-微分方程建模实例——Malthus模型与Logistic模型.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,.,*,4,微分方程建模,Malthus,模型 与,Logistic,模型,4.1.,人口增长模型,4.2.,赝品的鉴定,4.3.,耐用新产品的销售速度问题,4.4.,传染病模型,.,4.1,人口增长模型,年,1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999,人口,(,亿,)5 10 20 30 40 50 60,世界人口增长概况,中国人口增长概况,年,1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000,人口,(,亿,)3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0,研究人口变化规律，控制人口过快增长！,.,模型一,(,最简单的人口增长模型,),：,假设今年的人口是,x,0,人口的年增长率是,常数,r,于是，,k,年后,的,人口,为,:,美丽的大自然,.,模型二,(,指数增长模型，即,Malthus,模型,),：,马尔萨斯,(,1766,1834,),Malthus,，,ThomasRobert,英国著名经济学家，出生于英格兰的一个土地贵族家庭,.1784,年进入剑桥大学学习，,1798,年加入英国教会的僧籍,任牧师,.1799,年到欧洲一些国家调查人口问题,.1805,年成为英国第一位,(,也是世界上第一位,),政治经济学教授,.,.,模型假设,：,人口增长率,r,是常数,.,人口的数量本应取离散值，但,由于人口数量一般较大,，为建立微分方程模型，可以,将人口数量看作连续变量,，甚至允许它为可微变量，由此引起的误差将是十分微小的,.,.,模型构成,：,设,x,(,t,),表示,t,时刻,的,人口,，有,当,r,0,，随着时间的增加，人口按,指数规律无限增长,!,回忆：,.,模型检验,：,比较历年的人口统计资料，可以发现人口增长的实际情况与马尔萨斯模型的预报结果基本相符,.,特别，利用,马尔萨斯,模型验证并检查,1700,年至,1961,的,260,年间人口实际数据，发现两者几乎完全,一致！,例如，,1961,年世界人口数为,30.6,亿，人口数大约每,35,年增加一倍,.,.,模型预测,：,假如人口数真能保持每,35,年增加一倍，那么人口数将以几何级数的方式增长。例如，到,2510,年，人口达,210,14,个，即使海洋全部变成陆地，每人也只有,9.3,平方英尺的活动范围，而到,2670,年，人口达,3610,15,个，只好一个人站在另一人的肩上排成二层了,.,故,马尔萨斯模型是不完善的,.,Malthus,模型,实际上只有在群体总数不太大时才合理，当总数增大时，生物群体的各成员之间由于有限的生存空间，有限的自然资源及食物等原因，就可能发生生存竞争等现象,.,所以,Malthus,模型假设的人口,净增长率不可能始终保持常数，它应当与人口数量有关,.,.,模型三,(,阻滞增长模型，即,Logistic,模型,),：,由荷兰生物数学家,P.F.Verhust,于,1837,年在研究人口问题时建立,.,基于这个模型能够描述一些事物的客观规律，常被称为,Logistic,模型,.,由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人均资源占有率的下降及环境恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高,.,阻滞作用随人口数量增加而变大,r,是,x,的减函数,.,假定,r,(0),=,r,0,：,固有增长率,x,m,：,人口容量,(,资源、环境能容纳的最大数量,),s,的意义是什么？,.,dx,/,dt,x,0,x,m,x,m,/2,x,m,t,x,0,x,0,x,m,/2,.,模型检验和预测,：,大量实验资料表明用,Logistic,模型描述种群的增长，效果相当不错,!,例如，数学家高斯把,5,只草履虫放进一个盛有,0.5cm,3,营养液的小试管，他发现，开始时草履虫以每天,230.9%,的速率增长，此后增长速度不断减慢，到第五天达到最大量,375,个，实验数据与,r,0,=2.309,，,x,0,=5,x,m,=375,的,Logistic,曲线：,几乎完全吻合,.,.,Malthus,模型与,Logistic,模型,虽然都是为了研究种群数量的增长情况而建立的，但它们,也可用来研究其他实际问题,，只要这些实际问题的数学规律与,Malthus,模型与,Logistic,模型所反映的数学规律类似即可,.,阻滞增长模型,从一定程度上克服了,指数增长模型,的不足，可以被用来做,相对较长时期的人口预测,；而,指数增长模型,在做人口的,短期预测,时因为其形式的相对简单性也常被采用,.,总 