——第2节地统计分析方法《计量地理学》华东师大-徐建华.pptx

4.1 线性规划及其单纯形求解方法,1.线性规划的数学模型,线性规划之实例,线性规划的数学模型,*,第2节 地统计分析方法,一、地统计方法基本原理,（一）区域化变量,（二）协方差函数,（三）变异函数,（四）,克立格插值方法,二、应用实例,1/51,地统计学是以区域化变量理论为基础，以变异函数为主要工具，研究那些在空间分布上现有随机性又有结构性，或空间相关和依赖性自然现象科学。,协方差函数和变异函数是以区域化变量理论为基础建立起来地统计学两个最基本函数。地统计学主要方法之一，克立格法就是建立在变异函数理论和结构分析基础之上。,2/51,当一个变量,展现为空间分布,时，就称之为区域化变量（,Regionalized Variable,）。这种变量经常反应某种空间现象特征，用区域化变量来描述现象称之为区域化现象。,区域化变量，亦称区域化随机变量，,G.Matheron,（,1963,）将它定义为以空间点,x,三个直角坐标为自变量随机场 。,区域化变量含有两个最显著，而且也是最主要特征，即,随机性和结构性,一、地统计方法基本原理,（一）区域化变量,3/51,（二）协方差函数,1.协方差函数概念,区域化随机变量之间差异，能够用空间协方差来表示。,区域化变量 在空间点x和x+h处两个随机变量和二阶混合中心矩定义为,Z(x),自协方差函数，即,4/51,协方差函数计算公式为：,式中：h为两样本点空间分隔距离或距离滞后，,为 在空间位置 处实测值，,是 在 处距离偏离实测值i=1，2，,，,是分隔距离为h时样本点对（Paris）总数，,和 分别为 和 样本平均数。,2.协方差函数计算公式,5/51,若,=m,（常数），则上式能够改写为：,式中：,m为样本平均数，可由普通算术平均数公式求得，即：,6/51,（三）变异函数,1.变异函数概念,变异函数（Variograms），又称变差函数、变异矩，是地统计分析所特有基本工具。,在一维条件下变异函数定义为，当空间点x在一维x轴上改变时，区域化变量Z(x)在点x和x+h处值Z(x)与Z(x+h)差方差二分之一为区域化变量Z(x)在x轴方向上变异函数，记为(h)，即,7/51,在二阶平稳假设条件下，对任意,h,有,所以，公式能够改写为,从上式可知，变异函数依赖于两个自变量x和h，当变异函数 仅仅依赖于距离h而与位置x无关时，可改写成 ，即：,8/51,2.变异函数性质,设,Z(x),是区域化变量，在满足二阶平稳假设条件下，变异函数式含有以下性质：,(1)=0，即在h=0处，变异函数为0；,(2)=，即 关于直线h=0是对称，它是一个偶函数；,(3)0，即 只能大于或等于0；,(4)|h|时，c(0)，或,=,c(0)，即当空间距离增大时，变异函数靠近先验方差,；,(5)-必须是一个条件非负定函数，由,-组成变异函数矩阵在条件 时，为非负定。,9/51,3.变异函数计算公式,设 是系统某属性,Z,在空间位置,x,处值，为一区域化随机变量，并满足二阶平稳假设，,h,为两样本点空间分隔距离，,和 分别是区域化变量 在空间位置 和 处实测值,i=1,2,N(h),，那么，变异函数 离散计算公式为,10/51,这么对不一样空间分隔距离h，计算出对应 和 值。假如分别以h为横坐标，或,为纵坐标，画出协方差函数和变异函数曲线图，就能够直接展示区域化变量Z(x)空间变异特点。可见，变异函数能同时描述区域化变量随机性和结构性，从而在数学上对区域化变量进行严格分析，是空间变异规律分析和空间结构分析有效工具。,11/51,比如，假设某地域降水量Z(x)（单位：mm）是二维区域化随机变量，满足二阶平稳假设，其观察值空间正方形网格数据如图,4.2.1,所表示（点与点之间距离为h=1km）。试计算其南北方向及西北和东南方向变异函数。,12/51,图4.2.1 空间正方形网格数据（点间距h=1km）,从图,4.2.1,能够看出，空间上有些点，因为某种原因没有采集到。假如没有缺失值，可直接对正方形网格数据结构计算变异函数；在有缺失值情况下，也能够计算变异函数。只要“跳过”缺失点位置即可（见图,4.2.2,）。