最短路径--课件.ppt

我们把研究关于我们把研究关于“两两点点之间，线线段最短段最短”“垂线垂线段最短段最短”等等问题问题，称称它们为最短路径问题它们为最短路径问题.最短路径问最短路径问题在现实生活中经常碰到，今天我们题在现实生活中经常碰到，今天我们就通过几个实际问题就通过几个实际问题,具体体会如何具体体会如何运用所学知识选择最短路径运用所学知识选择最短路径.新新 课课 引引 入入第十三章 轴对称13.4课题学习最短路径问题问题问题1相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到B地牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ABl精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题这个问题后来被称为知识回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马将军饮马 问题问题”你能将这个问题抽象为数学问题吗？lABCC转化为数学问题 当点C在直线 l 的什么位置时，AC与BC的和最小？分析：ABl 如图，点A、B分别是直线l异侧的两个点，如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？联想：两点之间，线段最短lABCB（1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？（2）我们能否把左图A、B两点转化到直线l 的异侧呢？（3）利用什么知识可以实现转化目标？分析：lABClABClABCB 如图，作点B关于直线 l 的对称点B.当点C在直线 l 的什么位置时，AC与CB的和最小？在连接AB两点的线中，线段AB最短.因此，线段AB与直线 l 的交点C的位置即为所求.在直线 l 上任取另一点C，连接AC、BC、B C 直线 l 是点B、B的对称轴，点C、C在对称轴上，BC=BC，BC=BC AC+BC=AC+BC=AB在ABC中，AB AC+BC，AC+BC AC+BC，即AC+BC最小lABCBC证明：如图.在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称变换，把复杂问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择方法总结：问题1 归纳lABClABCBlABC抽象为数学问题用旧知解决新知联想旧知解决实际问题ABl问题2 （造桥选址问题）如图，A和B两地在同一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）思考：你能把这个问题转化为数学问题吗？如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么折线AMNB在什么情况下最短呢？aBAbMN 由于河宽是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小.分析：lABCaBAbMNA 如图，如果将点A沿与河岸垂直的方向平移到点A，使AA等于河宽，则AA=MN，AM=AN，问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，AN+NB最小？参考右图，利用“两点之间，线段最短”可以解决.如图，沿垂直于河岸的方向平移A到A，使AA等于河宽，连接AB交河岸于点N，在点N处造桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.aBAbMNA解：另任意造桥MN，连接AM、BN、AN.由平移性质可知，AMAN，AMAN，AAMNM N.AM+MN+BNAA+AB，AM+MN+BNAA+AN+BN.在ANB中，由线段公理知AN+BN AB，AM+MN+BN AM+MN+BN.证明：aBAbMNANM总结归纳：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换，把较复杂的问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。问题2 归纳抽象为数学问题用旧知解决新知联想旧知解决实际问题lABC小结归纳lABClABCB轴对称变换平移变换两点之间，线段最短.1.如图，直线l是一条河，P、Q是是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（）PQlAMPQlBMPQlCMPQlDMD尝试应用：2.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是 米.ACBD河10004、如图所示，M、N是ABC边AB与AC上两点，在BC边上求作一点P，使PMN的周长最小。MP本节课你有什么收获？学习了利用轴对称解决最短路径问题感悟和体会转化的思想补偿提高补偿提高如图，一个旅游船从大桥如图，一个旅游船从大桥AB 的的P 处前往山处前往山脚下的脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返上，再返 回回P 处，请画出旅游船的最短路径处，请画出旅游船的最短路径ABCPQ山山河岸河岸大桥大桥思路分析：思路分析：由于两点之间线段最短，所以首先可连接由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线，线段段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为一条直线一条直线BC，这样问题就转化为，这样问题就转化为“点点P，Q 在直线在直线BC 的同侧，如何在的同侧，如何在BC上找到上找到一点一点R，使，使PR与与QR 的和最的和最小小”ABCPQ山山河岸河岸大桥大桥新新知知1运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称解决距离最短问题 运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同.新新 知知2利用平移确定最短路径选址利用平移确定最短路径选址 解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题.在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题.必做题 教材第91页复习题13第15题.布置作业 数学是优美的自然科学的皇后，数学之美在于其形象、对称、和谐、简洁、严谨、逻辑、秩序-，热爱数学吧，你将拥抱美好，走进智慧-下节再见！下节再见！