结,.,4.2,赝品的鉴定,在第二次世界大战比利时解放后，荷兰野战军保安机关开始搜捕纳粹同谋犯,.,他们从一家曾向纳粹德国出卖过艺术品的公司中发现线索，于,1945,年,5,月,29,日以通敌罪逮捕了三流画家,汉,凡,米格伦,(Han van Meegeren),，此人曾将,17,世纪荷兰著名画家,约翰内斯,维米尔,(,Johannes Vermeer,),的一些油画卖给了当时纳粹德国的空军司令戈林,.,维米尔名作,戴珍珠耳环的少女,.,最初，,米格伦,的确惊慌了一阵子,.,可是，,米格伦,在同年,7,月,12,日在牢里突然宣称：他从未把真画卖给戈林，而且他还说，这些画包括当时众所周知的油画,在埃牟斯的门徒,都是他自己为“戏弄纳粹”的仿制品,.,一位法官试图,证明,米格伦,确,有通过制赝牟利的动机，他却高调回答：“如果我不卖个高价，他们就不会相信这是真的！”,在埃牟斯的门徒,（,The Disciples at Emmaus,）,米格伦最著名的伪作之一,.,这件事在当时震惊了全世界，为了证明自己是一个伪造者，,米格伦,在监狱里开始伪造,维米尔,的油画,在埃牟斯的门徒,.,旁听的民众为之疯狂，在短短的时间内，卖国贼成了民族英雄，罪名转化为盛名，,1947,年,10,月,12,日,米格伦,被宣告犯有伪造罪，判刑一年,.,可是他在监狱中只待了两个多月就因心脏病发作，于,1947,年,12,月,30,日去世了,.,.,六十年后，美国记者、专栏作家,乔纳森,洛佩兹,(Jonathan Lopez),出版了,制造维米尔的人,(The man who made Vermeers),一书,.,在书中，,洛佩兹,表达了对那个时代荷兰人民的体谅：“荷兰人对,米格伦,的态度并非不可理解,.,在二战中，这个国家遭遇了残酷的羞辱，光复也是在盟国的帮助下完成,.,米格伦,给了未能主宰自身命运的荷兰人内心深处想要得到的东西,.,而对于欺骗这种事情，他又是太熟谙了,.,”,.,然而，事情到此并未结束，许多人还是不肯相信著名,的,在,埃牟斯的,门徒,是,米格伦,伪造的,.,事实上，在此之前这幅画已经被文物鉴定家认定为真迹，并以,17,万美元的高价被伦布兰特学会买下,.,专家小组对于怀疑者的回答是：由于,米格伦,曾因他在艺术界中没有地位而十分懊恼，他下决心绘制,在埃牟斯的门徒,，来证明他高于三流画家,.,当创造出这样的杰作后，他的志气消退了,.,而且，当他看到这幅,在埃牟斯的门徒,那么容易卖掉以后，他在炮制后来的伪制品时就不太用心了,.,这种解释不能使怀疑者感到满意，他们要求完全科学确定地证明,在埃牟斯的门徒,的确是一个伪造品,.,这一问题拖了,20,年，直到,1967,年，才被卡内基,梅伦大学的科学家们基本解决,.,.,原理与模型,出发点,：测定油画中颜料矿物质的年龄,.,测定年龄的关键依赖于二十世纪初发现的放射性现象,.,放射性现象,：著名物理学家卢瑟夫在,二十世纪初,发现，某些“放射性”元素的原子是不稳定的，在一段时间内，有一定比例的原子会自然蜕变形成新元素的原子，且,物质的放射性正比于现存物质的原子数,.,用,N,(,t,),表示时刻,t,时存在的原子数,则：,(,为物质的,衰变率,),.,和,N(t),能测出或算出，只要再知道,N,0,就可断代,.,这正是问题的难处，下面是间接确定,N,0,的方法,.,与负增长的,Malthus,模型完全一样,其解为,:,称,t t,0,为,衰变时间,于是,.,与本问题相关的其他知识,:,(1),艺术家们应用白铅作为颜料之一,，已有两千多年历史,.,白铅中含有微量的放射铅,210,，白铅是从铅矿中提炼出来的，而铅又属于铀系,.,(2),衡量物质衰变的一个常用参数是它的,半衰期,，即给定数目的放射性原子衰变一半所需的时间,.,令,则有,:,利用,.,(3),铀,238,镭,226,铅,210,钋,210,铅,206,(,放射性,),(,无放射性,),地壳里几乎所有的岩石中均含有微量的铀,.,一方面，铀系中各种放射性物质均在不断衰减；另一方面，铀又不断衰减，补充着其后继元素,.,.,设,t,时刻,1,克白铅中铅,210,的含量为,N,(,t,),；,设镭单位时间铅,210,的分解数为,r,(,常数,),；,设,为,铅,210,的,衰变率，,则,N,(,t,),满足微分方程：,由此解得：,模型构成：,.,若此画是真品，,t,-,t,0,300(,年,).,从而可求出,N,0,