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泛 函 分 析 基 础信息与电气工程学院邹海林2014.2泛 函 分 析 基 础1、什么是泛函分析？20世纪20年代形成的数学分支，是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的算子和极限理论。现代泛函分析的奠基人波兰数学家巴拿赫 波兰数学家在泛函分析和拓扑学等方面取得了重要成就。其中的领军人物是巴拿赫(Stefan Banach 1932年巴拿赫出版了线性算子论一书，建立了巴拿赫空间上线性算子理论，证明了一批后来成为泛函分析基础的重要定理，成为泛函分析理论成熟的标志。泛函分析的观点和研究手段推动着其他一些数学分析学科的发展如在微分方程、概率论、函数论、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的运用。2、为什么给研究生开设泛函分析 计算机应用技术解决什么？遇到的问题越来越复杂 涉及的知识门类多 现代数学的作用越来越突出 例1：网络技术通信技术计算机技术信号处理技术数学例2：信息安全抽象代数密码学理论数理逻辑例3：例4：信号的稀疏表示理论：视觉皮层对图像的编码模式傅里叶级数傅里叶级数小波变换小波变换神经生理学的研究例4：信号的稀疏表示理论：X=D例4：3、泛函分析基础的基本内容（1）距离空间（2）赋范线性空间（3）内积空间（4）线性算子与线性泛函（5）投影与逼近第一章 距离空间 距离的概念是现实物理世界中物体之间距离关系的本质特征的数学抽象。直线上两点之间的距离三维空间中两个向量之间的距离曲面上两点之间的距离第一章 距离空间1.1 距离定义设R表示一个非空集合，若其中任意两元素 x,y 都按一定的规则与一个实数 相对应，且满足以下 三公理（称为距离公理）：（1）（2）（3）对R中任意3元素x,y,z,有则称 为 x,y 间的距离，称R为距离空间，其中的元素也称为点。例1：设 为非空实数集，对其中任意两个实数 x,y 定义距离：即为通常意义下的距离，称欧氏距离。另外，还可以用另一种方式来定义距离：第一章 距离空间例2：设 为n 维实向量全体所构成的空间，在其中 可定义距离如下：设为中任意两元素，则即为平面上两点间的通常距离。在 中也可以定义另一种距离：第一章 距离空间例3：用 表示定义在a,b上所有连续函数的全 体，对于任意 ,可定义距离：第一章 距离空间例4：用 表示 a,b上所有平方可积函数的全体，即对任意 ,都有则可在 中定义距离，对于任意 ,可定义距离：第一章 距离空间例5：表示满足 的实数列的全体，则其 中任意两点间的距离可定义如下：第一章 距离空间1.2 收敛概念设R为距离空间，为R中点列，如果当 时，数列 则称点列按距离 收敛于 x,记为或此时，称 为收敛点列，x 为 的极限。1.2.1 收敛点列第一章 距离空间性质：定理1.1 在距离空间中，收敛点列的极限是惟一的。定理12 在距离空间中，距离 是两个变元x,y的 连续函数。定理1.3 设 为距离空间R中的收敛点列，则 必 有界。即存在有限数使所有都有第一章 距离空间1.2.2 Cauchy列设 为距离空间R中的收敛点列，则存 ，使因为所以，当 时，有使上式(*)成立的点列称为Cauchy列，或基本列。（*）第一章 距离空间1.3 距离空间的完备性定义1：在距离空间R中，若任一Cauchy列都在R 中有极限，则称距离空间是完备的。定义2：设R，R1都是距离空间，如果存在一个由 R到R1的映射T，使一切 有其中 分别为R，R1上的距离，则称T为R到R1的等距映射，这时，称R与R1为等距。