高考数学复习第三章导数及其应用第四节导数与函数的综合问题市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件.pptx

总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,总纲目录,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,教材研读,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,考点突破,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,教材研读,*,*,第四节导数与函数综合问题,1/38,总纲目录,教材研读,1.,利用导数证实不等式基本步骤,考点突破,2.,一元三次方程根个数问题,考点二利用导数证实不等式,考点一利用导数研究恒成立问题和存在性问题,考点三利用导数研究函数零点或方程根问题,2/38,1.利用导数证实不等式基本步骤,(1)作差或变形.,(2)结构新函数,h,(,x,).,(3)对,h,(,x,)求导.,(4)利用,h,(,x,)判断,h,(,x,)单调性或最值.,(5)下结论.,教材研读,3/38,2.一元三次方程根个数问题,令,f,(,x,)=,ax,3,+,bx,2,+,cx,+,d,(,a,0),则,f,(,x,)=3,ax,2,+2,bx,+,c,.,方程,f,(,x,)=0判别式,=(2,b,),2,-12,ac,(1)当,0,即,b,2,3,ac,时,f,(,x,),0恒成立,f,(,x,)在R上为增函数,结合函数,f,(,x,)图象知,方程,f,(,x,)=0有,唯一,一个实根.,(2)当,0,即,b,2,3,ac,时,方程,f,(,x,)=0有两个不一样实根,设为,x,1,x,2,(,x,1,m,).,a.当,m,0时,方程,f,(,x,)=0有,一,个实根;,b.当,m,=0时,方程,f,(,x,)=0有,两,个实根;,c.当,m,0时,方程,f,(,x,)=0有,三,个实根;,d.当,M,=0时,方程,f,(,x,)=0有,两,个实根;,e.当,M,0时,方程,f,(,x,)=0有,一,个实根.,4/38,3.生活中利润最大、用料最省、效率最高等问题我们称之为优化问题.导数是处理生活中优化问题有力工具,用导数处理优化问题基本思绪:,(1)分析实际问题中各量之间关系,建立实际问题数学模型,写出实,际问题中变量之间函数关系式,y,=,f,(,x,);,(2)求函数导数,f,(,x,),解方程,f,(,x,)=0,确定极值点;,(3)比较函数在区间端点值和在极值点值大小,最大(小)值为函数,最大(小)值;,(4)还原到实际问题中作答.,5/38,1.已知某生产厂家年利润,y,(单位:万元)与年产量,x,(单位:万件)函数,关系式为,y,=-,x,3,+81,x,-234,则使该生产厂家取得最大年利润年产量为,(),A.13万件B.11万件,C.9万件D.7万件,答案,C,y,=-,x,2,+81.令,y,=0,得,x,=9或,x,=-9(舍去).当0,x,0,函数单,调递增;当,x,9时,y,0,函数单调递减.故当,x,=9时,y,取最大值.,C,6/38,2.已知函数,f,(,x,)定义域为-1,4,部分对应值以下表,f,(,x,)导函数,y,=,f,(,x,)图象如图所表示.,当1,a,2时,函数,y,=,f,(,x,)-,a,零点个数为,(),A.2B.3C.4D.5,x,-1,0,2,3,4,f,(,x,),1,2,0,2,0,C,7/38,答案,C依据已知条件可还原出函数,f,(,x,)在定义域-1,4内大致图,象.,函数,y,=,f,(,x,)-,a,零点个数即直线,y,=,a,与曲线,y,=,f,(,x,)交点个数.