的近似值,.,对,油画,在埃牟斯的门徒,具体计算如下：,于是，,由于半衰期,:,于是，,.,地壳里几乎所有的岩石中均含有微量的铀,.,一方面，铀系中的各种放射性物质均在不断衰减，另一方面，铀又不断地衰减，补充着其后继元素,.,从而,，,各种放射性物质（除铀以外）,在岩石中,处于放射性平衡中,.,从铅矿中提炼铅时，铅,210,与铅,206,一起被作为铅留下，而其余物质则有,9095%,被留在矿渣里，因而,打破了原有的,放射性平衡,.,各地采集的岩石中铀的含量差异很大，但从未发现含量高于,3%,的,.,与本问题相关的进一步的知识,:,.,由于,提炼前岩石中的铀系,是处于放射性平衡的，故铀与铅的单位时间分解数相同,.,设,u,是铀的衰变率，,是铅,210,的衰变率，,U,0,是,0,时刻白铅中铀的含量，,N,0,是,0,时刻白铅中铅,210,的含量,.,于是,，,由此,推算出,每克白铅中铅,210,每分钟分解数不能大于,30000,个,，否则铀的含量将超过,4%,，而这是不可能的,.,.,若,则,(,个,),这些铀约,0.04,克！,即每克白铅约含,0.04,克铀，含量为,4%.,以上确定了每克白铅中铅分解数的上界，若画上的铅分解数大于该值，说明画是赝品；但,若是小于不能断定画一定是真品,.,.,4.3,耐用新产品的销售速度问题,一种,耐用新产品,进入市场后，一般会都经过一个销售量先不断增加，然后下降的过程,.,研究新产品销售量的变化规律,对于制定生产计划以及制定促销策略都很有意义,.,怎样,建立数学模型描述,产品的销售速度，并由此给出一些有用的结果以指导,生产？,.,模型构成,：,设需求量有一个上界，记此上界为,K,.,(,对于耐用产品,人们一般不会重复购买,.,因此,产品的累积销售量可认为是购买者人数,),记,t,时刻已销售出的商品数量为,x,(,t,),，则尚未,使用该商品的,人数为,K,x,(,t,).,于是，,x,(,t,),满足,此方程即,Logistic,模型，解为：,.,dx,/,dt,x,0,K,K,/2,此方程即,Logistic,模型，解为：,在销出量小于最大需求量的一半时，销售速度是不断增大的，销出量达到最大需求量的一半时，该产品最为畅销，接着销售速度将开始下降,.,.,K,t,x,0,x,0,K,/2,此方程即,Logistic,模型，解为：,所以初期应采取小批量生产并加以广告宣传；从有,20%,用户到有,80%,用户这段时期，应该大批量生产；后期则应适时转产，这样做可以取得较高的经济效果,.,.,4.4,传染病模型,医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，天花在世界范围内被消灭，鼠疫、霍乱等传染病得到控制,.,但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命,.,被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来？,.,模型一,记时刻,t,已感染,(infective),的,病人,数,为,i,(,t,),.,每个,病人在单位时间内传染的人数为,常数,.,一,个,人得病后，经久不愈，人在传染期内不会死亡,.,设,i,(,t,),是连续可微函数,.,开始时有,i,0,个传染病人,.,模型假设及符号说明,：,.,模型构成,：,模型检验：,此模型即,Malthus,模型,.,它,大体上反映了传染病流行初期的病人增长情况，在医学上有一定的参考,价值；但,随着时间的推移，将越来越偏离,实际情况,.,.,在传染病传播期间，一个病人单位时间内传染的人数,应该,是变化,的,.,有必要将人群划分成,病人,与,健康者,，来建立,两房室系统,.,在,初期,，,较大,；,随着,病人,的增多，,健康者,减少，被传染,的,机会也将减少，于是,就会变小,.,.,模型二,(,SI,模型,),模型假设及符号说明：,记时刻,t,的,病人和,健康,者,(,susceptible,),的,比例,分别,为,i,(,t,),和,s,(,t,),，满足,i,(,t,)+,s,(,t,)=,1.,单位,时间内一个,病人,有效接触人数为,且,使接触的健康人致病,.,一,个,人得病后，经久不愈，人在传染期内不会死亡,.,设,i,(,t,),和,s,(,t,),是,连续可微函数,.,开始时有,i,0,个传染病人,.,.,模型构成,：,(Logistic,模型,),1/2,t,m,i,i,0,1,0,t,T=t,m,d,i,/d,t,最大,t,m,：,传染病高潮到来时刻,(,日接触率,),t,m,?,此值与传染病的实际高峰期非常接近，可用作医学上的预报公式,.,