增强模型意识,口算解立体几何.doc

增强模型意识，口算解题不再是梦想

新课标教材对高中立体几何的教学分成了两套思路。一套是传统思路，以欧式几何中的公理、定理及推论作为一条主线，灵活添加辅助线，数形结合求得题解；另一套则是借助空间直角坐标系，将立体图形坐标化，从而将几何问题完全转化成代数问题，再通过方程来解决问题。
在此，我愿意另辟蹊径，用模型的意识来看待立体几何问题，利用补形法，力争将高考立体几何大题变为口算题！为了实现这一目标，我们先来熟悉一下几个模型：
1、 长方体的“一角”模型
在三棱锥中，，且.
①三棱锥的高

证明：设直线AH交BC于D点，由于H点一定在△ABC内部，所以D点一定在BC上，连结PD. 在△PAD中：

②的平面角分别是：
.
例1、四棱锥中，底面是边长为的正方形，，求的大小.
分析：考虑三棱锥，它就是模型1－长方体的“一个角”.本来我们可以利用结论②
解：设二面角的大小为.
则：，故
我们看到象例1这样本来是高考中大题目，可是抓到了长方体“一角”，做起来就变得很轻松了.
例2、直二面角中，ABCD是边长为2的正方形（见图）AE＝BE，求B点到面ACE的距离.
分析：这是一道高考中的大题.因为D－AB－E是直二面角，BC⊥面ABE，当然面ABCD⊥面ABE，又因为ABCD是正方形，BC要垂直于面ABE.
在ABE中，AE就是面内的一条线，而BE就是BF在该面内的射影，而AE是垂直于BF，这是因为BF垂直面ACE的，所以AE是垂直于面ACE的.所以AE垂直于BF，又有AE＝BE，所以△ABE是等腰直角三角形.这一小段是熟悉几何环境的过程.图形中特殊的位置关系约束△ABE的形状.
补充图形，在正方体看问题.在这里看直二面角的局部图形.
问题就转化为：求D到面ACE的距离，就是求O点到面AB1C的距离.
因为O，B到面ACB1的距离相等，所以只须求B到面ACB1的距离即可，
考虑三棱锥B－ACB1，它是模型2.

所以，D到面ACE的距离为.
点评：比起高考评分标准给的答案那要简单得多了.这儿要注意：一个是把局部的直二面角根据它的AEB是以E为直角的等腰直角三角形和ABCD是正方形的图形特征，补足正方体，这就是一种扩大的几何环境，而正方体也就是长方体模型，另一方面又抓到这正方体的一个角B－ACB1，那么这个角的模型更高，这就使我们在运算过程中得以简化.
所以说一道看起来很复杂的几何题，用典型几何模型做就显得轻松.
例3　底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截，AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1（见图），求C点到面AEC1F的距离.
分析：这也是一道高考题，在评分标准中给出了很多的辅助线.现在我们用典型的空间模型，再对这道题解解看.
解：延长C1E交CB延长线于M，延长CD，交C1F延长线于N，C－C1NM是模型2.
因为
同理.
所以，C到面C1MN的距离为：.
2、公式的几何模型
AB是PB在内的射影，BC是内一条直线则有.
A
A

D

大家要注意搞清楚那个是，那个是，那个是，实际上只要搞清那个是，另外两个就是.
特别的，内的直线不一定过B，如上面的右图所示：
在直线AB上有一点D，过D在画一直线DC，则是直线PB与DC所成的角，则
那么这样的有可能利用这样的模型计算出异面直线成角.PB和DC的成角.
例4　EA⊥面ABCD，ABCD是边长为的正方形，EA＝1，在AC上是否存在P点，使PE、BC成角.
E
分析：