因为1,a,3,则方程,x,3,-,ax,2,+1=0在(0,2)上实根个数为,(),A.0B.1C.2D.3,答案,B设,f,(,x,)=,x,3,-,ax,2,+1,则,f,(,x,)=3,x,2,-2,ax,=,x,(3,x,-2,a,),因为,a,3,则在(0,2),上,f,(,x,)0,f,(2)=9-4,a,0,即,x,(0,1时,f,(,x,)=,ax,3,-3,x,+1,0可化为,a,-,.设,g,(,x,)=,-,则,g,(,x,)=,所以,g,(,x,)在区间,上单调递增,在区间,上单调递减,所以,g,(,x,),max,=,g,=4,从而,a,4.,当,x,1在区间,上恒成立,求,a,取值范围.,考点一利用导数研究恒成立问题和存在性问题,命题角度一恒成立问题,考点突破,11/38,解析,(1)函数,f,(,x,)定义域为,x,|,x,0,f,(,x,)=,=,.,当,a,0时,ax,-10,解得0,x,1,令,f,(,x,)1,所以函数,f,(,x,)单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+,).,当0,a,1.,令,f,(,x,)0,解得0,x,令,f,(,x,)0,解得1,x,1时,0,0,解得0,x,1;,令,f,(,x,)0,解得,x,1恒成立转化为,f,(,x,),min,1恒成立.,f,(,x,)=,=,a,1.,13/38,令,f,(,x,)=0,得,x,=1或,x,=,.,若,a,e,则由,f,(,x,)0得,1,x,e,函数,f,(,x,)在(1,e上单调递增.,由,f,(,x,)0,得,x,1,满足题意.,若1,a,0,得,x,或1,x,e;,由,f,(,x,)0,得,x,1.,故函数,f,(,x,)在,(1,e上单调递增,在,上单调递减.,f,(,x,),min,=min,14/38,依题意,即,所以2,a,e.,若,a,=1,则,f,(,x,),0.,所以,f,(,x,)在区间,上单调递增,f,(,x,),min,=,f,=,-e+22.,15/38,命题角度二存在性问题,典例2,已知函数,f,(,x,)=,x,-(,a,+1)ln,xa,R),g,(,x,)=,x,2,+e,x,-,x,e,x,.,(1)当,x,1,e时,求,f,(,x,)最小值;,(2)当,a,1时,若存在,x,1,e,e,2,使得对任意,x,2,-2,0,f,(,x,1,),g,(,x,2,)恒成立,求,a,取值范围.,16/38,解析,(1),f,(,x,)定义域为(0,+,),f,(,x,)=,.,当,a,1时,x,1,e,f,(,x,),0,f,(,x,)为增函数,所以,f,(,x,),min,=,f,(1)=1-,a,.,当1,a,e时,x,1,a,时,f,(,x,),0,f,(,x,)为减函数;,x,a,e时,f,(,x,),0,fx,)为增函数.,所以,f,(,x,),min,=,f,(,a,)=,a,-(,a,+1)ln,a,-1.,当,a,e时,x,1,e,f,(,x,),0,f,(,x,)在1,e上为减函数,17/38,所以,f,(,x,),min,=,f,(e)=e-(,a,+1)-,.,综上,当,a,1时,f,(,x,),min,=1-,a,;,当1,a,e时,f,(,x,),min,=,a,-(,a,+1)ln,a,-1;,当,a,e时,f,(,x,),min,=e-(,a,+1)-,.,(2)由题意知,f,(,x,)(,x,e,e,2,)最小值小于,g,(,x,)(,x,-2,0)最小值.,当,a,1时,由(1)知,f,(,x,)在e,e,2,上单调递增,所以,f,(,x,),min,=,f,(e)=e-(,a,+1)-,.,由题意知,g,(,x,)=(1-e,x,),x,.,当,x,-2,0时,g,(,x,),0,g,(,x,)为减函数,g,(,x,),min,=,g,(0)=1,所以e-(,a,+1)-,所以,a,取值范围是,.,18/38,易错警示,“恒成立”与“存在性”问题求解是“互补”关系,即,f,(,x,),g,(,a,)对,于,x,D,恒成立,应求,f,(,x,)最小值;若存在,x,D,使得,f,(,x,),g,(,a,)成立,应求,f,(,x,)最大值.