第一章 距离空间距离空间的完备化定理：对每个距离空间R，必存在一个完备的距离空间R0，使得R等距于R0中的一个稠密子空间R1，并称R0为R的完备化空间，若除去等距不计，则R0是惟一的。第一章 距离空间1.4 距离空间的稠密性与可分性定义：设A，B为距离空间R中的子集。若对任意 的 总存在B中的点列 收敛于x，则称B在A中稠密，简称B在A中稠。稠密性：第一章 距离空间关于稠密性的两种等价的说法：（1）若B在A中稠，则对任意的 及任意的总存在B中的点y，使得反之亦然（2）若B在A中稠，则对任意的 ，必有反之亦然表示以x为中心，以 为半径的小球。第一章 距离空间可分性：定义：距离空间R称为可分的，是指在E中存在一 个稠密的可列子集。第一章 距离空间问题：1、写出三维空间的几种距离2、距离空间中的开集、闭集？第一章 距离空间1.5 距离空间的列紧性（略）第一章 距离空间第二章 赋范线性空间2.1 定义和例1、线性空间的定义：集合E称为实（或复）线性空间，如果：（1）在E内定义了“+”法运算，使对任意的都有且仍 E中 （交换律）(a)（结合律）(b)存在“零元素”，有(c)存在“逆元素”，有(d)（2）定义了E中元素与实（复）数域K中的数之间 的“数乘”运算，使对任意的都有且仍 E中(a)(b)(c)(d)第二章 赋范线性空间2、赋范线性空间的定义：设E为实（复）线性空间，若对任意的 都有一个非负的实数 与之对应，且满足则称 为 x 的范数，E为赋范线性空间，E中的元素称为点。(a)(b)(c)第二章 赋范线性空间 由于实数的有序性，可以比较大小，因此范数给了元素一种可以度量大小的概念。显然，任何赋范线性空间都是距离空间。任意两点 x,y之间的距离都可以通过范数来定义（称为由范数导出的距离）：第二章 赋范线性空间例1：在 中可定义范数或 同一集合可定义不同的距离，在同一线性空间中，也可以定义不同的范数：中的距离：第二章 赋范线性空间例2：其中可定义范数并由它导出距离第二章 赋范线性空间例3：其中可定义范数并由它导出距离第二章 赋范线性空间例4：由它导出距离其中可定义范数是一切有界数列 的全体，按通常数列的加法和数乘运算构成线性空间。第二章 赋范线性空间3、Banach空间：若赋范线性空间按距离是完备的，则称它为Banach空间。前面都按范数导出的距离完备，所以他们都是Banach空间。第二章 赋范线性空间2.2 按范数收敛1、定义：设E为赋范线性空间，若则称点列 按范数收敛于 x，或称 强收敛于 x，记为(强)第二章 赋范线性空间2、性质：在赋范线性空间E中，若 强收敛于 x，则有下列性质为有界数列是x的连续泛函(b)(a)(c)设则(d)设则（c),(d)说明，在赋范线性空间中，线性运算对范数收敛是连续的。第二章 赋范线性空间2.3 有限维赋范线性空间1、定义：若赋范线性空间E存在有限个线性无关 的元素 ，使任意的都有则称E为有限维赋范线性空间，称为该空间的基底，称 为 x 关于该基底的坐标。第二章 赋范线性空间2、性质：(a)设E是有限维赋范线性空间，则在E上定 义的各种范数都相互等价。(b)有限维赋范线性空间必完备且可分。(c)赋范线性空间E为有限维的充要条件是E中的 任意有界闭集是列紧的（即有界闭集中的任 一点列都有收敛子序列）。有限维赋范线性空间最典型的例子就是n 维向量空间 。第二章 赋范线性空间2.4 线性算子与线性泛函集合论中，集合与集合的关系称为映射。泛函分析中，把具有一定性质的元素的集合称为空间，把空间到空间的映射称为算子。通常的算子是指由赋范线性空间到赋范线性空间的映射，常用T表示。D(T)表示定义域，N(T)表示值域。1、算子第二章 赋范线性空间(1)定义：设E，E1都是赋范线性空间2.4 线性算子与线性泛函则称T为线性算子。如微分算子、积分算子、由矩阵定义的线性变换等都是线性算子。