反比例函数图象、性质及应用.doc

年 级
初三
学 科
数学
版 本
北京实验版
内容标题
第二十章 第六节 第七节 小结与复习
编稿老师
卢凤银

【本讲教育信息】
一. 教学内容：
第二十章
第六节 反比例函数
第七节 反比例函数图象、性质和应用
小结与复习

二. 教学目标
1. 了解反比例函数的意义，会判断一个函数是否是反比例函数
2. 掌握反比例函数图象的画法
3. 掌握反比例函数图象和性质，会简单的应用
4. 会运用待定系数法，根据不同的条件确定反比例函数的解析式

三. 教学重点、难点：
1. 重点：反比例函数的概念、图象和性质
2. 难点：解析式中参数k对图象特征的影响

四. 教学过程
（一）知识点：
1. 反比例函数的定义：
一般地，函数（k是常数，）叫反比例函数，是反比例函数的一般形式，k叫反比例系数。
注：亦为
2. 反比例函数的图象和性质
反比例函数的图象是双曲线，两个分支关于原点对称，与x轴，y轴均无交点
1）当时，图象的两个分支分别在第一、三象限内，在每个象限内，y随x增大而减小
2）当时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，在每个象限内，y随x增大而增大
3. 反比例函数解析式的确定
反比例函数解析式的确定只需确定k值，需要一个点即可列出方程

【典型例题】
例1. 如果函数是反比例函数，那么k的值为__________。
解：∵函数是反比例函数
∴
解得且
∴

例2. 如图，函数和函数的图象在同一坐标系中应为（ ）

A. （1）或（3） B. （2）或（3）
C. （2）或（4） D. （1）或（4）
解：选C

例3. 已知反比例函数的图象经过点，求它的解析式
解：设反比例函数的解析式为，由于它的图象经过点
∴
∴
∴这个函数的解析式为

例4. 已知是x的一次函数，是的反比例函数，那么也是x的函数，若同在一坐标系中，和的图象交于点A（1，3）和B（4，-3），求这两个函数的解析式。
分析：由于A（1，3）和B（4，-3）是和的图象的交点，所以A、B都在一次函数的图象上，用待定系数法可以求出它的解析式，从而求出函数的解析式。
解：设一次函数的解析式为，因它的图象经过点A（1，3）B（4，-3），则有

解此方程组，得

于是，这个一次函数的解析式是
又由于是的反比例函数，设它的解析式为

于是有
由于点A（1，3）在它的图象上，所以有

∴
于是函数的解析式为

例5. 已知正比例函数，反比例函数
（1）k为何值时，这两个函数的图象有两个交点？k为何值时，这两个函数的图象没有交点？
（2这两个函数的图象能否只有一个交点？若有，求出这个交点坐标，若没有，说明理由。
解：（1）∵正比例函数的图象经过原点和第一、三象限。
∴当时，直线与双曲线有两个交点。
当时，直线与双曲线没有交点。
（2）不能只有一个交点
由和，得

∴
∴
①当时，，两函数图象有两个交点。
当时，，两函数图象无交点。
②∵，
∴
∴两图象不可能只有一个交点。

例6. 如图，在的图象上有A、C两点，过这两点分别向x轴引垂线交x轴于B、D两点，连结OA、OC。若和OCD的面积分别为和，则和的大小关系是_____________。

解：设A（，）C（，）
则，，，
∴，
∵点A、C在函数的图象上。
∴
∴
注：反比例函数中，若A是双曲线上任一点，作x轴（或y轴）的垂线，并连结AO，垂线段OA和坐标轴所围成的三角形面积

例7. 已知，函数的图象经过A（1，4）B（2，2），请写满足上述两个条件的函数解析式，并简要说明。
解：（1）若经过A、B两点函数图象是直线，设其解析式为，则有

解此方程组有
∴函数解析式为
（2）如果经过A、B两点的函数图象是抛物线，设其解析式为
则有
则得：
∴只要a、b、c满足上述关系即可保证抛物线经过A、B两点，这样的抛物线有无数条，若取a=1，则，c=8。
∴解析式为
（3）由于A、B两点横纵坐标积为4，故经过A、B两点的图象亦可取双曲线
（三）本章小结
1. 知识脉络

2. （1）进一步发展数形结合思想的理解和掌握
（2）掌握待定系数法求函数解析式的方法
（3）提高运用数学——用二次函数和反比例函数研究实际问题。

【模拟试题】（答题时间：30分钟）
一. 填空。
1. 函数，当m=__________时，y是x的反比例函数。
2. 已知双曲线经过二、四象限，则直线一定不经过第_____象限。
3. 写出一个图象位于一、三象限的反比例函数表达式为_________。
4. 函数的图象，在每个象限内，y随x增大而_________
5. 反比例函数的图象经过和（10，b）点，则k=_________，a=_________，b=___________。
6. A为反比例函数图象上一点，AB垂直x轴于B点，若，则k=___________。

二. 解答题。
1. 一次函数的图象和反比例函数的图象交于（，1），求这两个函数的解析式。
2. 如下图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点。

①利用图中条件，求反比例函数和一次函数解析式
②据图象写出使一次函数的值大于反比例函数值的x的取值范围
3. 在反比例函数的图象上有一点P（a，b）且a、b是方程的两根。
①求a、b及k的值
②求点P到原点O的距离

【试题答案】
一. 填空。
1. –2
2. －
3. （答案不唯一，只需）
4. 增大
5. ，，
6.
二. 解答题。
1. 一次函数解析式为，反比例函数解析式为
2. ①反比例函数解析式为，一次函数解析式为
②或
3. ①a=5，或，b=5，
②

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