1、5.4 向量的范数与矩阵的范数 在线性方程组的数值解法中，经常需要分析解向量的误差，需要比较误差向量的“大小”或“长度”。那么怎样定义向量的长度呢？我们在初等数学里知道，定义向量的长度，实际上就是对每一个向量按一定的法则规定一个非负实数与之对应，这一思想推广到n维线性空间里，就是向量的范数或模。用Rn表示n维实向量空间，用Cn表示n维复向量空间，首先将向量长度概念推广到Rn(或Cn)中。1/1091.向量的范数向量的范数可以看作是描述向量“大小”的一种度量.范数的最简单的例子，是绝对值函数：有三个熟知的性质：(1)x 0 x 0 x =0当且仅当x=0(2)ax =a x a为常数(3)x+y
2、 x +y 2/1091.向量的范数范数的另一个简单例子是三维欧氏空间的长度设x=(x1,x2,x3)，则x的欧氏范数定义为：欧氏范数也满足三个条件：x，y R3，a为常数(1)x 0，且 x =0 x=0(2)ax =a x (3)x+y x +y 前两个条件显然，第三个条件在几何上解释为三角形一边的长度不大于其它两边长度之和。因此，称为三角不等式。3/109向量范数的一般概念：定义1：设V是数域F上的向量空间，对V中任一向量，都有唯一实数 与之对应，满足如下三个条件：1)正定性：0，且 =0 =02)齐次性：k =|k|，这里k F3)三角不等式：+则称 为的范数。定义了范数的向量空间称为
3、赋范向量空间.简单性质：(1)x 0 单位向量(2)|x|=|x|(3)|x|y|x y|当x y时，|x|y|4/109Cn上的常见范数有：1)1-范数 2)2-范数 称为欧氏范数3)-范数不难验证，上述三种范数都满足定义的条件。注：上述形式的统一：1 p 5/109例 设x=(1,0,-1,2)T,计算 解解:=1+0+|-1|+2=46/109有了范数的概念，就可以讨论向量序列的收敛性问题。定义2：设给定Cn中的向量序列xk，即x0，x1，xk，其中若对任何i(i=1,2,n)都有则向量 称为向量序列xk的极限，或者说向量序列xk依坐标收敛于向量x*，记为7/109定理5：定义在Cn上的
4、向量范数|x|是变量x分量的连续函数。（f(x)=|x|）定理6：在Cn上定义的任何两个范数都是等价的。即存在正数k1与k2(k1 k2 0)，对一切x Cn，不等式k1|x|b|x|a k2|x|b 成立。对常用范数，容易验证下列不等式：8/109矩阵的范数910矩阵的范数性质11矩阵的范数性质（续1）12矩阵范数13常见的矩阵范数14对称矩阵范数15例题16矩阵的谱半径17例题182024/3/19 周二19谱半径2021矩阵的谱半径22例：设A=(aij)n n，|A|为其算子范数，如果|A|1 测试病态程度：给一个扰动给一个扰动，其相对误差为，其相对误差为此时精确解为2.0102 20
5、0%33例：例：Hilbert 阵阵cond(H2)=27cond(H3)748cond(H6)=2.9 106cond(Hn)as n 注：一般判断矩阵是否病态，并不计算A 1，而由经验得出。行列式很大或很小（如某些行、列近似相关）；元素间相差大数量级，且无规则；主元消去过程中出现小主元；特征值相差大数量级。34 近似解的误差估计及改善：设设 的近似解为的近似解为，则一般有，则一般有cond(A)误差上限误差上限 改善方法：步骤步骤1:近似解近似解步骤步骤2:步骤步骤3:步骤步骤4:若若 可被精确解出，则有可被精确解出，则有 就是精确解了。就是精确解了。经验表明经验表明：若：若 A 不是非常病态（例如：不是非常病态（例如：），），则如此迭代可达到机器精度；但若则如此迭代可达到机器精度；但若 A非常病态，则此算法非常病态，则此算法也不能改进。也不能改进。352024/3/19 周二36
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