若对任意 及数 有(a)第二章 赋范线性空间若对任意 当 时，有 (b)则称T为连续算子。如范数、有界集上的积分算子、古典分析中的连续函数等都是连续算子。第二章 赋范线性空间若存在正数M，对任意 ，使(c)则称T为有界算子。当T又是线性算子时，则称T为有界线性算子。如 中的线性变换、闭区间上的积分算子、古典分析中的线性函数等都是有界线性算子。第二章 赋范线性空间设算子T：，若存在使(d)可逆算子且对任意 ，当 时，有，则称T为可逆算子。如由矩阵和它的逆矩阵所代表的线性变换是互逆的算子，函数与反函数也是互逆的算子。算子分线性算子和非分线性算子。第二章 赋范线性空间(2)线性算子的性质：(a)线性算子T若在某一点 连续，则T在 D(T)上处处连续。(b)线性算子T有界的充要条件是T连续。(c)线性算子T有界的充要条件是T连续。(d)有限维赋范线性空间中的一切线性算子均有 界（即连续）第二章 赋范线性空间2、线性泛函(1)概念：当算子的像集为数域时，称算子为泛函。第二章 赋范线性空间根据前面算子的定义，照样可以定义线性泛函、连续泛函、有界线性泛函等。第二章 赋范线性空间(2)泛函的例数组 ,对任意(a)即为 上的一个有界线性泛函。因此，对应于不同的数组 ，都有一个 上的有界线性泛函与之对应。泛函的范数可表示为：第二章 赋范线性空间(b)(2)泛函的例在 上，对任意 ，作都是 上的泛函。第二章 赋范线性空间(c)(2)泛函的例：表示a,b上的所有连续可微函数构成的赋 范线性空间。则对任意 ，作为 上的一个线性泛函。第二章 赋范线性空间(d)(2)泛函的例：定义是一个有界泛函。第二章 赋范线性空间(3)泛函的性质(a)设E是赋范线性空间，f 是E上的线性泛函，则 f 有界的充要条件是 f 的零空间为E中的完备子空间。第二章 赋范线性空间(3)泛函的性质b)设f 是 上的任一有界线性泛函，则必存在惟一的 ，使得对任意 ，有且反之，对每一 ，由上式定义的必是 上的有界线性泛函。且第二章 赋范线性空间(3)泛函的性质(c)设 f 是 上的任一有界线性泛函，则必存在惟一的使得任意 时，有 且反之，亦然。第二章 赋范线性空间(3)泛函的性质(d)设 f 是 上的任一有界线性泛函，则必存在惟一的使得任意 时，有 且反之，亦然。第二章 赋范线性空间(3)泛函的性质(e)延拓定理 设E为赋范线性空间，L为E的线性子空间，则L上的任一有界线性泛函 f，都可以延拓到全空间E上，且保持范数不变。即存在E上的有界线性泛函，满足：当 时，；第二章 赋范线性空间(3)泛函的性质(d)存在定理 设 E是具有非零元素的赋范线性空间，则 E上有足够的非零有界线性泛函存在，至少对每个存在有界线性泛函 ，使得2.4 赋范线性空间中的各种收敛第二章 赋范线性空间1、元素序列的收敛性(a)强收敛设E是赋范线性空间，若则称元素序列强收敛于x，记为(强)或强第二章 赋范线性空间2.4 赋范线性空间中的各种收敛1、元素序列的收敛性(b)弱收敛设E是赋范线性空间，若对E上的任一有界泛函 f，有则称元素序列 弱收敛于 x，记为(弱)或弱第二章 赋范线性空间2.4 赋范线性空间中的各种收敛2、算子序列的收敛性(a)一致收敛设E，E1是赋范线性空间，(一致)或一致若则称算子序列 一致收敛（或依范数收敛）于T，记为第二章 赋范线性空间2.4 赋范线性空间中的各种收敛2、算子序列的收敛性(b)强收敛设E，E1是赋范线性空间，若对任一 ，有则称算子序列 强收敛于 T，记为(强)或强第二章 赋范线性空间2.4 赋范线性空间中的各种收敛2、算子序列的收敛性(c)弱收敛设E为赋范线性空间，若对每个 及E上的任一有界线性泛函 f，都有则称算子序列 弱收敛于T，记为(弱)或弱第二章 