1、55位移变分方程 在位移位移变变分法分法中，所取泛函为总势能 ，其宗量为位移状位移状态态数数 ，。现在来导出位移位移变变分方程分方程。1.用位移表示的平衡微分方程（在A中）用位移表示的应力边界条件（在上）位移边界条件（在上）。实际位移(a)其中、属于静力平衡条件，属于约束条件。对于实际位移，可将看成是必要条件，而、是充分条件。1.实际平衡状平衡状态的位移的位移、，必，必须满足足2.2.虚位移状虚位移状态态 虚位移（数学上称为位移变分），表示在约束条件允许下，平衡状态附近的微小位移增量，如图所示。虚位移应满足 上的约束边界条件，即虚位移(b)（在上）。3.虚位移不是实际外力作用下发生的，而是假想
2、由其他干扰产生的。因此，虚位移状态 就构成实际平衡状态附近的一种邻近状态。(c)虚位移4.微分微分是在同一状态下，研究由于位置 (坐标)改变而引起函数的改变。其中的自变量为坐标变量x,y；而因变量为函数，如位移，有 (d)变分与微分的比分与微分的比较变分与微分5.变变分分是在同一点位置上，由于状态改变而引起泛函的改变。其中的自变量为状态函数，如位移；而因变量为泛函，如 ，有 变分与微分(e)6.由于微分和变分都是微量，所以a.它们的运算方式相同运算方式相同，如式(d)，(e)；b.变分和微分可以交分和微分可以交换次序次序，如变分与微分(f)7.当发生虚位移虚位移（位移变分）时，虚位移上功和能
3、由于虚位移引起虚虚应变，外力外力势能的能的变分分：外力的虚功外力的虚功（外力功的变分）：3.在虚位移上在虚位移上弹性体的功和能性体的功和能 8.形形变势变势能的能的变变分分，即实际应力在虚应变上的虚功,由于实际应力在虚应变之前已存在,作为常力计算，故无 系数。虚位移上功和能(j)9.（1）在封闭系统中，假设没有非机械能的改变，也没有动能的改变，则按照能量守恒定律，在虚位移在虚位移过程中形程中形变势能的增加能的增加应等于外力等于外力势能的减少能的减少（即等于外力所做的虚功）。位移变分方程4.弹性力学中位移性力学中位移变分方程的分方程的导出出10.（2）位移位移变分方程分方程 将式(g)的 代入上
4、式,得它表示，在在实际平衡状平衡状态发生位移的生位移的变分分时，所引起的形，所引起的形变势能的能的变分分，等于外力功的，等于外力功的变分分。位移变分方程11.位移变分方程它表示，在在实际平衡状平衡状态发生虚位移生虚位移时，外力在虚位移上所做的虚功等于外力在虚位移上所做的虚功等于应力在力在虚虚应变上所做的虚功。上所做的虚功。（3）虚功方程虚功方程将式(j)的代入上式，得12.其中形变势能的变分，如式(j)所示，外力功的变分，如式(g)所示。位移变分方程（4）最小最小势能原理能原理式(k)可写成其中U弹性体的形变势能，如5-4式(d),W弹性体的外力功，如5-4式(a)。可以证明，式(n)可以写成
5、为13.证明如下：位移变分方程14.由于弹性体的总势能为故式(o)可以表示为 再将总势能 对其变量（位移或应变）作二次变分运算，可得 综合式(p)，(q)，即得(p)(q)(r)位移变分方程15.位移变分方程 这就是最小就是最小势能原理。它表示在能原理。它表示在给定的外力作用下，在定的外力作用下，在满足位移足位移边界条件界条件的所有各的所有各组位移状位移状态中，中，实际存在的一存在的一组位移位移对应于于总势能能为极小极小值。16.最小势能原理：数学表示如图(a)，物理意义如图(b)uu（实际位移）(a)(b)17.（5）位移位移变变分方程的又一形式分方程的又一形式 式(l)中 可化为 又一形式
6、18.应用分部积分公式 和格林公式 （其中s为平面域A的边界，l，m为边界外法线的方向余弦），可将 进行转换。又一形式19.在上，虚位移，对其余几项进行同样的转换，并代入式(),可得又一形式的位移又一形式的位移变分方程分方程：又一形式例如，对第一项计算，(s)20.因 ，都是任意的独立的变分，为了满足上式,必须（在A中）(v)（在 上）(w)又一形式21.由此可由此可见，从位移，从位移变分方程可以分方程可以导出平衡微分方程和出平衡微分方程和应力力边界条件，或界条件，或者者说，位移，位移变分方程等价于平衡微分分方程等价于平衡微分方程和方程和应力力边界条件。界条件。22.实际平衡状态的位移必须满足a.上的约束(位移)边界条件；b.上的应力边界条件；c.域A中的平衡微分方程。5.结论结论 位移变分方程可以等价地代替静力条件b,c。23.结论 由此得出一种变分解法分解法，即，即预先使位先使位移函数移函数满足足上的位移上的位移边界条件，再界条件，再 满足位移足位移变分方程，必然也可以找出分方程，必然也可以找出对应于于实际平衡状平衡状态的位移解答。的位移解答。24.
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