即所以.
可见AC中点即是要找的点P
例5　长方体中，AB＝2，AA1＝1，BD与面AA1B1B成30°角.AE⊥BD于E，F为A1B1的中点，求AE，BF成角.
解：
＝
所以AE，BF成角为.
这样的一个题目，最重要的是位.在高考评分标准中，都要有很长的解题过程中.
这些结论在高考中，教材中有的可以直接用，有的可以先用，然后把结论来源说明.这样可以减少思考的时间与计算量.这就相当于电脑中的集成块一样，减少空间.
3、双垂四面体模型
如图3，四面体A－BCD，AB⊥面BCD，CD⊥面BCA，这种四面体构成许多简单多面体的基本图形，不妨称为双垂四面体，主要性质：
①；
②以BD、BC和AC为棱的二面角都是直二面角，以AB、BC为棱的二面角的平面角，分别是与
③以AD为棱的二面角为，则；
④对棱AB与CD垂直，且BC是它们的公垂线；
⑤对棱AD与BC为异面直线，它们夹角为，则
例3　如图4，ABCD是上下底长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1拆成直二面角，如图5.
（1）证明：AC⊥BO1；
（2）求二面角O－AC－O1的大小.
解：（1）略
（2）∵平面AOO1⊥平面OO1C，又∵AO⊥O1C，∴AO平面OO1C，同理CO1⊥平面AOO1，四面体AOO1C是一个双垂四面体，若二面角O－AC－O1的平面角为，则，根据条件，从图5中可知AO＝3，OC＝2，，CO1＝1，即可自得.
例4　如图6，直二面角D－AB－E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE＝EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.
（1）求证：AE⊥平面BCE；
（2）求二面角B－AC－E的大小；
（3）求点D到平面ACE的距离.
分析：当（1）证明后，我们很容易识别四面体A－EBC是一个双垂四面体，若二面角B－AC－E的平面角为，则，由条件可以计算出AB＝CB=2,AE=，，∴.
值得注意的是此题的（3）并不需要用等积变换，根据平面斜线上两点到平面的距离等于它们的斜线长的比，∴点D到平面ACE的距离等于B点到平面ACE的距离，也就是线段BF的长为

利用典型立体几何模型解高考题
Ａ
Ｏ
Ｅ
Ｃ
Ｂ
1．（本小题满分13分）如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，，是的中点．
（1）求点到面的距离；
（2）求异面直线与所成的角；
（3）求二面角的大小．
解：显然三棱锥和都是长方体一脚
模型，
（1）设点到面的距离为，则由结论1—①，

（2）设与所成的角为，则由模型二，由勾股定理，所以，
故，
（3）设二面角、、的大小分别为，则，由结论1—②，
，
所以
2、（本小题满分13分）
如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一点，PE⊥EC. 已知求二面角E—PC—D的大小.
解：过E点作
，则显然三棱锥
是长方体一角模型，设二面角E—PC—D的
大小为，
则由结论1—②可知：
，下面就只剩下计算问题了
因为PD⊥底面，故PD⊥DE，又因EC⊥PE，且DE是PE在面ABCD内的射影，故由三垂直线定理的逆定理知：EC⊥DE，设DE=x，因为△DAE∽△CED，故（负根舍去）.从而DE=1，故有勾股定理，
，又因为，所以，故
，二面角E—PC—D的大小为
3、（本小题满分13分）
如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EA⊥EB1，已知AB=，BB1=2，BC=1，∠BCC1=，求：
（Ⅰ）异面直线AB与EB1的距离；
（Ⅱ）二面角A—EB1—A1的平面角的正切值.
解（Ⅰ）显然四面体是双垂四面体模型
由结论3—④，BE是异面直线AB与EB1的公垂线
在平行四边形BCC1B1中，设EB=x，则EB1=，
作BD⊥CC1，交CC1于D，则BD=BC·
在△BEB1中，由面积关系得.
（负根舍去）

解之得CE=2，故此时E与C1重合，由题意舍去.
因此x=1，即异面直线AB与EB1的距离为1.
（Ⅱ）先求二面角
由结论3—②，二面角的大小为，由于AB=，
故，又二面角是直二面角，故二面角A—EB1—A1的平面角的正切值为.
巧妙利用典型的立体几何模型可以很轻松地解决一些复杂的高考题，在平时复习是我们应该不断总结，总结有哪些典型的立体几何模型可以用于解题，这样才能提高解题能力。
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