在详细问题中终究是求最大值还是最小值,能够先联想,“恒成立”是求最大值还是最小值,这么也就能够处理对应“存在,性”问题是求最大值还是最小值.尤其需要关注等号是否成立问题,以,免细节犯错.,19/38,1-1,(北京西城二模)已知函数,f,(,x,)=,.,(1)若,f,(,a,)=1,求,a,值;,(2)设,a,0,若对于定义域内任意,x,1,总存在,x,2,使得,f,(,x,2,),f,(,x,1,),求,a,取值,范围.,20/38,解析,(1)函数,y,=,f,(,x,)定义域,D,=,x,|,x,R且,x,-,a,对,f,(,x,)求导,得,f,(,x,)=,=-,.,由题意,知,f,(,a,)有意义,所以,a,0.,所以,f,(,a,)=,=,=1,解得,a,=,.,(2)“对于定义域内任意,x,1,总存在,x,2,使得,f,(,x,2,),f,(,x,1,)”等价于“,f,(,x,)不存,在最小值”.,当,a,=0时,f,(,x,)=,易知,f,(,x,)无最小值,符合题意.,21/38,当,a,a,时,f,(,x,)=,0,当,x,a,时,f,(,x,)0,所以,f,(,x,),min,=,f,(3,a,).,所以当,x,1,=3,a,时,不存在,x,2,使得,f,(,x,2,),f,(,x,1,).故,a,0不符合题意.,总而言之,a,取值范围是0.,22/38,考点二利用导数证实不等式,典例3,(北京海淀一模)已知函数,f,(,x,)=e,x,-,x,2,+,ax,曲线,y,=,f,(,x,)在点(0,f,(0)处切线与,x,轴平行.,(1)求,a,值;,(2)若,g,(,x,)=e,x,-2,x,-1,求函数,g,(,x,)最小值;,(3)求证:存在,c,c,时,f,(,x,)0.,23/38,解析,(1),f,(,x,)=e,x,-2,x,+,a,由已知可得,f,(0)=0,所以1+,a,=0,解得,a,=-1.,(2),g,(,x,)=e,x,-2,令,g,(,x,)=0,得,x,=ln 2,所以,x,g,(,x,),g,(,x,)改变情况以下表所表示:,x,(-ln 2),ln 2,(ln 2,+,),g,(,x,),-,0,+,g,(,x,),极小值,所以,g,(,x,)最小值为,g,(ln 2)=e,ln 2,-2ln 2-1=1-2ln 2.,(3)证实:显然,g,(,x,)=,f,(,x,)且,g,(0)=0,由(2)知,g,(,x,)在(-,ln 2)上单调递减,在(ln 2,+,)上单调递增.,24/38,又,g,(ln 2)0,由零点存在性定理,知存在唯一实数,x,0,(ln 2,+,),使得,g,(,x,0,)=0,即,-2,x,0,-1=0,=2,x,0,+1,综上,g,(,x,)=,f,(,x,)存在两个零点,分别为0,x,0,所以,x,0,即,f,(,x,)0,f,(,x,)在(-,0)上单调递增;,0,x,x,0,时,g,(,x,)0,即,f,(,x,),x,0,时,g,(,x,)0,即,f,(,x,)0,f,(,x,)在(,x,0,+,)上单调递增,所以,f,(0)是极大值,f,(,x,0,)是极小值.,f,(,x,0,)=,-,-,x,0,=2,x,0,+1-,-,x,0,=-,+,x,0,+1=-,+,25/38,因为,g,(1)=e-30,所以,x,0,所以,f,(,x,0,)0,因为,f,(0)=1,所以当,x,0时,f,(,x,)0.,因为,f,(,x,)在(-,0)上单调递增,所以一定存在,c,0,所以存在,c,c,时,f,(,x,)0.,26/38,方法技巧,若证实,f,(,x,),g,(,x,),x,(,a,b,),能够结构函数,F,(,x,)=,f,(,x,)-,g,(,x,),若,F,(,x,)0,则,F,(,x,)在,(,a,b,)上