,13/51,首先计算南北方向上变异函数值，由变异函数计算公式可得：,=385/72=5.35,图4.2.2 缺失值情况下样本数正确组成和计算过程，为缺失值,14/51,一样计算出,最终，得到南北方向和西北东南上变异函数计算结果见下表。一样能够计算东西方向上变异函数。,方向,南北,方向,西北东南,h,1,2,3,4,5,h,1.41,2.82,4.24,5.65,7.07,N(h),36,27,21,13,5,N(h),32,21,13,8,2,5.35,9.26,17.55,25.69,22.90,7.06,12.95,30.85,58.13,50.00,15/51,4.变异函数参数,变异函数有四个非常主要参数，即基台值（,Sill,）、变程（,Range,）或称空间依赖范围（,Range of Spatial Dependence,）、块金值（,Nugget,）或称区域不连续性值（,Localized Discontinuity,）和分维数（,Fractal Dimension,）。,前,3,个参数能够直接从变异函数图中得到。它们决定变异函数形状与结构。,因为数据对（,Wz,，,z,）经过了标准化，所以界外值可易由,2,sigma,规则可视化地识别出来。,变异函数形状反应自然现象空间分布结构或空间相关类型，同时还能给出这种空间相关范围。,16/51,当变异函数伴随间隔距离,h,增大，从非零值到达一个相对稳定常数时，该常数称为基台值,C,0,+C,，,当间隔距离,h=0,时，,(0)=C,0,，该值称为块金值或块金方差（,Nugget Variance,）。,基台值是系统或系统属性中最大变异，变异函数到达基台值时间隔距离a称为变程。变程表示在ha以后，区域化变量Z(x)空间相关性消失。,块金值表示区域化变量在小于抽样尺度时非连续变异，由区域化变量属性或测量误差决定。,C,0,C,0,+C,2,(h),17/51,上述三个参数可从变异函数曲线图直接得到，或经过预计曲线回归参数得到。,第,4,个参数，即分维数用于表示变异函数特征，由变异函数 和间隔距离,h,之间关系确定：,分维数,D,为双对数直线回归方程中斜率，它是一个无量纲数。分维数,D,大小，表示变异函数曲线曲率，能够作为随机变异量度。但该随机分维数,D,与形状分维数有本质不一样。,18/51,5.变异函数理论模型,地统计学将变异函数理论模型分为三大类：,第一类是有基台值模型，包含球状模型、指数模型、高斯模型、线性有基台值模型和纯块金效应模型；,第二类是无基台值模型，包含幂函数模型、线性无基台值模型、抛物线模型；,第三类是孔穴效应模型。,下面有代表性地介绍几个常见变异函数理论模型。,19/51,（,1,）纯块金效应模型。其普通公式为：,式中：c,0,0，为先验方差。该模型相当于区域化变量为随机分布，样本点间协方差函数对于全部距离h均等于0，变量空间相关不存在。,20/51,（,2,）球状模型。其普通公式为：,式中：,c,0,为块金（效应常数，,c,为拱高，,c,0,+c,为基台值，,a,为变程。当,c,0,=0,，,c=1,时，称为标准球状模型。球状模型是地统计分析中应用最广泛理论模型，许多区域化变量理论模型都能够用该模型去拟合。,21/51,（3）指数模型。其普通公式为：,式中：,c,0,和,c,意义与前相同，但,a,不是变程。当,h=3a,时，即 ，从而指数模型变程 约为 。当,c0=0,，,c=1,时，称为标准指数模型。,22/51,（,4,）高斯模型。其普通公式为：,式中：,c0,和,c,意义与前相同，,a,也不是变程。当,时，即 ，所以高斯模型变程 约为 。当 时，称为标准高斯函数模型。,23/51,（5）幂函数模型。其普通公式为：,式中：为幂指数。当改变时，这种模型能够反应在原点附近各种性状。不过必须小于,2,，若 ，则函数 就不再是一个条件非负定函数了，也就是说它已经不能成为变异函数了。,24/51,（6）对数模型。其普通公式为：,显然，当 ，这与变异函数性质,不符。所以，对数模型不能描述点支撑上区域化变量结构。,25/51,（7）线性有基台值模型。