赋范线性空间2.4 赋范线性空间中的各种收敛3、泛函序列的收敛性(a)强收敛设E为赋范线性空间，为E上的有界线性泛函及泛函序列，若则称泛函序列 强收敛于f，记为(强)或强第二章 赋范线性空间2.4 赋范线性空间中的各种收敛3、泛函序列的收敛性(a)弱*收敛则称泛函序列 弱*收敛于f，记为(弱*)或弱*设E为赋范线性空间，为E上的有界线性泛函及泛函序列，若对每个 ，有第二章 赋范线性空间3、几点结论（1）上述各种收敛序列的极限都是惟一的（2）各种序列若强收敛则必弱收敛，反之不一定（3）算子序列若一致收敛（依范数收敛），则必 强收敛（4）若把泛函序列作为特殊的算子序列，则泛函 序列的强、弱*收敛，分别相当于算子序列的 一致收敛和强收敛第三章 Hilbert空间3.1 定义和例1、内积空间设K是数域(实或复)，U是K上的线性空间。若对任意的 ,都有惟一的数 与之对应，且满足则称 为x,y的内积，U为内积空间。内积公理第三章 Hilbert空间2、内积的性质（1）在内积空间中，可由内积导出范数Cauchy-Schwarz不等式：由上不等式还可得到第三章 Hilbert空间2、内积的性质（2）平行四边形公式在内积空间中，由内积导出的范数满足平行四边形公式第三章 Hilbert空间2、内积的性质（3）极化恒等式若赋范线性空间中的范数满足平行四边形公式，则可由范数来表示内积特别地，在实空间则有第三章 Hilbert空间2、内积的性质定理：赋范线性空间成为内积空间的充要条件是 它的范数满足平行四边形公式。（4）内积的连续性在内积空间中，内积(x,y)关于两个变元 x,y都是连续的，即当 时，有第三章 Hilbert空间3、Hilbert空间若内积空间U按范数 完备,则称U为Hilbert空间，简记为H空间。H空间是一个特殊的Banach空间，特殊性在于它的范数由内积导出。第三章 Hilbert空间4、例（1）任意的它们的内积定义为由它导出的范数第三章 Hilbert空间4、例（2）其中定义内积由它导出的范数若 为复函数，则定义内积第三章 Hilbert空间4、例（3）其中定义内积由它导出的范数第三章 Hilbert空间3.2 正交分解与投影定理1、正交的概念定义1：设 ，若 ，则称x与y正交记为定义2：设 ，若 x与M中的一切元素 正交，则称x与M正交，记为定义3：设 ，若对任意 ，恒有 ，则称M与N正交。第三章 Hilbert空间3.2 正交分解与投影定理1、正交的概念即定义4：设 ，则U中与M正交的所有元素的 全体称为M的正交补，记为 。第三章 Hilbert空间3.2 正交分解与投影定理1、正交的概念定义5：设M为内积空间U的线性子空间，如果存在 ，使则称 为 x 在M上的投影，上式称为关于M的正交分解。第三章 Hilbert空间3.2 正交分解与投影定理2、性质（1）设U为内积空间，若 ，则称为内积空间中的“商高定理”（2）设L为内积空间U中的一个稠密子集，若 ，则x=0（零元素）第三章 Hilbert空间3.2 正交分解与投影定理2、性质（3）设U为内积空间，对任意的 ，其正交补 必为U的闭线性子空间。（4）设U为内积空间,为线性子空间，若 为x在M上的投影，则下确界第三章 Hilbert空间什么是下确界（infimum）？一般说，使 成立的所有常数M中，把M的最大值 ，叫做函数的下确界。什么是上确界（supremum）？最小的上界下确界，即最大的下界。如，第三章 Hilbert空间3、投影定理设M是H空间的闭子空间，对任意的必存在惟一的 ，使定理条件中的H空间还可以推广到内积空间！投影定理示意图第三章 Hilbert空间1、定义：3.3 正交系、规范正交系定义1：若在H空间中有一组非零元素其中，任何两个不同元素都正交，即则称它们为正交系。