是减函数,同时,若,F,(,a,),0,由减函数定义可知,当,x,(,a,b,)时,有,F,(,x,)0,即证实了,f,(,x,)0);,(3)判断曲线,y,=,f,(,x,)是否位于,x,轴下方,并说明理由.,28/38,解析,函数定义域为(0,+,),f,(,x,)=-,-,+,.,(1)因为,f,(1)=,-1,f,(1)=-,所以曲线,y,=,f,(,x,)在,x,=1处切线方程为,y,+,=,x,-,+1,即,x,-,y,-,+1=0.,(2)证实:ln,x,-,(,x,0)等价于,x,ln,x,-,(,x,0),设函数,g,(,x,)=,x,ln,x,.,令,g,(,x,)=1+ln,x,=0,解得,x,=,.,x,g,(,x,),-,0,+,g,(,x,),单调递减,-,单调递增,29/38,所以,函数,g,(,x,)最小值为,g,=-,.,故,x,ln,x,-,即ln,x,-,.,(3)曲线,y,=,f,(,x,)位于,x,轴下方.理由以下:,由(2)可知ln,x,-,所以,f,(,x,),-,=,.,设,k,(,x)=,-,则,k,(,x,)=,.,令,k,(,x,)0,得0,x,1;令,k,(,x,)1.,所以,k,(,x,)在(0,1)上为增函数,在(1,+,)上为减函数.,所以当,x,0时,k,(,x,),k,(1)=0恒成立,30/38,当且仅当,x,=1时,k,(1)=0.,又因为,f,(1)=-,0,所以,f,(,x,)0是,f,(,x,)有三个不一样零点必要而不充分条件.,32/38,解析,(1)由,f,(,x,)=,x,3,+,ax,2,+,bx,+,c,得,f,(,x,)=3,x,2,+2,ax,+,b,.,因为,f,(0)=,c,f,(0)=,b,所以曲线,y,=,f,(,x,)在点(0,f,(0)处切线方程为,y,=,bx,+,c,.,(2)当,a,=,b,=4时,f,(,x,)=,x,3,+4,x,2,+4,x,+,c,所以,f,(,x,)=3,x,2,+8,x,+4.,令,f,(,x,)=0,得3,x,2,+8,x,+4=0,解得,x,=-2或,x,=-,.,f,(,x,)与,f,(,x,)在区间(-,+,)上情况以下:,x,(-,-2),-2,-,f,(,x,),+,0,-,0,+,f,(,x,),c,c,-,33/38,所以,当,c,0且,c,-,0,即4,a,2,-12,b,0,即,a,2,-3,b,0.,故,a,2,-3,b,0是,f,(,x,)有三个不一样零点必要条件.,当,a,=,b,=4,c,=0时,a,2,-3,b,0,f,(,x,)=,x,3,+4,x,2,+4,x,=,x,(,x,+2),2,只有两个不一样零点,所以,a,2,-3,b,0不是,f,(,x,)有三个不一样零点充分条件.,所以,a,2,-3,b,0是,f,(,x,)有三个不一样零点必要而不充分条件.,34/38,方法技巧,利用导数研究函数零点方法,方法一:(1)求函数,f,(,x,)单调区间和极值;,(2)依据函数,f,(,x,)性质作出图象;,(3)判断函数零点个数.,方法二:(1)求函数,f,(,x,)单调区间和极值;,(2)分类讨论,判断函数零点个数.,35/383-1,(北京顺义一模)已知函数,f,(,x,)=,x,e,x,+,ax,2,+2,x,+1在,x,=-1处取得极,值.,(1)求函数,f,(,x,)单调区间;,(2)若函数,y,=,f,(,x,)-,m,-1在-2,2上恰有两个不一样零点,求实数,m,取值范,围.,36/38,解析,(1)由题意得,f,(,x,)=e,x,+,x,e,x,+2,ax,+2.,f,(,x,)在,x,=-1处取得极值,f,(-1)=0,解得,a,=1.,f,(,x,)=,x,e,x,+,x,2,+2,x,+1,f,(,x,)=(,x,+1)(e,x,+2).,当,f,(,x,)0时,x,-1;,当,f,(,x,)0时,x,g,(-2),-,-1,m,-,即,m,.,38/38,