是一个向量空间，它的某个向量中的任一向量均可以表示成基向量的线性组合，记作：dimdim.线性无关；则称为的一个基.称为的维数.且表达式唯一，其组合系数称为向量在该基下的坐标.2)2)2)2)向量空间的坐标向量空间的坐标3838.设为向量空间的一个基，则任取 ，可唯一地表示为 =x1 1+x2 2+xr r=1,2,rx1 x2 xr.则X=x1,x2,xrT称为 关于基 1,2,r的坐标向量简称坐标。3939.3）坐标变换 1 2 rX =对任意向量 V，设 在两组基下坐标分别为X和Y，即 =1 2 rY则=1 2 rCY=1 2 rYX=CY定理3.9设向量空间V的一组基 1,2,r到另一组基 1,2,r的过渡矩阵为C。且V中一个向量在两组基下的坐标分别为X和Y，则X=CY坐标变换公示4040.5 5 5 5、欧式空间、欧式空间Rn1 1 1 1）、内积）、内积设维实向量称实数为向量与的内积，记作2 2 2 2）、长度）、长度令为维向量的长度（模或范数）.4141.3)3)3)3)、夹角夹角设 与 为维空间的两个非零向量，与 的夹角的余弦为因此 与 的夹角为4)4)4)4)、正交向量组、正交向量组当，称与正交.5)5)5)5)、施密特（、施密特（SchmidtSchmidtSchmidtSchmidt）正交化法）正交化法向量空间的基标准正交化.4242.设为维向量组，下面命题等价线性无关.满足的数当且仅当全为零.都不可由其余向量线性表示.向量组的极大线性无关组是其本身.设则矩阵的秩为.向量方程只有零解.设则方程只有零解.不线性相关.4343.设为维向量组，下面命题等价线性相关.满足的数至少有组不为零.可由其余向量线性表示向量组的极大线性无关组是真子集.设矩阵的秩小于.向量方程有非零解.设则方程有非零解.不线性无关.4444.设为维向量组，下面命题等价线性表示.非奇次线性方程有解.向量组的极大线性无关组也是向量方程有解.的极大线性无关组.向量组可由线性表示，则若，则线性相关.线性无关，则.()().等价向量组必有同秩（反之则不然）存在矩阵4545.定理 如果向量组线性相关，则可由唯一线性表示.线性无关，而向量组定理 设向量组若线性相关,则向量组也线性相关；反之，若向量组线性无关，则向量组也线性无关.定理 设向量组若线性无关，则向量组也线性无关；反之，若向量组线性相关，则向量组也线性相关.其中4646.设元线性方程组的系数矩阵为，增广）线性方程组 有唯一解矩阵为，则）线性方程组 有无穷解）线性方程组 无解五、线性方程组五、线性方程组1 1 1 1、线性方程组的解、线性方程组的解4747.定义4.2 对线性方程组施行的下列三种变换(1)交换两个方程的位置(2)用一个非零数乘某一个方程(3)把某个方程的若干倍加到另外一个方程上。称为线性方程组的初等变换。用三种初等变换将一个线性方程组化成增广矩阵是阶梯型的线性方程组的过程称为Gauss消元法。A|bC|d(行阶梯型或行标准型)行初等变换2 2 2 2、GaussGauss消元法消元法4848.3 3、齐次线性方程组的解、齐次线性方程组的解1 1）、基础解系基础解系，则方程组的通解可表示为：方程组的解空间中，它的某一个部分组线性相关.线性无关；则称为齐次线性方程组的一组基础解系.满足：如果为齐次线性方程组的其中为任意实数.4949.2 2）、基础解系的求法、对系数矩阵进行初等变换，将其化为最简形、得出，同时也可知方程组的一个基础解系含有个线性无关的解向量5151.故为齐次线性方程组的一个基础解系.就为方程组的通解.5252.其中为其导出组的通解，4 4 4 4、非齐次线性方程组的通解、非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组的通解为为非齐次线性方程组的任意一个特解.线性方程组 有解，则以下命题等价：向量可由向量组线性表示.向量组等价.与向量组5353.六、元二次型六、元二次型1 1 1 1、二次型定义、二次型定义的二次齐次多项式含有个变量称为二次型或记为5454.、二次型的矩阵表示、二次型的矩阵表示2n 则二次型其中矩阵为对称矩阵.对称矩阵向量 X5555.定义定义1 1 1 1 只含有平方项的二次型称为二次型的标准形或法式定义定义2 2 2 2 特别地，称 为二次型的规范形3 3、二次型的标准形、二次型的标准形a11a22ann.11.-1-100.5656.4 4、矩阵的合同、矩阵的合同1 1）定义）定义设,为阶方阵，若存在阶可逆阵，使得则称合同于,记为反身性对称性传递性2 2）性质性质合同矩阵具有相同的秩.与对称矩阵合同的矩阵也是对称矩阵.等价A B5、化二次型为标准形的方法有拉格朗日配方法行列对称初等变换正交变换法5757.EP1P2PmAEDPPmTP2TP1TAP1P2Pm PmTP2TP1TAP1P2PmD EP1P2Pm=PP1TAP表示对A作一次列初等变换的同时还必须对A作一次同类型行初等变换，即对A作行列对称初等变换。6 6、行列对称初等变换、行列对称初等变换设对称矩阵A可由可逆矩阵P合同于对角矩阵，即5858.7 7 7 7、用正交变换化二次型为标准形的具体步骤、用正交变换化二次型为标准形的具体步骤5959.8 8、正定二次型、正定二次型1）定义6.8 设n元实二次型f(x1,x2,xn)=XTAX，如果对任意0 x Rn，都有f(x1,x2,xn)=XTAX0，则称f(x1,x2,xn)为正定二次型。称二次型矩阵A为正定矩阵.2）定理6.11 n元实二次型正定的充要条件是它的正惯性指数等于n。3）定理6.12 n元实二次型f(x1,x2,xn)=XTAX正定的充要条件是A的全部特征值都是正数。4)定理6.13 实对称矩阵A正定的充要条件是存在可逆矩阵P，使 PTAP=E推论 正定矩阵A的行列式大于零。5)定理6.14(Sylvester定理)实二次型 f(x1,x2,xn)=XTAX=正定的充要条件是A的所有顺序主子式都大于零。6060.七、习题七、习题1 1 1 1、课本习题及作业、课本习题及作业2 2 2 2、课件例题、课件例题八、考核形式与考试成绩八、考核形式与考试成绩考试采用闭卷形式。平时成绩共占40%，期末考试占60%。联系方式：联系方式：6161.