其普通公式为：,式中,该模型变程为,a,，基台值为 。,（8）线性无基台值模型。其普通公式为,从式中能够看出，该模型没有基台值，也没有变程。,26/51,比如，某地域降水量是一个区域化变量，其变异函数 实测值及距离h关系见下表，下面我们试用回归分析方法建立其球状变异函数模型。,实测值,(h),距离,h,2.1,0.6,9.2,4.9,4.3,1.1,10.3,5.1,5.7,2.2,10.5,6.2,6.5,2.5,10.9,7.5,7.8,3.1,11.2,9.5,实测值,(h),距离,h,8.8,3.8,12.4,9.8,27/51,从上面介绍和讨论，我们知道，球状变异函数普通形式为：,当 时，有：,假如记,，则能够得到线性模型：,(4.2.19),依据表,中,数据，对上式进行最小二乘拟合，得,到：,(4.2.20),计算可知，上,式,显著性检验参数,F=114.054,，,R,2,=0.962,，可见模型拟合效果是很好。,28/51,比较(4.2.20)式与(4.2.19)式，并做简单计算可知：c,0,=2.048,，,c=1.154,，,a=8.353,，所以，球状变异函数模型为：,(4.2.21),29/51,(四)克立格插值方法,克立格（,Kriging,）插值法，又称空间局部预计或空间局部插值法，是地统计学主要内容之一。克立格法是建立在变异函数理论及结构分析基础之上，它是在有限区域内对区域化变量取值进行无偏最优预计一个方法,克立格法适用条件是，假如变异函数和相关分析结果表明区域化变量存在空间相关性,其实质是利用区域化变量原始数据和变异函数结构特点，对未采样点区域化变量取值进行线性无偏、最优预计。,30/51,克里格插值（,Kriging Interpolation,），是依据变异函数模型而发展起来一系列地统计空间插值方法，包含：,普通克里格法（,Ordinary Kriging,）、,泛克里格法（,Universal Kriging,）、,指示克里格法（,Indicator Kriging,）,析取克里格法（,Disjunctive Kriging,）、,协同克里格法（,Cokriging,）等。,下面仅对普通克立格法作一些简单介绍。,31/51,首先假设区域化变量满足 二阶平稳假设和本征假设，其数学期望为,m,，协方差函数 及变异函数 存在。即：,假设在待预计点（x）临域内共有n个实测点，即，其样本值为 。那么，普通克里格法插值公式为：,32/51,其中 为权重系数，表示各空间样本点 处观察值 对预计值 贡献程度。,可见，,克立格插值关键,就就是,计算权重系数 。显然，,权重系数求取必须满足两个条件：,一是使 预计是无偏，即偏差数学期望为零；,二是最优，即使预计值 和实际值 之差平方和最小。,为此，需要满足以下两个条件：,33/51,（1）无偏性。,要使,成为 无偏预计量，即 。,当,时，也就是当 时，则有,这时，为,无偏预计量。,（2）最优性。,在满足无偏性条件下，预计方差为：,34/51,使用协方差函数表示，它能够深入写为：,(4.2.24),为使预计方差最小，依据拉格朗日乘数原理，令4.2.25),求F对 和 偏导数，并令其为,0,，得克立格方程组：,(4.2.26),35/51,整理后得：,(4.2.27),解线性方程组,(4.2.27)式,，求出权重系数 和拉格朗日乘数,，代入公式,(4.2.24),，经过后可得克立格预计方差 ，即,(4.2.28),36/51,在变异函数存在条件下，依据协方差与变异函数关系：,或 ，也能够用变异函数表示普通克立格方程组和克立格预计方差，即：,(4.2.29),(4.2.30),37/51,上述过程也可用矩阵形式表示，令：,则普通克立格方程组为：,(4.2.31),解方程组,(4.2.31)式，可得：,(4.2.32),其预计方差为：,(4.2.33),38/51,也能够将克立格方程组和预计方差，用变异函数写成上述矩阵形式。令：,在以上介绍中，区域化变量 数学期望 能够是已知或未知。假如m是已知常数，称为简单克立格法；假如m是未知常数，称为普通克立格法。不论是那一个方法，均可依据方法计算权重系数和克立格预计量。