第三章 Hilbert空间定义2：若在H空间中的一个正交系，每个元素的 范数都为1，则称它们为规范正交系。即，若元素 为规范正交系，则1、定义：3.3 正交系、规范正交系第三章 Hilbert空间2、例3.3 正交系、规范正交系（1）中，元素组即为规范正交系。第三章 Hilbert空间2、例3.3 正交系、规范正交系（2）中，元素列即为规范正交系。第三章 Hilbert空间2、例3.3 正交系、规范正交系（3）中，规定内积则三角函数系即为规范正交系。第三章 Hilbert空间中，若规定内积则三角函数系即为规范正交系。3.3 正交系、规范正交系第三章 Hilbert空间3、性质3.3 正交系、规范正交系（1）设 为H空间中的规范正交系则 x 在M上的投影为且第三章 Hilbert空间3、性质3.3 正交系、规范正交系（2）设 为H空间中的规范正交系称为 Bessle 不等式。则对任一 ，有即第三章 Hilbert空间3.4 完全规范正交系的完全性与完备性1、定义定义1：若内积空间U中的规范正交系对任意的 ，有（即不存在与所有 正交的非零元素），则称此规范正交系是完全的。第三章 Hilbert空间3.4 完全规范正交系的完全性与完备性1、定义定义2：若内积空间U中的规范正交系对任意的 ，都有则称此规范正交系是完备的。上式也称 Parseval等式，也称广义商高定理。第三章 Hilbert空间3.4 完全规范正交系的完全性与完备性2、性质定理：设 为H空间中的规范正交系，则 下述4个命题等价 为完全规范正交系设对任意的 ，Parseval等式成立对任意的 ，有第四章 投影与逼近空间4.1 内积空间中的投影定理设M是内积空间U的闭子空间，对任意的必存在惟一的 ，使在内积空间中,x0 是 x 在M中的最佳逼近元素投影定理示意图第四章 投影与逼近 在内积空间M中(MU),其投影x0是x在M中的最佳逼近元素，即：4.1 内积空间中的投影定理如何构造最佳逼近元素x0？第四章 投影与逼近4.2 内积空间中的最佳逼近设 是内积空间U中的 n 个线性无关元素，令M=spanx1,x2,xn,对U中的任一元素x，求一组数 ，使：称 为x在M中的最佳逼近元素最佳逼近元素的构造：PMx0原点xx1从而可求出x在M中的最佳逼近元素特别地，当 为正交系时，则当 为规范正交系时，则第四章 投影与逼近第四章 投影与逼近4.2 函数空间中的最佳逼近，设中线性无关的函数，使并且有为的n维线性子空间说明：f 在Mn中的最佳逼近就是f在Mn上的投影投影定理第四章 投影与逼近 一般来说，投影 与 有关，不同的基张成不同的子空间 ，然后在 上找到投影。的线性子空间，令为则在M中的最佳逼近就是：当是规范正交系时然后可求得f(x)的最佳平方逼近函数小波基函数小波系数已知函数4.2 函数空间中的最佳逼近尺度空间与小波空间定义 空间的补空间为 ，并有VJVJ-1WJ-1V1W1V0W0W-1V-1WJ1VJ1尺度空间小波空间泛函的应用：多分辨分析 尺度函数空间和小波函数空间VJVJ-1WJ-1V1W1V0W0W-1V-1WJ1VJ1中相应的基函数为 ，也叫尺度函数，由它生成的基的一般格式为：VJVJ-1WJ-1V1W1V0W0W-1V-1WJ1VJ1中相应的基函数为，也叫小波函数，由它生成的基的一般格式为：同样有，空间关系：函数的小波分解：对存在使得上的一组规范正交基其中即上的任意一个函数都可以由上的一个规范正交基 进行线性组合表示出来。由泛函分析我们知道，空间的函数也可以像向量空间那样进行正交分解。构成的规范正交基，则任一都可以用小波基来展开成小波级数：其中小波系数：小波变换其中的一个正交基尺度位移函数的小波分解：(j尺度下)则得到：若按以下空间展开：其中其中函数的小波分解：