,39/51,以图,4.2.1,为例，四个观察点,x,1,、,x,2,、,x,3,、,x,4,观察值分别为,Z(x,1,)=37,、,Z(x,2,)=42,、,Z(x,3,)=36,、,Z(x,4,)=35,，假如假设降水量变异函数是向同性（即变异函数在各个方向是改变都相同）二维球状模型，其详细形式为（4.2.21）式。现在，我们用普通克立格法预计观察点,x,0,降水量值,Z(x,0,),。,依据普通克立格法基本原理，我们知道，Z(x,0,)预计基本公式应该是：,40/51,依据公式(4.2.32)，可知：,(4.2.37),依据协方差与变异函数关系以及,（4.2.21）,式，可得协方差函数：,41/51,当 时，,依据克立格矩阵对称性，当 时，,，由此计算可得：,42/51,将以上计算结果代入克立格方程组（,4.2.31,），得：,43/51,即克立格权重系数分别为：,1,=0.287，,2,=0.210，,3,=0.202，,4,=0.301，=,-,0.473，所以点降水量克立格预计值为：依据普通克立格法基本原理，我们知道，Z(x,0,)预计基本公式应该是：,37.25（mm）,。,克立格预计方差为：,44/51,二、应用实例,年降水量和蒸发量，既服从地带性规律，同时又受随机性原因影响，所以它们是经典区域化变量。我们以,甘肃省,53,个气象台站多年平均,降水量和蒸发量数据（,见教材,表3.1.2）为实测值，拟合了年降水量和蒸发量半变异函数理论模型，并采取普通克里格法和双变量协同克里格法，做了空间插值计算，结论以下。,45/51,（一）半变异函数,半变异函数模型，是克立格空间插值前提条件，同时它也决定着空间插值精度。普通情况下，半变异函数模型是依据半变异函数云图分布，选择适当理论模型按照预计方差最小标准，利用最小二乘法求得。图,4.2.4,和图,4.2.5,分别给出了年降水量和年蒸发量半变异函数云图。,图4.2.4 年降水量半变异函数云图,46/51,一样也能够作出蒸发量半变异函数运图。能够看出，年降水量和年蒸发量块金效应都不显著，这是因为样本点是各个气象站点实测值，空间分辨率能够忽略不计，另外试验误差和人为性误差基本上都很小。,我们,选择各种,不一样,半变异函数理论模型，经过,屡次拟累计算和对比分析，发觉,指数模型比很好地描述了年,降水量,空间变异规律。其变异函数详细形式以下：,47/51,(4.2.38),(4.2.38)式拟合适度系数为,。,我们,选择各种,不一样半变异函数理论模型，经过,屡次拟累计算和对比分析，发觉,球状模型比很好地描述了年,蒸发量,空间变异规律。其变异函数详细形式以下：,(4.2.39),(4.2.39)式拟合适度系数为 。,48/51,（二）空间插值结果,基于半变异函数理论模型,(4.2.38),和,(4.2.39),，对甘肃省范围内年降水量和蒸发量，用普通克里格法进行空间插值计算，得到结果分别如,图4.2.4,和图,4.2.5,。,（三）结果讨论,从图4.2.6能够看出，在甘肃省范围内，年降水量空间分布格局总体上是东南多西北少，而且展现从东南方向到西北方向逐步过渡，梯度改变显著；山地多，平地少，南北方向从南部队祁连山脉向北部沙漠戈壁逐步降低。,49/51,年降水量空间变程很大，最多东南部是最少西北部近10倍，其中，甘南东南部玛曲和禄曲、陇南东南部以及平凉灵台东南地域，年降水量到达691.59786.75mm之间。400mm等降水线靠近兰州附近，而到了西北端，几乎整个酒泉市、嘉峪关市和张掖市西北部，年降水量只有59.17-102.08mm。,图4.2.6 甘肃省年降水量普通克里格空间插值结果,50/51,而年蒸发量空间格局，恰好与年降水量空间格局相反：西北多、东南少，展现出由西北向东南逐步降低改变趋势，梯度改变显著。,年蒸发量空间变程即使小于年降水量，但依然较大，在西北端酒泉大部分地域以及民勤北部腾格里沙漠地域，年蒸发量能够到达2931.30-3522.76mm之间，而在甘南玛曲部分地域，只有1024.54-1179.88mm。兰州恰好处于我国干旱和半干旱区过渡地带，年蒸发量大致介于1389.77-1508.66mm之间。,51/51,